用導(dǎo)數(shù)處理實(shí)際問(wèn)題中的最優(yōu)化問(wèn)題

1、個(gè)性化教案用導(dǎo)數(shù)處理實(shí)際問(wèn)題中的最優(yōu)化問(wèn)題適用學(xué)科數(shù)學(xué)適用年級(jí)高三適用區(qū)域北京人教課時(shí)時(shí)長(zhǎng)（分鐘）60知識(shí)點(diǎn)用導(dǎo)數(shù)處理實(shí)際問(wèn)題中的最優(yōu)化問(wèn)題教學(xué)目標(biāo)1進(jìn)一步理解導(dǎo)數(shù)的概念，會(huì)利用導(dǎo)數(shù)概念形成過(guò)程中的基本思想分析一些實(shí)際問(wèn)題，并建立它們的導(dǎo)數(shù)模型；2掌握用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際中簡(jiǎn)單的最優(yōu)化問(wèn)題，構(gòu)建函數(shù)模型，求函數(shù)的最值.教學(xué)重點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的一些優(yōu)化問(wèn)題教學(xué)難點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的一些優(yōu)化問(wèn)題教學(xué)過(guò)程一、復(fù)習(xí)預(yù)習(xí)復(fù)習(xí)1：函數(shù)y=2x33x212x+5在0，3上的最小值是_ 復(fù)習(xí)2：函數(shù)在上的最大值為_(kāi)；最小值為_(kāi). 二、知識(shí)講解創(chuàng)設(shè)情景生活中經(jīng)常遇到求利潤(rùn)最大、用料最省、效率最高等問(wèn)題，這些問(wèn)題

2、通常稱為優(yōu)化問(wèn)題通過(guò)前面的學(xué)習(xí)，我們知道，導(dǎo)數(shù)是求函數(shù)最大（?。┲档挠辛ぞ哌@一節(jié)，我們利用導(dǎo)數(shù)，解決一些生活中的優(yōu)化問(wèn)題新課講授導(dǎo)數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用主要是解決有關(guān)函數(shù)最大值、最小值的實(shí)際問(wèn)題，主要有以下幾個(gè)方面：1、與幾何有關(guān)的最值問(wèn)題；2、與物理學(xué)有關(guān)的最值問(wèn)題；3、與利潤(rùn)及其成本有關(guān)的最值問(wèn)題；4、效率最值問(wèn)題。解決優(yōu)化問(wèn)題的方法：首先是需要分析問(wèn)題中各個(gè)變量之間的關(guān)系，建立適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)關(guān)系，并確定函數(shù)的定義域，通過(guò)創(chuàng)造在閉區(qū)間內(nèi)求函數(shù)取值的情境，即核心問(wèn)題是建立適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)關(guān)系。再通過(guò)研究相應(yīng)函數(shù)的性質(zhì)，提出優(yōu)化方案，使問(wèn)題得以解決，在這個(gè)過(guò)程中，導(dǎo)數(shù)是一個(gè)有力的工具利用導(dǎo)數(shù)解決優(yōu)化問(wèn)題

3、的基本思路：建立數(shù)學(xué)模型解決數(shù)學(xué)模型作答用函數(shù)表示的數(shù)學(xué)問(wèn)題優(yōu)化問(wèn)題用導(dǎo)數(shù)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題優(yōu)化問(wèn)題的答案考點(diǎn)/易錯(cuò)點(diǎn)1注意實(shí)際問(wèn)題中的定義域 將實(shí)際問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題之后，往往容易忽略函數(shù)的定義域，比如實(shí)際問(wèn)題的人數(shù)必須是正整數(shù)等等。三、例題精析【例題1】【題干】汽油的使用效率何時(shí)最高 我們知道，汽油的消耗量（單位：L）與汽車的速度（單位：km/h）之間有一定的關(guān)系，汽油的消耗量是汽車速度的函數(shù)根據(jù)你的生活經(jīng)驗(yàn)，思考下面兩個(gè)問(wèn)題：（1） 是不是汽車的速度越快，汽車的消耗量越大？（2） “汽油的使用率最高”的含義是什么？【答案】因?yàn)?這樣，問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為求的最小值從圖象上看，表示經(jīng)過(guò)原點(diǎn)與曲線上點(diǎn)的直

4、線的斜率進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)，當(dāng)直線與曲線相切時(shí)，其斜率最小在此切點(diǎn)處速度約為90因此，當(dāng)汽車行駛距離一定時(shí)，要使汽油的使用效率最高，即每千米的汽油消耗量最小，此時(shí)的車速約為90從數(shù)值上看，每千米的耗油量就是圖中切線的斜率，即，約為 L【解析】研究汽油的使用效率（單位：L/m）就是研究秋游消耗量與汽車行駛路程的比值如果用表示每千米平均的汽油消耗量，那么，其中，表示汽油消耗量（單位：L），表示汽油行駛的路程（單位：km）這樣，求“每千米路程的汽油消耗量最少”，就是求的最小值的問(wèn)題 通過(guò)大量的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，并對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析、研究，人們發(fā)現(xiàn)，汽車在行駛過(guò)程中，汽油平均消耗率（即每小時(shí)的汽油消耗量，單位：L/h）與

5、汽車行駛的平均速度（單位：km/h）之間有如圖所示的函數(shù)關(guān)系從圖中不能直接解決汽油使用效率最高的問(wèn)題因此，我們首先需要將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為汽油平均消耗率（即每小時(shí)的汽油消耗量，單位：L/h）與汽車行駛的平均速度（單位：km/h）之間關(guān)系的問(wèn)題，然后利用圖像中的數(shù)據(jù)信息，解決汽油使用效率最高的問(wèn)題【例題2】【題干】磁盤(pán)的最大存儲(chǔ)量問(wèn)題計(jì)算機(jī)把數(shù)據(jù)存儲(chǔ)在磁盤(pán)上。磁盤(pán)是帶有磁性介質(zhì)的圓盤(pán)，并有操作系統(tǒng)將其格式化成磁道和扇區(qū)。磁道是指不同半徑所構(gòu)成的同心軌道，扇區(qū)是指被同心角分割所成的扇形區(qū)域。磁道上的定長(zhǎng)弧段可作為基本存儲(chǔ)單元，根據(jù)其磁化與否可分別記錄數(shù)據(jù)0或1，這個(gè)基本單元通常被稱為比特（bit）。為了保

6、障磁盤(pán)的分辨率，磁道之間的寬度必需大于，每比特所占用的磁道長(zhǎng)度不得小于。為了數(shù)據(jù)檢索便利，磁盤(pán)格式化時(shí)要求所有磁道要具有相同的比特?cái)?shù)。問(wèn)題：現(xiàn)有一張半徑為的磁盤(pán)，它的存儲(chǔ)區(qū)是半徑介于與之間的環(huán)形區(qū)域（1） 是不是越小，磁盤(pán)的存儲(chǔ)量越大？（2） 為多少時(shí)，磁盤(pán)具有最大存儲(chǔ)量（最外面的磁道不存儲(chǔ)任何信息）？【答案】（1）它是一個(gè)關(guān)于的二次函數(shù)，從函數(shù)解析式上可以判斷，不是越小，磁盤(pán)的存儲(chǔ)量越大（2）時(shí)，磁盤(pán)具有最大存儲(chǔ)量。此時(shí)最大存儲(chǔ)量為【解析】由題意知：存儲(chǔ)量=磁道數(shù)每磁道的比特?cái)?shù)。 設(shè)存儲(chǔ)區(qū)的半徑介于與R之間，由于磁道之間的寬度必需大于，且最外面的磁道不存儲(chǔ)任何信息，故磁道數(shù)最多可達(dá)。由于每條

7、磁道上的比特?cái)?shù)相同，為獲得最大存儲(chǔ)量，最內(nèi)一條磁道必須裝滿，即每條磁道上的比特?cái)?shù)可達(dá)。所以，磁盤(pán)總存儲(chǔ)量（1） 它是一個(gè)關(guān)于的二次函數(shù)，從函數(shù)解析式上可以判斷，不是越小，磁盤(pán)的存儲(chǔ)量越大（2） 為求的最大值，計(jì)算令，解得當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，因此時(shí)，磁盤(pán)具有最大存儲(chǔ)量。此時(shí)最大存儲(chǔ)量為【例題3】【題干】飲料瓶大小對(duì)飲料公司利潤(rùn)的影響（1）你是否注意過(guò)，市場(chǎng)上等量的小包裝的物品一般比大包裝的要貴些？（2）是不是飲料瓶越大，飲料公司的利潤(rùn)越大？某制造商制造并出售球型瓶裝的某種飲料瓶子的制造成本是分，其中 是瓶子的半徑，單位是厘米。已知每出售1 mL的飲料，制造商可獲利 0.2 分,且制造商能制作的瓶子的最

8、大半徑為 6cm問(wèn)題：（）瓶子的半徑多大時(shí)，能使每瓶飲料的利潤(rùn)最大？ （）瓶子的半徑多大時(shí)，每瓶的利潤(rùn)最??？【答案】（1）半徑為cm 時(shí)，利潤(rùn)最小，這時(shí)，表示此種瓶?jī)?nèi)飲料的利潤(rùn)還不夠瓶子的成本，此時(shí)利潤(rùn)是負(fù)值（2）半徑為cm時(shí)，利潤(rùn)最大【解析】由于瓶子的半徑為，所以每瓶飲料的利潤(rùn)是 令 解得 （舍去）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，當(dāng)半徑時(shí)，它表示單調(diào)遞增，即半徑越大，利潤(rùn)越高；當(dāng)半徑時(shí)， 它表示單調(diào)遞減，即半徑越大，利潤(rùn)越低（1） 半徑為cm 時(shí)，利潤(rùn)最小，這時(shí)，表示此種瓶?jī)?nèi)飲料的利潤(rùn)還不夠瓶子的成本，此時(shí)利潤(rùn)是負(fù)值（2） 半徑為cm時(shí)，利潤(rùn)最大四、課堂運(yùn)用【基礎(chǔ)】1. 已知某生產(chǎn)廠家的年利潤(rùn)（單位：萬(wàn)元）與

9、年產(chǎn)量（單位：萬(wàn)件）的函數(shù)關(guān)系式為，則使該生產(chǎn)廠家獲得最大年利潤(rùn)的年產(chǎn)量為（ ）（A）13萬(wàn)件 (B)11萬(wàn)件 (C) 9萬(wàn)件 (D)7萬(wàn)件答案：C解析：令導(dǎo)數(shù)，解得；令導(dǎo)數(shù)，解得，所以函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù)，所以在處取極大值，也是最大值，故選C。 【鞏固】1. 某企業(yè)擬建造如圖所示的容器（不計(jì)厚度，長(zhǎng)度單位：米），其中容器的中間為圓柱形，左右兩端均為半球形，按照設(shè)計(jì)要求容器的體積為立方米，且.假設(shè)該容器的建造費(fèi)用僅與其表面積有關(guān).已知圓柱形部分每平方米建造費(fèi)用為3千元，半球形部分每平方米建造費(fèi)用為.設(shè)該容器的建造費(fèi)用為千元.（）寫(xiě)出關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，并求該函數(shù)的定義域；（）求該容器的建造費(fèi)用最小時(shí)的.答案與解析：【拔高】課程小結(jié)建立數(shù)學(xué)模型1利用導(dǎo)數(shù)解決優(yōu)化問(wèn)題的基本思路：解決數(shù)學(xué)模型作答用函數(shù)表示的數(shù)學(xué)問(wèn)題優(yōu)化問(wèn)題用導(dǎo)數(shù)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題優(yōu)化問(wèn)題的答案2解決優(yōu)化問(wèn)題的方法：