點(diǎn)睛課-三角函數(shù)誘導(dǎo)公式推導(dǎo)

1、三角函數(shù)課程標(biāo)準(zhǔn)誘導(dǎo)公式推導(dǎo)三角函數(shù)是基本初等函數(shù)，它是描述周期現(xiàn)象的重要數(shù)學(xué)模型，在數(shù)學(xué)和其他領(lǐng)域中具有重要的作用。在本模塊中，學(xué)生將通過(guò)實(shí)例，學(xué)習(xí)三角函數(shù)及其基本性質(zhì)，體會(huì)三角函數(shù)在解決具有周期變化規(guī)律的問(wèn)題中的作用。三角恒等變換在數(shù)學(xué)中有一定的應(yīng)用，同時(shí)有利于發(fā)展學(xué)生的推理能力和運(yùn)算能力。在本模塊中，學(xué)生將運(yùn)用向量的方法推導(dǎo)基本的三角恒等變換公式，由此出發(fā)導(dǎo)出其他的三角恒等變換公式，并能運(yùn)用這些公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的恒等變換。說(shuō)明與建議1在三角函數(shù)的教學(xué)中，教師應(yīng)根據(jù)學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)，創(chuàng)設(shè)豐富的情境，使學(xué)生體會(huì)三角函數(shù)模型的意義。例如，通過(guò)單擺、彈簧振子、圓上一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，以及音樂(lè)、波浪、潮汐、四季

2、變化等實(shí)例，使學(xué)生感受周期現(xiàn)象的廣泛存在，認(rèn)識(shí)周期現(xiàn)象的變化規(guī)律，體會(huì)三角函數(shù)是刻畫周期現(xiàn)象的重要模型（參見例1）。2在三角函數(shù)的教學(xué)中，應(yīng)發(fā)揮單位圓的作用。單位圓可以幫助學(xué)生直觀地認(rèn)識(shí)任意角、任意角的三角函數(shù)，理解三角函數(shù)的周期性、誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)關(guān)系式，以及三角函數(shù)的圖象和基本性質(zhì)。借助單位圓的直觀，教師可以引導(dǎo)學(xué)生自主地探索三角函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，培養(yǎng)他們分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。3提醒學(xué)生重視學(xué)科之間的聯(lián)系與綜合，在學(xué)習(xí)其他學(xué)科的相關(guān)內(nèi)容（如單擺運(yùn)動(dòng)、波的傳播、交流電）時(shí)，注意運(yùn)用三角函數(shù)來(lái)分析和理解。4弧度是學(xué)生比較難接受的概念，教學(xué)中應(yīng)使學(xué)生體會(huì)弧度也是一種度量角的單位（圓周的1

3、/2所對(duì)的圓心角或周角的1/2）。隨著后續(xù)課程的學(xué)習(xí)，他們將會(huì)逐步理解這一概念，在此不必深究。6在三角恒等變換的教學(xué)中，可以引導(dǎo)學(xué)生利用向量的數(shù)量積推導(dǎo)出兩角差的余弦公式，并由此公式推導(dǎo)出兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式。鼓勵(lì)學(xué)生獨(dú)立探索和討論交流，引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)積化和差、和差化積、半角公式，以此作為三角恒等變換的基本訓(xùn)練。學(xué)生將在已有知識(shí)的基礎(chǔ)上，通過(guò)對(duì)任意三角形邊角關(guān)系的探究，發(fā)現(xiàn)并掌握三角形中的邊長(zhǎng)與角度之間的數(shù)量關(guān)系，并認(rèn)識(shí)到運(yùn)用它們可以解決一些與測(cè)量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題。說(shuō)明與建議1解三角形的教學(xué)要重視正弦定理和余弦定理在探索三角形邊角關(guān)系中的作用，引

4、導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)它們是解決測(cè)量問(wèn)題的一種方法，不必在恒等變形上進(jìn)行過(guò)于繁瑣的訓(xùn)練。.一、教材分析（一）教材的地位與作用：1、本節(jié)課教學(xué)內(nèi)容“誘導(dǎo)公式（二）、（三）、（四）”是人教版數(shù)學(xué)4，第一章1、3節(jié)內(nèi)容，是學(xué)生已學(xué)習(xí)過(guò)的三角函數(shù)定義、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式及誘導(dǎo)公式（一）等知識(shí)的延續(xù)和拓展，又是推導(dǎo)誘導(dǎo)公式（五）的理論依據(jù)。2、求三角函數(shù)值是三角函數(shù)中的重要問(wèn)題之一。誘導(dǎo)公式是求三角函數(shù)值的基本方法。誘導(dǎo)公式的重要作用是把求任意角的三角函數(shù)值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求0°90°角的三角函數(shù)值問(wèn)題。誘導(dǎo)公式的推導(dǎo)過(guò)程，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的數(shù)形結(jié)合和歸納轉(zhuǎn)化思想方法，反映了從特殊到一般的數(shù)學(xué)歸納思維形

5、式。這對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)、發(fā)展學(xué)生的思維能力，掌握數(shù)學(xué)的思想方法具有重大的意義。（二）教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)：1、教學(xué)重點(diǎn)：誘導(dǎo)公式的推導(dǎo)及應(yīng)用。2、教學(xué)難點(diǎn)：相關(guān)角邊的幾何對(duì)稱關(guān)系及誘導(dǎo)公式結(jié)構(gòu)特征的認(rèn)識(shí)。二、目標(biāo)分析根據(jù)教學(xué)內(nèi)容的結(jié)構(gòu)特征，依據(jù)學(xué)生學(xué)習(xí)的心理規(guī)律和新課程標(biāo)準(zhǔn)的要求，結(jié)合學(xué)生的實(shí)際水平，本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)為：1、知識(shí)目標(biāo)：（1）識(shí)記誘導(dǎo)公式。（2）理解和掌握公式的內(nèi)涵及結(jié)構(gòu)特征，會(huì)初步運(yùn)用誘導(dǎo)公式求三角函數(shù)的值，并進(jìn)行簡(jiǎn)單三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)和證明。2、能力目標(biāo)：（1）通過(guò)誘導(dǎo)公式的推導(dǎo)，培養(yǎng)學(xué)生的觀察力、分析歸納能力，領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)的歸納轉(zhuǎn)化思想方法。（2）通過(guò)誘導(dǎo)公式的推導(dǎo)、分析公式的結(jié)構(gòu)

6、特征，使學(xué)生體驗(yàn)和理解從特殊到一般的數(shù)學(xué)歸納推理思維方式。（3）通過(guò)基礎(chǔ)訓(xùn)練題組和能力訓(xùn)練題組的練習(xí)，提高學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的實(shí)踐能力。3、情感目標(biāo)：（1）通過(guò)誘導(dǎo)公式的推導(dǎo)，培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)探索、勇于發(fā)現(xiàn)的科學(xué)精神，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新精神。（2）通過(guò)歸納思維的訓(xùn)練，培養(yǎng)學(xué)生踏實(shí)細(xì)致、嚴(yán)謹(jǐn)科學(xué)的學(xué)習(xí)習(xí)慣，滲透從特殊到一般、把未知轉(zhuǎn)化為已知的辨證唯物主義思想。三、過(guò)程分析（一）創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情景，引導(dǎo)學(xué)生觀察、聯(lián)想，導(dǎo)入課題I 重現(xiàn)已有相關(guān)知識(shí)，為學(xué)習(xí)新知識(shí)作鋪墊。1、提問(wèn)：試敘述三角函數(shù)定義2、提問(wèn)：試寫出誘導(dǎo)公式（一）3、提問(wèn)：試說(shuō)出誘導(dǎo)公式的結(jié)構(gòu)特征4、板書誘導(dǎo)公式（一）及結(jié)構(gòu)特征：誘導(dǎo)公

7、式（一）sin(k·2+)=sin cos(k·2+)=costg(k·2+)=tg（kZ）結(jié)構(gòu)特征：終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等把求任意角的三角函數(shù)值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求0°360°角的三角函數(shù)值問(wèn)題。5、問(wèn)題：試求下列三角函數(shù)的值（1）sin1110° （2）sin1290°學(xué)生：（1）sin1110°=sin（3×2°+30°）=sin30°=（2）sin1290°=sin（3×°+210°）=sin210°（至此，大多數(shù)學(xué)

8、生無(wú)法再運(yùn)算，從已有知識(shí)導(dǎo)出新問(wèn)題）6、引導(dǎo)學(xué)生觀察演示（一），并思考下列問(wèn)題一：3002100演示（一）（1）210°能否用（180°+）的形式表達(dá)？（0°90°（210°=180°+30°）（2）210°角的終邊與30°的終邊關(guān)系如何？（互為反向延長(zhǎng)線或關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱）（3）設(shè)210°、30°角的終邊分別交單位圓于點(diǎn)p、p，則點(diǎn)p與p的位置關(guān)系如何？（關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱）（4）設(shè)點(diǎn)p（x，y），則點(diǎn)p怎樣表示？ p（x,y）（5）sin210°與sin30°的值關(guān)系如何

9、？在求sin210°的過(guò)程中，我們把210°表示成（180°+30°）后，利用210°與30°角的終邊及其與單位圓交點(diǎn)p與p關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，借助三角函數(shù)定義，把180°270°角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為求0°90°角的三角函數(shù)值。8、導(dǎo)入課題：對(duì)于任意角，sin與sin（180+）的關(guān)系如何呢？試說(shuō)出你的猜想。（二）運(yùn)用遷移規(guī)律，引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想類比、歸納、推導(dǎo)公式（I）1、引導(dǎo)學(xué)生觀察演示（二），并思考下列問(wèn)題二：1800300180018001800設(shè)為任意角 演示（二）（1）角與（180°+

10、）的終邊關(guān)系如何？（互為反向延長(zhǎng)線或關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱）（2）設(shè)與（180°+）的終邊分別交單位圓于p，p，則點(diǎn)p與p具有什么關(guān)系？ （關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱）（3）設(shè)點(diǎn)p（x,y），那么點(diǎn)p坐標(biāo)怎樣表示？ p（x,y）（4）sin與sin（180°+）、cos與cos（180°+）關(guān)系如何？（5）tg與tg（180°+）（6）經(jīng)過(guò)探索，你能把上述結(jié)論歸納成公式嗎？其公式特征如何？2、教師針對(duì)學(xué)生思考中存在的問(wèn)題，適時(shí)點(diǎn)撥、引導(dǎo)，師生共同歸納推導(dǎo)公式。（1）板書誘導(dǎo)公式（二）sin（180°+）=sin cos（180°+）=costg（180

11、76;+）=tg（2）結(jié)構(gòu)特征：函數(shù)名不變，符號(hào)看象限（把看作銳角時(shí)）把求（180°+）的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為求的三角函數(shù)值。3、基礎(chǔ)訓(xùn)練題組一：求下列各三角函數(shù)值（可查表）cos225° tg sin4、用相同的方法歸納出公式：sin（）=sincos（）=costg（）=tg5、引導(dǎo)學(xué)生觀察演示（三），并思考下列問(wèn)題三：300300演示（三）（1）30°與（30°）角的終邊關(guān)系如何？ （關(guān)于x軸對(duì)稱）（2）設(shè)30°與（30°）的終邊分別交單位圓于點(diǎn)p、p，則點(diǎn)p與p的關(guān)系如何？（3）設(shè)點(diǎn)p（x,y），則點(diǎn)p的坐標(biāo)怎樣表示？ p(x,y

12、)（4）sin（30°）與sin30°的值關(guān)系如何？6、師生共同分析：在求sin（30°）值的過(guò)程中，我們利用（30°）與30°角的終邊及其與單位圓交點(diǎn)p與p關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的關(guān)系，借助三角函數(shù)定義求sin（30°）的值。（）導(dǎo)入新問(wèn)題：對(duì)于任意角 sin與sin（）的關(guān)系如何呢？試說(shuō)出你的猜想？1、引導(dǎo)學(xué)生觀察演示（四），并思考下列問(wèn)題四：O設(shè)為任意角 演示（四）（1）與（）角的終邊位置關(guān)系如何？ （關(guān)于x軸對(duì)稱）（2）設(shè)與（）角的終邊分別交單位圓于點(diǎn)p、p，則點(diǎn)p與p位置關(guān)系如何？（關(guān)于x軸對(duì)稱）（3）設(shè)點(diǎn)p(x,y)，那么點(diǎn)p的坐標(biāo)

13、怎樣表示？ p(x,y)（4）sin與sin（）、 cos與cos（）關(guān)系如何？（5）tg與tg（）（6）經(jīng)過(guò)探索，你能把上述結(jié)論歸納成公式嗎？其公式結(jié)構(gòu)特征如何？2、學(xué)生分組討論，嘗試推導(dǎo)公式，教師巡視及時(shí)反饋、矯正、講評(píng)3、板書誘導(dǎo)公式（三）sin（）=sin cos（）=costg（）=tg結(jié)構(gòu)特征：函數(shù)名不變，符號(hào)看象限（把看作銳角）把求（）的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為求的三角函數(shù)值4、基礎(chǔ)訓(xùn)練題組二：求下列各三角函數(shù)值（可查表） sin（） tg（210°） cos（240°12）（三）構(gòu)建知識(shí)系統(tǒng)、掌握方法、強(qiáng)化能力I、課堂小結(jié)：（以填空形式讓學(xué)生自己完成）1、誘導(dǎo)公式（

14、一）、（二）、（三）sin（k·2+）=sin cos（k·2+）=costg（k·2+）=tg(kZ)sin（+）=sin cos（+）=costg（+）=tgsin()=sin cos()=costg()=tg用相同的方法，歸納出公式Sin()SinCos()cosTen()tan2、公式的結(jié)構(gòu)特征：函數(shù)名不變，符號(hào)看象限（把看作銳角時(shí)）（）能力訓(xùn)練題組：（檢測(cè)學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)能力）1、已知sin(+)=（為第四象限角），求cos(+)+tg()的值。2、求下列各三角函數(shù)值（1）tg( ) （2）sin( )（3）cos(5100151) （4）sin()（I

15、II）方法及步驟：查表求值003600間角的三角函數(shù)任意正角的三角函數(shù)任意負(fù)角的三角函數(shù)00900間角的三角函數(shù)（IV）作業(yè)與課外思考題通過(guò)上述兩題的探索，你能推導(dǎo)出新的公式嗎？四、教法分析根據(jù)教學(xué)內(nèi)容的結(jié)構(gòu)特征和學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的心理規(guī)律，本節(jié)課彩了“問(wèn)題、類比、發(fā)現(xiàn)、歸納”探究式思維訓(xùn)練教學(xué)方法。（1）利用已有知識(shí)導(dǎo)出新的問(wèn)題，創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，引起學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，激發(fā)學(xué)生的求知欲，達(dá)到以舊拓新的目的。（2）由（1800300）與300、（300）與300終與）邊對(duì)稱關(guān)系的特殊例子，利多媒體動(dòng)態(tài)演示。學(xué)生對(duì)“為任意角”的認(rèn)識(shí)更具完備性，通過(guò)聯(lián)想、引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行導(dǎo)，問(wèn)題類比、方法遷移，發(fā)現(xiàn)任意角與（1800）、終邊的對(duì)稱關(guān)系，進(jìn)行寅，從特殊到一般的歸納推理訓(xùn)練，學(xué)生的歸納思維更具客