專題6用向量法求空間角2021屆高考數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)大秘籍(解析版)

1、第七篇 立體幾何與空間向量專題7.06用向量法求空間角【考綱要求】能用向量方法解決直線與直線、直線與平面、平面與平面的夾角的計(jì)算問(wèn)題，了解向量方法在研究立體幾 何問(wèn)題中的應(yīng)用.【命題趨勢(shì)】 用向量法證明線線、線面、面面的平行與垂直，用向量法求空間角和解決探索性問(wèn)題【核心素養(yǎng)】 本講內(nèi)容能體現(xiàn)對(duì)數(shù)學(xué)建模，數(shù)學(xué)運(yùn)算，數(shù)學(xué)抽象的考查【素養(yǎng)清單？基礎(chǔ)知識(shí)】1.兩條異面直線所成角的求法設(shè)a, b分別是兩異面直線li, I2的方向向量，則ll與l2所成的角0a與b的夾角3范圍a 21(0, nt)求法cosQ =4 ba a cosp 博r b2.直線與平面所成角的求法設(shè)直線l的方向向量為a,平面”的法向

2、量為n,直線l與平面”所成角為& a與n的夾角為&則3.求二面角的大小 (1)如圖，AB, CD分別是二面角 a13的兩個(gè)面內(nèi)與棱l垂直的直線，則二面角的大小 。為AB, CD. (2)如圖，n1, n2分別是二面角 al 3的兩個(gè)半平面 a, 3的法向量，則二面角的大小 。滿足|cos q=|cos nrn2> |,即二面角的平面角大小是向量ni與物的夾角(或其補(bǔ)角).【高考真題解密】1.【2019年高考全國(guó)I卷理數(shù)】 如圖，直四棱柱 ABCD RiBiCiDi的底面是菱形，AAi=4, AB=2 , / BAD=60 °,巳 M, N分別是BC, BBi,

3、AiD的中點(diǎn).(1)證明：MN /平面 CiDE；(2)求二面角A- MAi- N的正弦值.【答案】(i)見(jiàn)解析；(2) 10.5【解析】(i)連結(jié)BiC, ME,因?yàn)镸, E分別為BBi, BC的中點(diǎn)，所以ME/BiC,且ME = 1BiC.又因?yàn)镹為AiD的中點(diǎn)，所以ND=1 AiD. 22由題設(shè)知AiBiDC,可得BiC!,AiD,故ME?ND,因此四邊形 MNDE為平行四邊形， MN/ED.又MN也平面EDCi,所以MN /平面CiDE.(2)由已知可得DEXDA.以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA的方向?yàn)閤軸正方向，建立如圖所小的空間直角坐標(biāo)系D-xyz,則第25頁(yè)共32頁(yè)4A(2,0,0) ,

4、Ai(2, 0, 4), M (1,73,2),N(1,0,2),震=(0,01), aIM=(-i,T3, -2),AN=(-1,0, -2), MN = (0,-T3,0).設(shè)m =(x, y,z)為平面AiMA的法向量，則m AM =0m A1A = 0所以x + a -2z=0'可取m =(糜1,0).Yz =0.r -In MN =0,設(shè)n =(p,q,r)為平面A1MN的法向量，則 n AN =0.3q u0.一 一所以 L3q 0'可取 n = (2,0,-1).i p -'2r = 0于是 cos m, n =m n| ml I n |2 315=255

5、所以二面角 A - MA1 - N的正弦值為 邈 .5【名師點(diǎn)睛】本題考查線面平行關(guān)系的證明、空間向量法求解二面角的問(wèn)題.求解二面角的關(guān)鍵是能夠利用垂直關(guān)系建立空間直角坐標(biāo)系，從而通過(guò)求解法向量夾角的余弦值來(lái)得到二面角的正弦值，屬于常規(guī)題型.2.【2019年高考全國(guó)n卷理數(shù)】如圖，長(zhǎng)方體 ABCD蟲(chóng)iBiCiDi的底面ABCD是正方形，點(diǎn)E在AAi上,BE±ECi .（1）證明：BE，平面 EBiCi；（2）若AE=AiE,求二面角B EC Pi的正弦值.【答案】（i）證明見(jiàn)解析；（2）Y3.【解析】（i）由已知得， Bg _L平面ABBA , BEU平面ABBA, 故 BiCi _

6、L BE .又 BE _L ECi,所以 BE，平面 EBiCi.(2)由(i)知/BEBi =90' 由題設(shè)知 RtzXABERtABiE ,所以/AEB = 451故 AE =AB , AAi =2AB .Diyz,以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA的方向?yàn)閤軸正方向，| DA|為單位長(zhǎng)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系則C (0, 1, 0) , B (1, 1, 0) , Ci (0, 1, 2) , E (1, 0, 1) , CB=10), CE =(1,-1,1), CCi =(0,0,2),設(shè)平面EBC的法向量為n= (x, v, x),則CB n =0,CE n u0,x =0,即 ，

7、x - y z=0,所以可取n =(0, -1,-1).設(shè)平面ECC1的法向量為m= (x, v, z),則CC1m =0,'2z=0,d 即 4 cCE m u0,x-y z = 0.所以可取m= (1, 1, 0).n m1于是 cos n, m =I n |m|2所以，二面角B -EC C1的正弦值為Y3.2【名師點(diǎn)睛】本題考查了利用線面垂直的性質(zhì)定理證明線線垂直以及線面垂直的判定，考查了利用空間向量求二角角的余弦值，以及同角的三角函數(shù)關(guān)系，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力3 .【2019年高考全國(guó)出卷理數(shù)】圖 1是由矩形ADEB, RtAABC和菱形BFGC組成的一個(gè)平面圖形，其中AB=1,

8、 BE=BF=2, /FBC=60°,將其沿 AB, BC折起使得 BE與BF重合，連結(jié) DG ,如圖2.(1)證明：圖2中的A, C, G, D四點(diǎn)共面，且平面 ABC,平面BCGE ；(2)求圖2中的二面角B-CG-A 的大小.【答案】(1)見(jiàn)解析；(2) 30.【解析】(1)由已知得 ADOBE, CG口 BE,所以ADCG,故AD, CG確定一個(gè)平面，從而 A, C, G,D四點(diǎn)共面.由已知得 AB1BE, AB1BC,故AB _L平面BCGE .又因?yàn)锳B匚平面ABC,所以平面ABC _L平面BCGE.(2)作EH _lBC,垂足為H .因?yàn)镋HU平面BCGE,平面BCGE

9、 _L平面ABC,所以EH _L平面ABC.由已知，菱形BCGE的邊長(zhǎng)為2, / EBC=60°,可求得BH=1 , EH= J3 .H *yz,以H為坐標(biāo)原點(diǎn)，hc的方向?yàn)閤軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Z8 H則A ( -1, 1,0), C (1, 0, 0) , G (2, 0, %) , CG= (1, 0, 73) , aC= (2, T, 0) .設(shè)平面ACGD的法向量為n= (x, v, z),則CG n = 0,一AC n =0,即x&=0,2x - y =0.所以可取n = (3, 6,-0)又平面BCGE的法向量可取為 m= (0, 1, 0)

10、,所以 cosn,m)=n m =- |n|m|2因此二面角B £G力的大小為30°.【名師點(diǎn)睛】本題是很新穎的立體幾何考題，首先是多面體折疊問(wèn)題，考查考生在折疊過(guò)程中哪些量是不 變的，再者折疊后的多面體不是直棱柱，最后通過(guò)建系的向量解法將求二面角轉(zhuǎn)化為求二面角的平面角問(wèn) 題，突出考查考生的空間想象能力4 .【2019年高考北京卷理數(shù)】 如圖，在四棱錐 PRBCD中，PAL平面ABCD , AD ± CD , AD / BC, PA=AD=CD=2 ,PF 1BC=3. E為PD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在PC上，且 =一PC 3(1)求證：CD，平面PAD;(2)求二面角f

11、tae -P的余弦值;(3)PG 2設(shè)點(diǎn)G在PB上，且 =.判斷直線AG是否在平面AEF內(nèi)，說(shuō)明理由.PB 38【答案】(1)見(jiàn)解析；(2) Y3； (3)見(jiàn)解析.【解析】(1)因?yàn)镻A，平面ABCD ,所以PAX CD.又因?yàn)锳D LCD,所以CD，平面PAD.(2)過(guò)A作AD的垂線交BC于點(diǎn)M.因?yàn)?PA，平面 ABCD,所以 PAX AM, PA LAD.如圖建立空間直角坐標(biāo)系 A-xyz,則 A (0, 0, 0) , B (2, 1, 0) , C (2, 2, 0) , D ( 0, 2, 0) , P (0,0, 2)因?yàn)镋為PD的中點(diǎn)，所以E (0, 1, 1)所以 AE =(

12、0,1,1), PC =(2,2, -2),AP = (0,0, 2).1 2 22所以 PF J PC = 2,2, -2 , 33 33AF: AP PF= 2,2,4 3,3,3 .設(shè)平面AEF的法向量為n= (x, y, z),n AE ”Tn AF =0,y z = 0,即22x :一 y334-z = 0.3令 z=1，則 y = 1, x = -1是 n =( -1, -1,1).又因?yàn)槠矫鍼AD的法向量為P二 (1, 0,所以cos n, p| nlI p |3由題知，二面角F-AE-P為銳角，所以其余弦值為(3)直線AG在平面AEF內(nèi).因?yàn)辄c(diǎn) G在PB上，且 PG =2, P

13、B =(2, -1,-2),PB 32T 4241 TT 42 2所以 PG = PB =，- ，-，AG = AP PG =，-，.333333 3由(2)知，平面AEF的法向量n =( -1, -1,1).所以 AGn = _4+2+2 = 0. 3 3 3所以直線AG在平面AEF內(nèi).【名師點(diǎn)睛】(1)由題意利用線面垂直的判定定理即可證得題中的結(jié)論；(2)建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合兩個(gè)半平面的法向量即可求得二面角F-AE- P的余弦值；(3)首先求得點(diǎn)G的坐標(biāo)，然后結(jié)合平面 AEF的法向量和直線 AG的方向向量即可判斷直線是否在平面 內(nèi).5.【2019年高考浙江卷】如圖，已知三棱柱ABC A

14、1B1C1 ,平面AACG，平面ABC,/ABC = 90°, /BAC =30。AA=AC =AC,E,F 分別是 AC, A1B1 的中點(diǎn).(1)證明：EF -L BC ；(2)求直線EF與平面ABC所成角的余弦值.3【答案】（1）見(jiàn)解析；（2） 3 .5【解析】方法一：（1）連接AiE,因?yàn)锳iA=AiC, E是AC的中點(diǎn)，所以AiEXAC.又平面AiACCj平面ABC, AiE二平面A1ACC1,平面 A1ACC1 n平面 ABC =AC,所以，AE，平面 ABC,則 AE，BC.又因?yàn)?A1F/AB, /ABC=90°,故 BCAF.所以BC，平面A1EF.因此E

15、FXBC.fl（2）取BC中點(diǎn)G,連接EG, GF,則EGFA1是平行四邊形.由于AE，平面ABC,故AE，EG,所以平行四邊形 EGFA1為矩形.由（1）得BC，平面EGFA1，則平面ABC，平面EGFA1,所以EF在平面A1BC上的射影在直線A1G上.連接A1G交EF于O,則/ EOG是直線EF與平面A1BC所成的角（或其補(bǔ)角）不妨設(shè) AC=4,則在 RtAAEG中，A1E=2J3, EG= 73.由于O為AiG的中點(diǎn)，故EO =OG =aG = Y15, 22222-EO OG EG3所以 cos Z EOG =一 2EO OG 53因此，直線EF與平面AiBC所成角的余弦值是 一.5方

16、法二：(1)連接AE,因?yàn)锳iA=AQ, E是AC的中點(diǎn)，所以AiEXAC.又平面AiACC平面ABC, AiE二平面A1ACC1,平面AiACCiA平面ABC=AC,所以，AiE，平面ABC.E 二yz.如圖，以點(diǎn)E為原點(diǎn)，分別以射線EC, EAi為y, z軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系不妨設(shè)AC=4,則2, 0）.Ai（。，。，2 芯）,B （百，i, 0） , B（石3,2 圾,F（y,|,23） , C（。,3因此，EF=（J, ,2而），BC =（一百10）.2 2由 EF BC=0得 EF 1 BC （2）設(shè)直線EF與平面AiBC所成角為0.由（1）可得 Bc=（ -3, i, 0

17、） , A=（0,2 , -23）.設(shè)平面AiBC的法向量為n =(x, y,z),4 BC n =0 /日 - 3x y =0由 <，得£AC n - 0| y -1,-<3z = 0取n =（1, 43,1）,故 sin 6 =|cos后初郎二53因此，直線EF與平面AiBC所成的角的余弦值為 -.5【名師點(diǎn)睛】本題主要考查空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系，直線與平面所成的角等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查空間想 象能力和運(yùn)算求解能力.【考法拓展？題型解碼】考法一求異面直線所成的角答題模板用向量法求異面直線所成角的一般步驟(1)選擇三條兩兩垂直的直線建立空間直角坐標(biāo)系.(2)確定異面直線上

18、兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，從而確定異面直線的方向向量.(3)利用向量的夾角公式求出向量夾角的余弦值.(4)兩異面直線所成角的余弦等于兩向量夾角余弦值的絕對(duì)值.【例1】(2017江蘇卷)如圖，在平行六面體 ABCD AiBiCiDi中，AAi，平面ABCD ,且AB=AD = 2, AA1= 73, / BAD = 120°.(1)求異面直線A1B與AC1所成角的余弦值；(2)求二面角B- AD A的正弦值.從 見(jiàn)【答案】見(jiàn)解析【解析】在平面 ABCD內(nèi)，過(guò)點(diǎn)A作AELAD,交BC于點(diǎn)E.因?yàn)锳A1,平面ABCD,所以AAaAE, AA1±ad.，一 一 .一 一如圖，以Ae, Ad ,

19、 AA1為正交基底，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz.因?yàn)?AB=AD = 2, AA1=V3, Z bad = 120°,則 B(3, 1,0), D(0,2,0), E(、/3, 0,0),仆(0,0, *W), C1(3,1, ®(1)AiB=(3, 1,4,ACi=(3, 1, 3).則 cos A1B一AiB ACi 3 131ACi=-=3由=-7.|A1B|AC1|八'1因此異面直線 AiB與ACi所成角的余弦值為7.(2)平面AiDA的一個(gè)法向量為AE = (3, 0,0).設(shè)m=(x, v, z)為平面BAiD的一個(gè)法向量,又aTb=33, 1, 3),

20、 BD = (-3, 3,0),m AiB= 0,則一、m BD = 0,pJ3x y /3z= 0, 即匕 J3x+ 3y= 0.不妨取 x=3,則 y=3, z = 2,所以m=(3, 3, 2)為平面BAiD的一個(gè)法向量,一AE m從而 cosAE, m> =f |AE|m|3,0,03, 3,2 =33 443設(shè)二面角 B AiD A的大小為 0,則|cos q=4.27因?yàn)?0 , nt所以 sin 0= «1 cos 2。= 4 .7因此二面角B AiDA的正弦值為4 .考法二求直線與平面所成的角解題技巧利用向量法求線面角的方法(1)分別求出斜線和它在平面內(nèi)的射影所

21、在直線的方向向量，轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)方向向量的夾角(或其補(bǔ)角).(2)通過(guò)平面的法向量來(lái)求，即求出斜線的方向向量與平面的法向量所成的銳角，取其余角就是斜線和平面 所成的角.【例2】(2019黃岡外校模擬)在平面四邊形 ABCD中，AB=BD=CD = 1, AB± BD, CDXBD.AABD沿BD折起，使得平面 ABD，平面BCD ,如圖所示.(1)求證：ABXCD；(2)若M為AD中點(diǎn)，求直線 AD與平面MBC所成角的正弦值.【答案】見(jiàn)解析【解析】(1)證明：因?yàn)槠矫?ABD，平面BCD,平面ABDA平面BCD=BD, AB?平面ABD, ABXBD, 所以AB,平面BCD.又CD?平

22、面BCD,所以 ABXCD.(2)過(guò)點(diǎn)B在平面BCD內(nèi)作BEXBD,如圖所示.由(1)知AB,平面BCD, BE?平面BCD, BD?平面BCD,所以AB±BE, AB，BD.以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以BE, BD, BA的方向?yàn)閤軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系.(11 一一 1 一依題意，得 B(0,0,0), C(1,1,0), D(0,1,0), A(0,0,1), Mg, 2, 2,h 則BC=(1,1,0), BM=9, 2,萬(wàn)/，AD =(0,1 ,-1).設(shè)平面MBC的法向量n=(xo, yo, Zo),'nBC=0,xo+yo=0，則j 一即j1十1&#

23、176; 取Zo=1,得平面MBC的一個(gè)法向量n=(1, 1,1).設(shè)直線AD與平一In AD| 66面 MBC 所成角為 仇則 sin 0= |cos <n, AD> |=一 = 3 ,|n|AD|6 即直線AD與平面MBC所成角的正弦值為 3 .考法三求二面角解題技巧求二面角最常用的方法就是分別求出二面角的兩個(gè)半平面所在面的法向量，然后通過(guò)兩個(gè)平面的法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結(jié)合實(shí)際圖形判斷所求角是銳角還是鈍角.【例3】（2017浙江卷）如圖，已知正四面體 D ABC（所有棱長(zhǎng)均相等的三棱錐），P, Q, R分別為AB, BC,BQ CRCA上的點(diǎn)，AP=PB,或=

24、*=2.分別記二面角 D-PR-Q, D-PQ-R, D - QR- P的平面角為 % 3,工則（）DBA . F a< 3B . a< F 3C. «<華丫D.國(guó) fa【答案】B【解析】 如圖1,設(shè)點(diǎn)。是點(diǎn)D在底面ABC內(nèi)的射影，過(guò)點(diǎn) 。作OEPR, OFXPQ, OGXRQ,垂足分別為E, F, G,連接ED, FD, GD,易得EDXPR,所以/ OED就是二面角 DPRQ的平面角，ODODOD所以 a= / OED, tan a= oe,同理 tan 3= of， tan 尸 og.底面的平面圖如圖2所示，以P為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)AB=2,則A（

25、1,0）, B（1,0）, C（0,1,O（0 用因?yàn)?AP=PB, QC=RA=2,所以 q !3,*,R（一:，卑 i335 3則直線RP的方程為y=- 2x,直線PQ的方程為y=23x,直線RQ的方程為y= 3 x+ 9 ,根據(jù)點(diǎn)到直 線的距離公式，2 21391知 OE= 21 , OF = 39 , OG = 3,所以 OE>OG>OF,所以tan Ntan ftan 3,又% 3, 丫為銳角，所以< F 3,故選B.【例4】（2017北京卷）如圖，在四棱錐 P-ABCD中，底面ABCD為正方形，平面 PAD，平面ABCD ,點(diǎn) M 在線段 PB 上，PD/平面 M

26、AC, PA=PD = V6, AB = 4.求證：M為PB的中點(diǎn)；(2)求二面角為BPD A的大??；(3)求直線MC與平面BDP所成角的正弦值.【答案】見(jiàn)解析【解析】(1)證明：如圖，設(shè) AC, BD的交點(diǎn)為E,連接ME.因?yàn)镻D/平面 MAC,平面 MAC n平面PDB= ME,所以PD / ME,因?yàn)锳BCD是正方形，所以E為BD的中點(diǎn)，所以 M為PB的中點(diǎn).(2)取AD的中點(diǎn)O,連接OP, OE.因?yàn)镻A=PD,所以O(shè)PLAD.又因?yàn)槠矫?PAD，平面 ABCD,平面 PAD n平面 ABCD = CD ,且OP?平面PAD,所以O(shè)P,平面 ABCD.因?yàn)镺E?平面ABCD,所以O(shè)P

27、LOE.因?yàn)锳BCD是正方形，所以 OEAD.如圖建立空間直角坐標(biāo)系 Oxyz,則P(0,0,42), D(2,0,0),B(2,4,0), BD = (4, 4,0), PD = (2,0, J).設(shè)平面BDP的法向量為 n=(x, v, z),j n BD = 0, 則一m PD = 0,4x 4y = 0,即 2x收z=0.令 x=1，則 y=1，z=*,于是n = (1,1, 2).平面PAD的法向量為p= (0,1,0).n p 1所以c0s n, p> = |n|p|= 2.由題知二面角 B PD A為銳角，所以它的大小為兀3.由題意知M12小,2, 2 J, C(2,4,0

28、),設(shè)直線MC與平面BDP所成角為一 還% 則 sin a= |cos n, MC > |= 9【例5】(2017全國(guó)卷n )如圖，四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面 ABCD, AB =1BC=2AD, Z BAD = Z ABC=90°, E 是 PD 的中點(diǎn).證明：直線CE/平面PAB;(2)點(diǎn)M在PC上，且直線BM與底面ABCD所成角為45°,求二面角 MAB D的余弦值.R c【答案】見(jiàn)解析1【解析】證明：取PA的中點(diǎn)F,連接EF, BF,因?yàn)镋是PD的中點(diǎn)，所以EF/AD , EF = 2AD.由/BAD= /ABC=907l|BC/

29、AD,又BC = 1ad,所以EF觸BC ,四邊形BCEF是平行四邊形，所以CE/ BF,又BF?平面PAB, CE?平面PAB,故CE/平面 PAB.(2)由已知得BAXAD,以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB的方向?yàn)閤軸正方向，|AB|為單位長(zhǎng)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz,則B(1,0,0), C(1,1,0), P(0,1, 3),PC = (1,0, -3), AB= (1,0,0).設(shè) M(x, y, z)(0<x<1),則BM = (x 1, v, z),PM=(x, y1,因?yàn)锽M與底面ABCD所成的角為45°,而n= (0,0,1)是底面ABCD的法向量,所以

30、 |cosBM , n> |= sin 45 °|z|x2+y2+z2= 2,即（x 1）2+y2-z2=0.又 M 在PC 上，設(shè)PM=FC（0於1）則x=入y=1,z=3-3X2x= 1 + 2，由，解得 y=1，6L z= - 2 ,2I x=1 2, 舍去，（y = 1，J6L z= 2，所以M d-從而AM =1,126.m AM = 0,設(shè)m=(x°, y°, zo)是平面ABM的法向量，則2 -/2 x°+2y0+ 6zo = 0,、xo= 0,m n q 10所以可取 m=（0, q6, 2）.于是cos m, n> =而而=

31、510因此二面角 M-AB-D的余弦值為 5 .【易錯(cuò)警示】 易錯(cuò)點(diǎn)混淆向量的夾角與幾何中的夾角的概念【典例】 如圖，在四棱錐 P-ABCD 中，PAL底面 ABCD, AD ±AB, AB / DC, AD = DC=AP=2, AB= 1 ,點(diǎn)E為棱PC的中點(diǎn).（1）證明:BEXDC；(2)求直線BE與平面PBD所成角的正弦值;若F為棱PC上一點(diǎn)，滿足 BFXAC,求二面角FABP的余弦值.【錯(cuò)解】：(1)證明：依題意，以點(diǎn) A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系如圖，可得 B(1,0,0), C(2,2,0), D(0,2,0),P(0,0,2).由E為棱PC的中點(diǎn)，得E(1,1,1).E

32、BE = (0,1,1), DC = (2,0,0),故BE DC = 0,所以 BEXDC.(2)BD=(1,2,0), PB=(1,0, 2).設(shè)n=(x, v, z)為平面PBD的法向量,n BD = 0,則一E PB=0,-x+ 2y= 0,|x- 2z= 0.不妨令y=1,可得n=(2,1,1)為平面PBD的一個(gè)法向量.于是有cos n, BE>n BE 2V3一 =y6>V2= 3|n|BE| 7 飛6所以，直線BE與平面PBD所成角的正弦值為 3(3)BC= (1,2,0), CP=(-2, 2,2), AC =(2,2,0),AB = (1,0,0).由點(diǎn)F在PC上

33、，設(shè)CF=4P, 0WKL故BF=BC+CF=BC+ 4P=(12 入 2 2 入 2萬(wàn).由 BFAC,得 BF AC=0,因此，2(1 24+2(22 分=0,3- f 1 1 3)解得 H 4，即 BF = 2，2，2)-設(shè)=(x, y, z)為平面FAB的法向量，ni AB = 0,則一mi BF = 0,x= 0,即j 1130不妨令z= 1 ,可得ni=(0, 3,1)為平面FAB的一個(gè)法向量.取平面ABP的一個(gè)法向量 力=(0,1,0),ni n2- 33j1則 c0sn1，n2> = |ni| |n2|=10xi = 10 .3 10所以二面角F AB P的余弦值為一10

34、.【錯(cuò)因分析】：兩個(gè)方向向量的夾角與空間中直線、平面的夾角是不完全相同的，如兩個(gè)相交平面的法向量的夾角與這兩個(gè)平面構(gòu)成的二面角相等或互補(bǔ)，線面角的正弦值與平面的法向量和直線的方向向量的夾 角的余弦值的絕對(duì)值是相等的.【正解】：(1)證明：依題意，以點(diǎn) A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系如圖，可得 B(1,0,0), C(2,2,0), D(0,2,0),P(0,0,2).由 E 為棱 PC 的中點(diǎn)，得 E(1,1,1).BE= (0,1,1), DC = (2,0,0),故BE DC = 0,所以 BEXDC.(2)(同前)由于BE與平面PBD的法向量n所成之角為線面夾角的余角，所以直線BE與平面PB

35、D所成角的正3弦值為3 .3 10(3)(同前)易知二面角FABP是銳二面角，所以所求二面角的余弦值為|cosni,出1= 10 .【誤區(qū)防范】 需要注意的是，利用平面的法向量求二面角的大小時(shí)，二面角是銳角還是鈍角由圖形決定.由圖形知二面|n 1 n 2|In 1 n 2I角是銳角時(shí)，c0s 9= |m|n2卜二面角是鈍角時(shí)，c0s 0= 一 n1|n2|.當(dāng)圖形不能確定時(shí)，要根據(jù)向量的坐標(biāo)在圖形中觀察向量的方向，從而確定二面角與向量m, n2的夾角是相等(一個(gè)平面的法向量指向二面角的內(nèi)部，另一個(gè)平面的法向量指向二面角的外部如圖)還是互補(bǔ)(兩個(gè)法向量同時(shí)指向二面角的內(nèi)部或外部如圖)，這是利用向

36、量法求二面角的難點(diǎn)，也是易錯(cuò)點(diǎn).【跟蹤訓(xùn)練】 如圖，四邊形 ABCD和ADPQ均為正方形，它們所在的平面互相垂直，動(dòng)點(diǎn) M在線段PQ上，E, F分別為AB, BC的中點(diǎn).設(shè)異面直線 EM與AF所成的角為9,則cos。的最大值為 .Q w P2【答案】5【解析】 以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AD為y軸，AQ為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AB=2,則E(1,0,0),F(2,1,0),設(shè) M(0, y,2)(0，W2)則 EM = ( 1, y,2), AF=(2,1,0), 2 y所以 cos 0= |cos EM , AF|=、.7十 5 .、；5,2 y2 y 5設(shè) f(y)=，廣 耶，所以 f

37、，y)= V5(y2+5)7yT5 .因?yàn)?可WZ所以，y)<0,所以f(y)在0,2上單調(diào)遞減，2所以y=0時(shí)，f(y)取最大值5.【遞進(jìn)題組】1. (2018全國(guó)卷I )已知正方體的棱長(zhǎng)為 1,每條棱所在直線與平面”所成的角都相等，則a截此正方體所得截面面積的最大值為()3432.3A. 4B. 33 33C. 4D. 2【答案】A【解析】記該正方體為 ABCD-AB'C'D',正方體的每條棱所在直線與平面a所成的角都相等，即共點(diǎn)的三條棱AA, AB； AD與平面a所成的角都相等.如圖，連接AB； AD ； B D ；因?yàn)槿忮F A'ABD是正三棱錐，

38、所以AA, AB； AD與平面ABD所成的角都相等.分別取 CD, B'C', BB； AB, AD, DD 的中點(diǎn) E, F, G, H, I, J,連接 EF, FG, GH , IH, IJ, JE,易所以“截此正方體所得截面得E, F, G, H, I, J六點(diǎn)共面，平面EFGHIJ與平面ABD'平行，且截正方體所得截面的面積最大.又 EF= fg = gh = ih = ij = je=¥,所以該正六邊形的面積為3 3面積的最大值為4，故選A.2. (2019 山東模擬)如圖，在直棱柱 ABCD AiBiCiDi 中，AD/BC , Z BAD =

39、90°, ACXBD, BC=1, AD =AAi = 3.(1)證明:ACXBiD;(2)求直線BiCi與平面ACDi所成角的正弦值.【答案】見(jiàn)解析第38頁(yè)共32頁(yè)【解析】(i)證明：易知，AB, AD, AAi兩兩垂直，如圖，以 A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB, AD, AAi所在直線分別為 x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)AB=t>0,則相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)為B(t,0,0), Bi(t,0,3), C(t,i,0), Ci(t,i,3), D(0,3,0), Di(0,3,3). 從而 BiD=(1,3, 3), AC=(t,i,0), BD = (-t,3,0),因?yàn)?ACXB

40、D,所以 AC BD = t2 + 3+0= 0,解得 t= J3.于是 B?D=(-N3, 3, 3), aC=(T3, i,0),.7 因?yàn)?AC BiD=3+3 + 0=0,所以 ACBiD,即 ACXBiD.(2)由(i)知，ADi= (0,3,3), AC=(V3, i,0), B1Ci= (0,i,0),I n AC= 0, 設(shè)n=(x, v, z)是平面ACDi的一個(gè)法向量，則 j 一n ADi= 0,r3x+ y= 0,即：3y+3z= 0,令 x= 1,貝” n=(1, f，X3)-設(shè)直線BiCi與平面ACDi所成的角為0,一 n BiCi| 逆 0則 sin 0= |cos

41、n, BiCi|=-=萬(wàn)=7 .|n| |BiCi| 72i即直線BiCi與平面ACDi所成角的正弦值為 7 .JT3 .如圖，三棱錐P-ABC中，PC,平面ABC, PC = 3, Z ACB = 2，D, E分別為線段AB, BC上的點(diǎn)，且 CD = DE = V2, CE=2EB=2.證明：DEL平面PCD;(2)求二面角A- PD C的余弦值.卜【答案】見(jiàn)解析【解析】 證明：由PC,平面ABC, DE?平面ABC,得 PCXDE.由CE=2, CD = DE= 42得ACDE為等腰直角三角形，故 CDXDE.由PCACD=C, DE垂直于平面PCD內(nèi)兩條相交直線，故DE,平面PCD.(

42、2)由(i)知，4CDE為等腰直角三角形，/ DCE=4,如圖，過(guò)點(diǎn)D作DFLCE于點(diǎn)F,易知DF = FC = FE =i ,又已知 EB= i ,故 FB = 2.兀由/ ACB = 2，得 DF /AC,DF FB 233所以AC=BC=3，故 ac = 2df=2.以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以CA, CB, CP的方向?yàn)閤軸，y軸，z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，則P(0,0,3),13、一A(2, 0, 01 E(0,2,0), D(1,1,0), ED = (1, 1,0),一 一 。DP = (-1, 1,3), DA= a 1, 0；設(shè)平面PAD的法向量為 ni=(xi, yi,

43、z)，由 ni DP = 0, ni DA = 0,”一x1 一yi+ 3zi = °,得1 nxi-yi = 0,故可取 ni= (2,1,1).由(1)可知DEL平面 PCD,故平面PCD的法向量 降可取為ED,即 電=(1, - 1,0).ni n2 亞所以 cos ni, n2> = |ni| |n2|= 6 ,3故所求二面角 A-PD-C的余弦值為6 .4 .如圖所示，在直三棱柱 ABC A1B1C1中，/BAC = 90°, AB=AC=AA1=1, P是AD的延長(zhǎng)線與 A1C1的延長(zhǎng)線的交點(diǎn)，且 PB"/平面BDA1.(1)求證：CD = CD

44、；(2)求二面角A-ADB的平面角的余弦值.【答案】見(jiàn)解析【解析】 證明：連接ABi交BAi于點(diǎn)O,連接OD.因?yàn)?BiP/平面 BDAi, BiP?平面 ABiP,平面 ABiPn平面 BAiD=OD,A所以 BiP/ OD.又因?yàn)?。為BiA的中點(diǎn)，所以D為AP的中點(diǎn).因?yàn)镃iD/AAi,所以Ci為AiP的中點(diǎn).所以 DC i = 2AAi = 2CC i,(2)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)ixyz,所以 CiD=CD.i 口一則 Bi(i,0,0), B(i,0,i), Dip, i, 23 所以 AiBi = (i,0,0),AiB=(i,0,i),一 ( 口AiD=10, i, 21

45、設(shè)平面BAiD的一個(gè)法向量為 n=(xi, yi, zi).AiBn = 0,由一AD n=0,i + zi = 0,得i、yi+ 2zi = 0.令 zi = 2,則 = 2, y1 = 一 i, 所以 n = (-2, i,2).又AiBi = (i,0,0)為平面AAiD的一個(gè)法向量.fn A1B1 2 2所以 cosn, A1B1 > = 一 =3M=一3.|n |AiBi|由圖形可知二面角 A AD B為銳二面角，2所以二面角 A AiD B的平面角的余弦值為 3.【基礎(chǔ)檢測(cè)題】一、選擇題1 .已知三棱錐 SABC中，SA, SB, SC兩兩互相垂直，底面 ABC上一點(diǎn)P到三個(gè)

46、面 SAB, SAC, SBC的距離分別為用 1,乖，則PS的長(zhǎng)度為（）A . 9B.75C.SD. 3【答案】D【解析】由條件可分別以SA, SB, SC為x軸、y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系 Sxyz,則點(diǎn)S的坐標(biāo)為（0,0,0）, 點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，1, 回 由兩點(diǎn)之間的距離公式可得PS= ', 6+1 + 2 =3.2 .在直三棱柱ABC A1B1C1中，若/ BAC=90。，AB = AC=AA1，則異面直線BA與AC1所成的角等于（）A. 30°B. 45°C. 60°D, 90°【答案】C【解析】不妨設(shè) AB=AC = AAi=1,建

47、立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，則 B（0, -1,0）, Ai（0,0,1）, A（0,0,0）,Ci(1,0,1),所以 BAi = (0,1,1), ACi = (1,0,1),所以 cosBA1一 BA1 ACi 11一AC1= 一 一 = ,2 x/2= 25 所以BA1,|BAi| |ACi| 、*AC1=60。，所以異面直線 BAi與ACi所成的角等于60°.3.在正方體ABCD A1B1C1D1中，點(diǎn)E為BBi的中點(diǎn)，則平面AiED與平面ABCD所成的銳二面角的余弦值為（）1A.22B.3,3C方d£【解析】以A為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz,1設(shè)棱長(zhǎng)

48、為 1,則 Ai(0,0,1), E1, 0, 2,A D(0,1,0),、二 11), A1E=p, 0, -2/2B所以 A1D=(0,1,y-z=0,設(shè)平面A1ED的一個(gè)法向量為 m=(1 ,y,z),則11_0所以y= 2,二 9 所以n 1=(1,2,2) .因?yàn)槠矫鍭BCD Z= 2.的一個(gè)法向量為電=(0。1),所以cos n 1n2=3x1 = 3,即所成的銳二面角的余弦值為23.4.若直線l的方向向量為a= (1,0,2),平面a的法向量為U = (-2,0, 4),則()B. l± aC. l? a【解析】因?yàn)閡= 2a,所以u(píng)/a,則l.5.已知正三棱柱 ABC

49、A1B1C1的側(cè)面積是其下底面面積的 4/3倍，則ABi與側(cè)面ACCiAi所成角的正弦值為()6A. 4上C. 2,10B. 43D. 23ab【解析】設(shè)正三棱柱的底面邊長(zhǎng)為a,側(cè)棱長(zhǎng)為b,由題意可得 小3一=443,整理得a=b.取AiCi的中點(diǎn) 巳4 a2連接BiE,易知BiEXAiCi,又AAJ底面AiBiCi,所以AAi±AiCi, AAi，BiE.以E為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所13示的空間直角坐標(biāo)系 Exyz,設(shè)a為i,則E（0,0,0）, A區(qū)0, i /, Bi© 2，。設(shè)ABi與平面ACCiAi所成一，一, 人，一口 一 1 1, 、一 （J3I 一的角為 0,

50、EBi 為平面ACCiAi 的一個(gè)法向量，ABi=2,2,- i ）, EBi= 02 ,0J,則sin 0= CO & AB,i 33一 ，2, i/。2，。/笆EBi |= 4 .故選 A.72x26 . （20i8浙江卷）已知四棱錐S ABCD的底面是正方形，側(cè)棱長(zhǎng)均相等，E是線段AB上的點(diǎn)（不含端點(diǎn)）.設(shè)SE與BC所成的角為 機(jī)SE與平面ABCD所成的角為&,二面角S AB C的平面角為 國(guó),則（）A .9i<ew03B,03<&WQiC, 9i<&D,02< GW Qi【答案】D【解析】由題意得四棱錐 S- ABCD為正四棱錐，

51、設(shè)。為其底面中心，則 SO,平面ABCD.過(guò)點(diǎn)E作EG/SHBC交CD于點(diǎn)G,則/ SEG= 9i,易知SE= SG,取EG中點(diǎn)H,所以tan。1=函.取AB中點(diǎn)F,連接OF,SF.A E F B因?yàn)镺F/ BC,所以O(shè)F LAB.因?yàn)镾A= SB, F為AB中點(diǎn)，所以 ABXSF,所以/ SFO為二面角 S-AB-C的SO（ 口;平面角，所以/ SFO= tan 03=OF.因?yàn)镺F=EH, SH>SO,所以tan 9i>tan此又明，03 02上所以SO印>的.因?yàn)镾O,平面 ABCD,所以/ SEO為SE與平面 ABCD所成的角，所以/ SEO=。tan 62= OE.

52、（由因?yàn)镺E>OF,所以tan ®>tan偽，又&, &C。2/所以 句> ，所以年>色>&,當(dāng)且僅當(dāng)E為AB中點(diǎn)時(shí)，0i= &= %.故選D.二、填空題7 .在正三棱柱ABCAiBiCi中，AB=i,點(diǎn)D在BBi上，若BD = i ,則AD與平面AAiCiC所成角的正 切值為.15【答案】5【解析】如圖，設(shè) AD與平面AAiCiC所成的角為 “E為AC的中點(diǎn)，連接BE,則BEX AC,所以BE,平_3 333, 一八 ,面 AAiCiC,可得 ADEB = (AB+BD) EB=ABEB= 1 方 X2 =4 =、2交

53、>cos&。為 AD 與 EB 的夾角)，所以6cos 015cos 0= 4 = sin % 所以所求角白正切值為tan 5= sin 0= 5 .R8.如圖所示，在空間直角坐標(biāo)系中有直三棱柱ABC AiBiCi, CA=CCi=2CB,則直線BCi與直線AB夾角的余弦值為5 5【答案】5一 ,一，、/一，一，I【解析】不妨令 CB=i,則 CA = CCi=2,可得 O(0,0,0), B(0,0,i), Ci(0,2,0), A(2,0,0), Bi(0,2,i),所以 BCi = (0,2, i), ABi=(-2,2,i),一 一B Ci A Bi 4 i i 節(jié)所以 cos BCi, ABi= 一 一 = l/5 ></9= /5= 5 >0. |BCi|ABi|所以BCi與ABi的夾角即為直線 BCi與直線ABi的夾角，5所以直線BCi與直線ABi夾角的余弦值為5 .9,已知長(zhǎng)方體 ABCO-AiBiCiOi, OA=OC = 2, OOi = 4, D 為 BC1與 BC 的交點(diǎn)