選修2-2數(shù)學(xué)歸納法教案

1、選修2-2 2.3數(shù)學(xué)歸納法(一)教學(xué)設(shè)計(jì)太康縣第二高級中學(xué)郭偉峰一、教材分析數(shù)學(xué)歸納法是一種重要的數(shù)學(xué)證明方法，在高中數(shù)學(xué)內(nèi)容中占有重要的地位， 其中體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想方法對學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、 領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想至關(guān)重要。數(shù)學(xué) 歸納法的證明過程中展現(xiàn)的推理和邏輯思維讓學(xué)生體會到數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)和規(guī)范。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)歸納法后學(xué)生對等差等比數(shù)列、數(shù)列求和、二項(xiàng)式定理、整除問題等問題 的解決有了新的方法。首先，我們需要初步掌握了由有限多個(gè)特殊事例得出一般 結(jié)論的推理方法，即不完全歸納法，這是研究數(shù)學(xué)問題，猜想或發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律的 重要手段。但是，由有限多個(gè)特殊事例得出的結(jié)論不一定正確，這種推理方法不能作為一種論證方法。因

2、此，在不完全歸納法的基礎(chǔ)上，必須進(jìn)一步學(xué)習(xí)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?科學(xué)的論證方法一一數(shù)學(xué)歸納法，這是促進(jìn)思維從有限性發(fā)展到無限性的一個(gè)重 要環(huán)節(jié)，掌握數(shù)學(xué)歸納法的證明過程是培養(yǎng)嚴(yán)密的推理能力、 訓(xùn)練抽象思維能力、 體驗(yàn)數(shù)學(xué)內(nèi)在美的好素材。二、教學(xué)目標(biāo)1. 知識目標(biāo)(1) 了解由有限多個(gè)特殊事例得出的一般結(jié)論不一定正確，初步理解數(shù)學(xué)歸納法原理。(2) 能以遞推思想為指導(dǎo)，理解數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)學(xué)命題的兩個(gè)步驟一個(gè) 結(jié)論。(3) 初步會用數(shù)學(xué)歸納法證明一些與正整數(shù)相關(guān)的簡單的恒等式。2. 能力目標(biāo)(1) 通過對數(shù)學(xué)歸納法的學(xué)習(xí)，使學(xué)生初步掌握觀察、歸納、猜想、分析能力和嚴(yán)密的邏輯推理能力。(2) 進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的抽

3、象思維能力和創(chuàng)新能力，讓學(xué)生經(jīng)歷知識的構(gòu)建 過程，體會類比的數(shù)學(xué)思想.(3) 在學(xué)習(xí)中培養(yǎng)學(xué)生大膽猜想，小心求證的辨證思維素質(zhì)以及發(fā)現(xiàn)問題、 提出問題的意識和數(shù)學(xué)交流的能力。3. 情感目標(biāo)(1) 通過對數(shù)學(xué)歸納法原理的探究，親歷知識的構(gòu)建過程，領(lǐng)悟其中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想和辨正唯物主義觀點(diǎn)。(2) 體驗(yàn)探索中挫折的艱辛和成功的快樂，感悟數(shù)學(xué)的內(nèi)在美，激發(fā)學(xué)生 學(xué)習(xí)熱情，使學(xué)生喜歡數(shù)學(xué)。(3) 學(xué)生通過置疑與探究，初步形成正確的數(shù)學(xué)觀，創(chuàng)新意識和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目?學(xué)精神。三、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)1 .教學(xué)重點(diǎn)借助具體實(shí)例了解數(shù)學(xué)歸納法的基本思想，掌握它的基本步驟，運(yùn)用它證 明一些與正整數(shù)有關(guān)的簡單恒等式，特別要注

4、意遞推步驟中歸納假設(shè)的運(yùn)用和恒 等變換的運(yùn)用。2.教學(xué)難點(diǎn)(1如何理解數(shù)學(xué)歸納法證題的嚴(yán)密性和有效性。(2)遞推步驟中如何利用歸納假設(shè)，即如何利用假設(shè)證明當(dāng)A ill時(shí)結(jié)論 正確。四、教學(xué)方法本節(jié)課采用類比啟發(fā)探究式教學(xué)方法，以學(xué)生及其發(fā)展為本，一切從學(xué)生 出發(fā)。在教師組織啟發(fā)下，通過創(chuàng)設(shè)問題情境，激發(fā)學(xué)習(xí)欲望。師生之間、學(xué)生 之間共同探究多米諾骨牌倒下的原理，并類比多米諾骨牌倒下的原理，探究數(shù)學(xué) 歸納法的原理、步驟；培養(yǎng)學(xué)生歸納、類比推理的能力，進(jìn)而應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法， 證明一些與正整數(shù)A有關(guān)的簡單數(shù)學(xué)命題；提高學(xué)生的應(yīng)用能力，分析問題、解 決問題的能力。既強(qiáng)調(diào)獨(dú)立思考，又提倡團(tuán)結(jié)合作；既重視教

5、師的組織引導(dǎo)，又 強(qiáng)調(diào)學(xué)生的主體性、主動性、平等性、交流性、開放性和合作性。五、教學(xué)過程（一）創(chuàng)設(shè)情境，提出問題情景一：明朝劉元卿編的應(yīng)諧錄中有一個(gè)笑話：財(cái)主的兒子 學(xué)寫字.這則笑話中財(cái)主的兒子得出“四就是四橫、五就是五橫 的結(jié)論，用的就是“歸納法”，不過，這個(gè)歸納推出的結(jié)論顯然是錯 誤的.情境二：平面內(nèi)三角形內(nèi)角和是1H011，四邊形內(nèi)角和是21期，五邊形內(nèi)角和是3 冊，于是得出：凸斤邊形內(nèi)角和是。情境三：數(shù)列拐的通項(xiàng)公式為可以求得片1,色1E 1,51,于是猜想出數(shù)列丘的通項(xiàng)公式為入1。情景四：粉筆盒中有10支白色粉筆，怎么證明它們是白色的呢？結(jié)論：情景一二三是由殊事例得出的一般性結(jié)論，即

6、不完全歸納法不一定正因此它不能作為一種論證方法，情景四是完全歸納法，結(jié)論可靠但 要核對，不變操提出問題：如何尋找一個(gè)科學(xué)有效的方法證明結(jié)論的正確性呢？我們本節(jié)課要 學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)歸納法就是解決這一問題的方法之一（二）實(shí)驗(yàn)演示，探索解決問題的方法1 幾何畫板演示動畫多米諾骨牌游戲，師生共同探討：要讓這些骨牌全部倒 下，必須具備哪些條件呢第一塊骨牌必須倒下。兩塊連續(xù)的骨牌，當(dāng)前一塊倒下一定導(dǎo)致后一塊倒下可以看出，條件 事實(shí)上給出了一個(gè)遞推關(guān)系：當(dāng)?shù)?k塊倒下時(shí)，相 鄰的第k+1塊也倒下。這樣，只要第1塊倒下，其他所有的就能夠相繼倒下。無論多少塊，只要 成立，那么所有的骨牌一定可以全部倒下。演示小節(jié)：數(shù)

7、學(xué)歸納法原理就如同多米諾骨牌一樣。2.數(shù)學(xué)歸納法原理(1) 當(dāng)U取第一個(gè)值 (例如斗二卩等)結(jié)論正確;(2) 假設(shè)當(dāng)5)時(shí)結(jié)論正確；證明當(dāng)斤ill時(shí)結(jié)論也正確。那么命題對從n0開始的所有正整數(shù)n都正確 步驟(1)是數(shù)學(xué)歸納法的基礎(chǔ)，步驟(2)建立了遞推過程，兩者缺一不可，這 就是數(shù)學(xué)歸納法。(三) 遷移應(yīng)用，理解升華例1用數(shù)學(xué)歸納法證明：如果an是一個(gè)等差數(shù)列，那么an=ai+(n-1)d對于 一切n N*都成立。證明：(1)當(dāng)n=1時(shí)，左邊=a1,右邊=a1 + (1-1 ) d=&,結(jié)論成立(2)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)結(jié)論成立，即ak=a1+(k-1)d貝 U 當(dāng) n=k+1 a k+1=

8、 a k+da1+(k-1)d+da1+(k+1)-1d用假設(shè)n=k到n=k+1有什么變化當(dāng)n=k+1時(shí)，結(jié)論也成立。由(1)和(2)知,等式對于任何n N都成立。湊結(jié)論數(shù)學(xué)歸納法 是一種證明與自然數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的重要方法。主要有兩個(gè)步驟、一個(gè)結(jié)論：其中第一步是遞推的基礎(chǔ)，解決了特殊 性；第二步是遞推的依據(jù)，解決了從有限到無限的過渡。這兩步缺一不可。只有 第一步，屬不完全歸納法；只有第二步，假設(shè)就失去了基礎(chǔ)。例2：已知數(shù)列an，其通項(xiàng)公式為an=2n-1，試猜想該數(shù)列的前n項(xiàng)和公式S, 并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論。解：(1)Si=ai=12= Si+a2=1+3=4猜想Sn=n2,Sa= S2+a3=4+5=9 S 4= S3+a4=9+7=16問題轉(zhuǎn)化為證明1+3+5+, +(2 n-1)=n證明:(1)當(dāng)n=1時(shí)，左邊=1,右邊=1,等式是成立的。(2)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)等式成立，即 1+3+5+, +(2k-1)=k則當(dāng) n=k+1 1+3+5+ , +(2k-1)+2(k+1)-1=k2+2(k+1)-1=(k+1)2，當(dāng)n=k+1時(shí)，等式也成立由(1)和(2)知,等式對于任何n N都成立注：在用數(shù)學(xué)歸納法證題時(shí)注意以下三句話 “遞推基礎(chǔ)不可少，歸納假設(shè)要用到, 結(jié)論寫明莫忘掉?！?四) 反饋練習(xí)，鞏固提高課堂練習(xí)：課本第95頁練習(xí)1, 2(五) 課堂小