高中數(shù)學(xué)：求函數(shù)值域的方法十三種

1、高中數(shù)學(xué)：求函數(shù)值域的十三種方法第 23 頁 共 23 頁1、 觀察法（ ）2、 配方法（）3、 分離常數(shù)法（）4、 反函數(shù)法（）5、 判別式法（）6、 換元法（）7、 函數(shù)有界性8、 函數(shù)單調(diào)性法（）9、 圖像法（數(shù)型結(jié)合法）（）10、 基本不等式法11、 利用向量不等式 12、 一一映射法13、 多種方法綜合運用 一、觀察法：從自變量的范圍出發(fā)，推出的取值范圍。 【例1】求函數(shù)的值域。【解析】， 函數(shù)的值域為?！纠?】求函數(shù)的值域?！窘馕觥?顯然函數(shù)的值域是：【例3】已知函數(shù)，求函數(shù)的值域?！窘馕觥恳驗?，而，所以：注意：求函數(shù)的值域時，不能忽視定義域，如果該題的定義域為，則函數(shù)的

2、值域為。二 配方法：配方法式求“二次函數(shù)類”值域的基本方法。形如的函數(shù)的值域問題，均可使用配方法?！纠?】 求函數(shù)的值域。【解析】將函數(shù)配方得：由二次函數(shù)的性質(zhì)可知：當(dāng)x=1 -1,2時，當(dāng)時， 故函數(shù)的值域是：4，8【變式】已知，求函數(shù)的最值。【解析】由已知，可得，即函數(shù)是定義在區(qū)間上的二次函數(shù)。將二次函數(shù)配方得，其對稱軸方程，頂點坐標(biāo)，且圖象開口向上。顯然其頂點橫坐標(biāo)不在區(qū)間內(nèi)，如圖2所示。函數(shù)的最小值為，最大值為。圖2【例2】 若函數(shù)時的最小值為，（1）求函數(shù)（2）當(dāng)-3,-2時，求g(t)的最值。（說明：二次函數(shù)在閉區(qū)間上的值域二點二分法，三點三分法）【解析】(1)函數(shù)，其對稱軸方程為

3、，頂點坐標(biāo)為（1，1），圖象開口向上。圖1圖2圖3如圖1所示，若頂點橫坐標(biāo)在區(qū)間左側(cè)時，有，此時，當(dāng)時，函數(shù)取得最小值。如圖2所示，若頂點橫坐標(biāo)在區(qū)間上時，有，即。當(dāng)時，函數(shù)取得最小值。如圖3所示，若頂點橫坐標(biāo)在區(qū)間右側(cè)時，有，即。當(dāng)時，函數(shù)取得最小值綜上討論，g(t)=(2) 時，為減函數(shù)在上，也為減函數(shù)， 【例3】 已知，當(dāng)時，求的最大值【解析】由已知可求對稱軸為（1）當(dāng)時，（2）當(dāng)，即時，根據(jù)對稱性若即時，若即時，（3）當(dāng)即時，綜上，觀察前兩題的解法，為什么最值有時候分兩種情況討論，而有時候又分三種情況討論呢？這些問題其實仔細(xì)思考就很容易解決。不難觀察：二次函數(shù)在閉區(qū)間上的的最值總是在閉

4、區(qū)間的端點或二次函數(shù)的頂點取到。第一個例題中，這個二次函數(shù)是開口向上的，在閉區(qū)間上，它的最小值在區(qū)間的兩個端點或二次函數(shù)的頂點都有可能取到，有三種可能，所以分三種情況討論；而它的最大值不可能是二次函數(shù)的頂點，只可能是閉區(qū)間的兩個端點，哪個端點距離對稱軸遠(yuǎn)就在哪個端點取到，當(dāng)然也就根據(jù)區(qū)間中點與左右端點的遠(yuǎn)近分兩種情況討論。根據(jù)這個理解，不難解釋第二個例題為什么這樣討論。 對二次函數(shù)的區(qū)間最值結(jié)合函數(shù)圖象總結(jié)如下：當(dāng)時 當(dāng)時 【例4】 (1) 求在區(qū)間-1,2上的最大值。(2) 求函數(shù)在上的最大值。【解析】(1)二次函數(shù)的對稱軸方程為，當(dāng)即時，； 當(dāng)即時，。 綜上所述：。(2)函數(shù)圖象的對稱軸方

5、程為，應(yīng)分，即，和這三種情形討論，下列三圖分別為（1）；由圖可知（2）；由圖可知（3） 時；由圖可知；即【例5】 已知二次函數(shù)在區(qū)間上的最大值為3，求實數(shù)a的值。【分析】這是一個逆向最值問題，若從求最值入手，需分與兩大類五種情形討論，過程繁瑣不堪。若注意到最大值總是在閉區(qū)間的端點或拋物線的頂點處取到，因此先計算這些點的函數(shù)值，再檢驗其真假，過程就簡明多了。具體解法為：（1）令，得此時拋物線開口向下，對稱軸方程為，且，故不合題意；（2）令，得此時拋物線開口向上，閉區(qū)間的右端點距離對稱軸較遠(yuǎn)，故符合題意；（3）若，得此時拋物線開口向下，閉區(qū)間的右端點距離對稱軸較遠(yuǎn)，故符合題意。綜上，或解后反思：若

6、函數(shù)圖象的開口方向、對稱軸均不確定，且動區(qū)間所含參數(shù)與確定函數(shù)的參數(shù)一致，可采用先斬后奏的方法，利用二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值只可能在區(qū)間端點、頂點處取得，不妨令之為最值，驗證參數(shù)的資格，進行取舍，從而避開繁難的分類討論，使解題過程簡潔、明了?！咀兪健?已知函數(shù)在區(qū)間上的最大值為4，求實數(shù)a的值。 【解析】（1）若，不符合題意。（2）若則由，得（3）若時，則由，得綜上知或【例6】 已知函數(shù)在區(qū)間上的最小值是3最大值是3，求，的值?！窘夥?】討論對稱軸中1與的位置關(guān)系。若，則解得若，則，無解若，則，無解若，則，無解綜上，【解法2】由，知，則，又在上當(dāng)增大時也增大所以 解得評注：解法2利用閉區(qū)間上的

7、最值不超過整個定義域上的最值，縮小了，的取值范圍，避開了繁難的分類討論，解題過程簡潔、明了?！纠?】 求函數(shù)的值域.【解法1】顯然故函數(shù)的值域是：【解法2】顯然3x5, 三、分離常數(shù)法：分子、分母是一次函數(shù)得有理函數(shù)，可用分離常數(shù)法（分母少，分子多），通過該方法可將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為為(常數(shù))的形式此類問題一般也可以利用反函數(shù)法。 【例1】 求函數(shù)的值域【解析】利用恒等變形，得到：，容易觀察知x-1,y1，得函數(shù)的值域為y (-,1)(1, +)。注意到分?jǐn)?shù)的分子、分母的結(jié)構(gòu)特點，分離出一個常數(shù)后，再通過觀察或配方等其他方法易得函數(shù)值域?！纠?】 求函數(shù)的值域。【解析】觀察分子、分母中均含有項，可利

8、用部分分式法；則有不妨令：從而 注意：在本題中應(yīng)排除，因為作為分母。所以故【變式】求下列函數(shù)的值域： (1) (2) .答案：（）值域 （）值域y -1,1四、反函數(shù)法：利用函數(shù)和它的反函數(shù)的定義域與值域的互逆關(guān)系，通過求反函數(shù)的定義域，得到原函數(shù)的值域?！纠?】求函數(shù)的值域?！窘馕觥坑山獾茫?， 函數(shù)的值域為?！纠?】求函數(shù)值域。【解析】由原函數(shù)式可得：則其反函數(shù)為：，其定義域為：故所求函數(shù)的值域為：【例3】 求函數(shù)的值域。解答：先證明有反函數(shù)，為此，設(shè)且，。所以為減函數(shù)，存在反函數(shù)?？梢郧蟮闷浞春瘮?shù)為：。此函數(shù)的定義域為，故原函數(shù)的值域為?！纠?】 求函數(shù)的值域?！窘夥?】-1x1 a-b

9、a-bxa+b ，【解法2】（反函數(shù)法）：,由-1x1得：，5、 判別式法：把函數(shù)轉(zhuǎn)化成關(guān)于的二次方程；通過方程有實數(shù)根，判別式，從而求得原函數(shù)的值域，形如（、不同時為零）的函數(shù)的值域，常用此方法求解。（解析式中含有分式和根式。） 【例1】求函數(shù)的值域?！窘馕觥吭瘮?shù)化為關(guān)于x的一元二次方程,由于x取一切實數(shù)，故有（1）當(dāng)時， 解得：（2）當(dāng)y=1時，而故函數(shù)的值域為【例2】求函數(shù)的值域?！窘馕觥績蛇吰椒秸淼茫海?） 解得：但此時的函數(shù)的定義域由，得由，僅保證關(guān)于x的方程：在實數(shù)集R有實根，而不能確保其實根在區(qū)間0，2上，即不能確保方程（1）有實根，由 求出的范圍可能比y的實際范圍

10、大，故不能確定此函數(shù)的值域為?？梢圆扇∪缦路椒ㄟM一步確定原函數(shù)的值域。 代入方程（1） 解得：即當(dāng)時， 原函數(shù)的值域為：注：由判別式法來判斷函數(shù)的值域時，若原函數(shù)的定義域不是實數(shù)集時，應(yīng)綜合函數(shù)的定義域，將擴大的部分剔除。 解法二：，令 原函數(shù)的值域為：【例3】 已知函數(shù)的值域為1，3，求的值。【解析】。由于的值域為1，3，故上式不等式的解集為y|1y3【例4】求函數(shù)的值域。【解法1】先將此函數(shù)化成隱函數(shù)的形式得：，(1)這是一個關(guān)于的一元二次方程，原函數(shù)有定義，等價于此方程有解，即方程(1)的判別式，解得：。故原函數(shù)的值域為：。【解法2】當(dāng)x-1時 由于當(dāng)x+1<0時， ，即

11、當(dāng)x+10時，即考慮到x=-1時y=0 故原函數(shù)的值域為：【例5】已知函數(shù)的最大值為4，最小值為 1 ，則= ，= 【解析】。由于的值域為1，4，故不等式的解集為y|1y4 【例6】求函數(shù)的值域?！窘馕觥縴=0得x=-2,從而y=0是值域中的一個點；， 由得函數(shù)的值域為R.六、換元法：運用代數(shù)代換，獎所給函數(shù)化成值域容易確定的另一函數(shù)，從而求得原函數(shù)的值域，形如（、均為常數(shù)，且）的函數(shù)常用此法求解。對于解析式中含有根式或者函數(shù)解析式較復(fù)雜的這類函數(shù)，可以考慮通過換元的方法將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為簡單的熟悉的基本函數(shù)。當(dāng)根式里是一次式時，用代數(shù)換元；當(dāng)根式里是二次式時，用三角換元。【例1】求函數(shù)的值域。【

12、解析】令（），則，當(dāng)，即時，無最小值。函數(shù)的值域為?！纠?】求函數(shù)的值域?！窘馕觥苛?則在2，10上都是增函數(shù)所以在2，10上是增函數(shù)當(dāng)x=2時，當(dāng)x=10時，故所求函數(shù)的值域為：【例3】求函數(shù)的值域?！窘馕觥吭瘮?shù)可化為：令，顯然在上為無上界的增函數(shù)所以，在上也為無上界的增函數(shù)所以當(dāng)x=1時，有最小值，原函數(shù)有最大值顯然，故原函數(shù)的值域為【例4】求函數(shù)的值域。【解析】因 即 故可令故所求函數(shù)的值域為【例5】求函數(shù)的值域?！窘馕觥吭瘮?shù)可變形為：可令，則有當(dāng)時，當(dāng)時，而此時有意義。故所求函數(shù)的值域為【例6】求函數(shù)，的值域。【解析】令，則由 且 可得：當(dāng)時，當(dāng)時，故所求函數(shù)的值域為?！纠?】 求

13、函數(shù)的值域?！窘馕觥坑?，可得故可令 當(dāng)時，當(dāng)時，故所求函數(shù)的值域為：【例8】求函數(shù)的值域。【解析】令，則。，當(dāng)時，值域為【例9】求函數(shù)的值域?！窘馕觥苛睿瑒t，當(dāng)時，所以值域為?！纠?0】求函數(shù)的值域?！窘馕觥坑?，令， 因為，則=，于是：，所以：。七、函數(shù)有界性法：直接求函數(shù)的值域困難時，可以利用已學(xué)過函數(shù)的有界性，反客為主來確定函數(shù)的值域。 【例1】 求函數(shù)的值域?！窘馕觥坑珊瘮?shù)的解析式可以知道，函數(shù)的定義域為，對函數(shù)進行變形可得， ，（，）， 函數(shù)的值域為【例2】求函數(shù)的值域?！窘馕觥坑稍瘮?shù)式可得： 解得： 故所求函數(shù)的值域為【例3】求函數(shù)的值域。【解析】由原函數(shù)式可得：，可化

14、為：即 即 解得：故函數(shù)的值域為 【例4】 【解法1】，解得即函數(shù)值域為：【解法2】y看作是兩點(4,3)和(2cos x,sin x)連線的斜率即過點(4,3)且與橢圓有交點的直線，其斜率取值范圍就是聚會取值范圍設(shè)y=k(x-4)+3 代入橢圓方程得，由0得答案【例5】 已知a>0，x1,x2是方程ax2+bx-a2=0的二個實根，并且|x1|+|x2|=2,求 a的取值范圍以及b的最大值 ?！窘馕觥坑身f達定理知：x1x2=-a<0,故兩根必一正一負(fù)，x1|+|x2|=2從而|x1-x2|=2 由韋達定理知：4=|x1-x2|2=(b2+4a3)/a2從而4a

15、2-4a3=b20即4a2(1-a) 0即a1,注意到a>0，從而a的取值范圍是0< a1從而即b的最大值為，當(dāng)且僅當(dāng)a=2/3時“”成立。八、函數(shù)的單調(diào)性法：確定函數(shù)在定義域（或某個定義域的子集）上的單調(diào)性，求出函數(shù)的值域。【例1】求函數(shù)的值域?！窘馕觥慨?dāng)增大時，隨的增大而減少，隨的增大而增大，函數(shù)在定義域上是增函數(shù)。，函數(shù)的值域為。【例2】求函數(shù)在區(qū)間上的值域。【解析】任取，且，則，因為，所以：，當(dāng)時，則；當(dāng)時，則；而當(dāng)時，于是：函數(shù)在區(qū)間上的值域為。構(gòu)造相關(guān)函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性求值域?！纠?】求函數(shù)的值域。【解析】因為，而與在定義域內(nèi)的單調(diào)性不一致?，F(xiàn)構(gòu)造相關(guān)函數(shù)，易知在定

16、義域內(nèi)單調(diào)增。，又，所以：，?！纠?】求函數(shù)的值域?！窘馕觥看祟}可以看作和，的復(fù)合函數(shù)，顯然函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，易驗證亦是單調(diào)遞增函數(shù)，故函數(shù)也是單調(diào)遞增函數(shù)。而此函數(shù)的定義域為。當(dāng)時，取得最小值。當(dāng)時，取得最大值。故而原函數(shù)的值域為。9. 圖像法（數(shù)型結(jié)合法）：函數(shù)圖像是掌握函數(shù)的重要手段，利用數(shù)形結(jié)合的方法，根據(jù)函數(shù)圖像求得函數(shù)值域，是一種求值域的重要方法。當(dāng)函數(shù)解析式具有某種明顯的幾何意義（如兩點間距離，直線的斜率、截距等）或當(dāng)一個函數(shù)的圖象易于作出時，借助幾何圖形的直觀性可求出其值域?！纠?】求函數(shù)的值域?！窘馕觥?，的圖像如圖所示，由圖像知：函數(shù)的值域為【例2】求函數(shù)的值域?！窘馕觥?/p>

17、原函數(shù)可化簡得：上式可以看成數(shù)軸上點P（x）到定點A（2），間的距離之和。由上圖可知，當(dāng)點P在線段AB上時，當(dāng)點P在線段AB的延長線或反向延長線上時，故所求函數(shù)的值域為：【例3】求函數(shù)的值域?！窘馕觥吭瘮?shù)可變形為：上式可看成x軸上的點到兩定點的距離之和，由圖可知當(dāng)點P為線段與x軸的交點時，故所求函數(shù)的值域為 10、 基本不等式法：利用基本不等式，求函數(shù)的最值，其題型特征解析式是和式時要求積為定值，解析式是積時要求和為定值，不過有時需要用到拆項、添項和兩邊平方等技巧?！纠?】求下列函數(shù)的值域：(1) (k>0);(2) ?！窘馕觥?1)若x>0時，則,等號僅當(dāng)x=k/x，

18、即時成立；若x<0時，則,等號僅當(dāng)-x=-k/x，即時成立；故，(2) 解法一：=，故解法二：令,則即方程在1,+)上有解所以從而f(x)=0在區(qū)間1,+)只能有一根，另一根在(0,1)內(nèi)，從而f(1)0,即y2.【例2】若，求的最小值【解析】 從而 ，當(dāng)且僅當(dāng)，即x=-2時”=”成立即【例3】求函數(shù)的最小值【解析】當(dāng)且僅當(dāng)即時【例4】求y=(xÎ)的最小值?！窘馕觥縴>0,y2=(sec x+4csc x)2= sec2 x+16csc2 x+ 8sec xcsc x=(tan2x+1)+16(cot2x+1)+8=17+(tan2x+4cot x+4cot x)+ (16cot2 x+ 4tan x+4tan x)=當(dāng)且僅當(dāng)即（這是兩個相同的方程）,即當(dāng)x=arctanÎ時，“=”成立（達到最小值）?！纠?】若函數(shù)y=f(X)的值域為,則函數(shù)的值域是 。解析：f(x)>0, ,并且當(dāng)f(x)=1時等號成立。而在tÎ時單調(diào)遞減, 在tÎ1，3時單調(diào)遞增。從而在區(qū)間上的值域為;在區(qū)間1,3上的值域為g(1),g(3)=2,10/3.綜合知F(x)的值域為【例6】求函數(shù)的值域?！窘馕觥苛?，則（1）當(dāng)時，當(dāng)且僅當(dāng)t=1，即時取等號，所以（2）當(dāng)t=0時，y=0。綜上所述，函數(shù)的值域為：