高中數(shù)學(xué)：求函數(shù)值域的方法十三種

1、高中數(shù)學(xué)：求函數(shù)值域的十三種方法第 23 頁(yè) 共 23 頁(yè)1、 觀察法（ ）2、 配方法（）3、 分離常數(shù)法（）4、 反函數(shù)法（）5、 判別式法（）6、 換元法（）7、 函數(shù)有界性8、 函數(shù)單調(diào)性法（）9、 圖像法（數(shù)型結(jié)合法）（）10、 基本不等式法11、 利用向量不等式 12、 一一映射法13、 多種方法綜合運(yùn)用 一、觀察法：從自變量的范圍出發(fā)，推出的取值范圍。 【例1】求函數(shù)的值域?！窘馕觥浚?函數(shù)的值域?yàn)?。【?】求函數(shù)的值域?！窘馕觥?顯然函數(shù)的值域是：【例3】已知函數(shù)，求函數(shù)的值域?！窘馕觥恳?yàn)?，而，所以：注意：求函?shù)的值域時(shí)，不能忽視定義域，如果該題的定義域?yàn)椋瑒t函數(shù)的

2、值域?yàn)?。?配方法：配方法式求“二次函數(shù)類”值域的基本方法。形如的函數(shù)的值域問(wèn)題，均可使用配方法。【例1】 求函數(shù)的值域。【解析】將函數(shù)配方得：由二次函數(shù)的性質(zhì)可知：當(dāng)x=1 -1,2時(shí)，當(dāng)時(shí)， 故函數(shù)的值域是：4，8【變式】已知，求函數(shù)的最值。【解析】由已知，可得，即函數(shù)是定義在區(qū)間上的二次函數(shù)。將二次函數(shù)配方得，其對(duì)稱軸方程，頂點(diǎn)坐標(biāo)，且圖象開口向上。顯然其頂點(diǎn)橫坐標(biāo)不在區(qū)間內(nèi)，如圖2所示。函數(shù)的最小值為，最大值為。圖2【例2】 若函數(shù)時(shí)的最小值為，（1）求函數(shù)（2）當(dāng)-3,-2時(shí)，求g(t)的最值。（說(shuō)明：二次函數(shù)在閉區(qū)間上的值域二點(diǎn)二分法，三點(diǎn)三分法）【解析】(1)函數(shù)，其對(duì)稱軸方程為

3、，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1），圖象開口向上。圖1圖2圖3如圖1所示，若頂點(diǎn)橫坐標(biāo)在區(qū)間左側(cè)時(shí)，有，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值。如圖2所示，若頂點(diǎn)橫坐標(biāo)在區(qū)間上時(shí)，有，即。當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值。如圖3所示，若頂點(diǎn)橫坐標(biāo)在區(qū)間右側(cè)時(shí)，有，即。當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值綜上討論，g(t)=(2) 時(shí)，為減函數(shù)在上，也為減函數(shù)， 【例3】 已知，當(dāng)時(shí)，求的最大值【解析】由已知可求對(duì)稱軸為（1）當(dāng)時(shí)，（2）當(dāng)，即時(shí)，根據(jù)對(duì)稱性若即時(shí)，若即時(shí)，（3）當(dāng)即時(shí)，綜上，觀察前兩題的解法，為什么最值有時(shí)候分兩種情況討論，而有時(shí)候又分三種情況討論呢？這些問(wèn)題其實(shí)仔細(xì)思考就很容易解決。不難觀察：二次函數(shù)在閉區(qū)間上的的最值總是在閉

4、區(qū)間的端點(diǎn)或二次函數(shù)的頂點(diǎn)取到。第一個(gè)例題中，這個(gè)二次函數(shù)是開口向上的，在閉區(qū)間上，它的最小值在區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)或二次函數(shù)的頂點(diǎn)都有可能取到，有三種可能，所以分三種情況討論；而它的最大值不可能是二次函數(shù)的頂點(diǎn)，只可能是閉區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)，哪個(gè)端點(diǎn)距離對(duì)稱軸遠(yuǎn)就在哪個(gè)端點(diǎn)取到，當(dāng)然也就根據(jù)區(qū)間中點(diǎn)與左右端點(diǎn)的遠(yuǎn)近分兩種情況討論。根據(jù)這個(gè)理解，不難解釋第二個(gè)例題為什么這樣討論。 對(duì)二次函數(shù)的區(qū)間最值結(jié)合函數(shù)圖象總結(jié)如下：當(dāng)時(shí) 當(dāng)時(shí) 【例4】 (1) 求在區(qū)間-1,2上的最大值。(2) 求函數(shù)在上的最大值。【解析】(1)二次函數(shù)的對(duì)稱軸方程為，當(dāng)即時(shí)，； 當(dāng)即時(shí)，。 綜上所述：。(2)函數(shù)圖象的對(duì)稱軸方

5、程為，應(yīng)分，即，和這三種情形討論，下列三圖分別為（1）；由圖可知（2）；由圖可知（3） 時(shí)；由圖可知；即【例5】 已知二次函數(shù)在區(qū)間上的最大值為3，求實(shí)數(shù)a的值。【分析】這是一個(gè)逆向最值問(wèn)題，若從求最值入手，需分與兩大類五種情形討論，過(guò)程繁瑣不堪。若注意到最大值總是在閉區(qū)間的端點(diǎn)或拋物線的頂點(diǎn)處取到，因此先計(jì)算這些點(diǎn)的函數(shù)值，再檢驗(yàn)其真假，過(guò)程就簡(jiǎn)明多了。具體解法為：（1）令，得此時(shí)拋物線開口向下，對(duì)稱軸方程為，且，故不合題意；（2）令，得此時(shí)拋物線開口向上，閉區(qū)間的右端點(diǎn)距離對(duì)稱軸較遠(yuǎn)，故符合題意；（3）若，得此時(shí)拋物線開口向下，閉區(qū)間的右端點(diǎn)距離對(duì)稱軸較遠(yuǎn)，故符合題意。綜上，或解后反思：若

6、函數(shù)圖象的開口方向、對(duì)稱軸均不確定，且動(dòng)區(qū)間所含參數(shù)與確定函數(shù)的參數(shù)一致，可采用先斬后奏的方法，利用二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值只可能在區(qū)間端點(diǎn)、頂點(diǎn)處取得，不妨令之為最值，驗(yàn)證參數(shù)的資格，進(jìn)行取舍，從而避開繁難的分類討論，使解題過(guò)程簡(jiǎn)潔、明了。【變式】 已知函數(shù)在區(qū)間上的最大值為4，求實(shí)數(shù)a的值。 【解析】（1）若，不符合題意。（2）若則由，得（3）若時(shí)，則由，得綜上知或【例6】 已知函數(shù)在區(qū)間上的最小值是3最大值是3，求，的值?！窘夥?】討論對(duì)稱軸中1與的位置關(guān)系。若，則解得若，則，無(wú)解若，則，無(wú)解若，則，無(wú)解綜上，【解法2】由，知，則，又在上當(dāng)增大時(shí)也增大所以 解得評(píng)注：解法2利用閉區(qū)間上的

7、最值不超過(guò)整個(gè)定義域上的最值，縮小了，的取值范圍，避開了繁難的分類討論，解題過(guò)程簡(jiǎn)潔、明了?！纠?】 求函數(shù)的值域.【解法1】顯然故函數(shù)的值域是：【解法2】顯然3x5, 三、分離常數(shù)法：分子、分母是一次函數(shù)得有理函數(shù)，可用分離常數(shù)法（分母少，分子多），通過(guò)該方法可將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為為(常數(shù))的形式此類問(wèn)題一般也可以利用反函數(shù)法。 【例1】 求函數(shù)的值域【解析】利用恒等變形，得到：，容易觀察知x-1,y1，得函數(shù)的值域?yàn)閥 (-,1)(1, +)。注意到分?jǐn)?shù)的分子、分母的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，分離出一個(gè)常數(shù)后，再通過(guò)觀察或配方等其他方法易得函數(shù)值域?！纠?】 求函數(shù)的值域?！窘馕觥坑^察分子、分母中均含有項(xiàng)，可利

8、用部分分式法；則有不妨令：從而 注意：在本題中應(yīng)排除，因?yàn)樽鳛榉帜?。所以故【變式】求下列函?shù)的值域： (1) (2) .答案：（）值域 （）值域y -1,1四、反函數(shù)法：利用函數(shù)和它的反函數(shù)的定義域與值域的互逆關(guān)系，通過(guò)求反函數(shù)的定義域，得到原函數(shù)的值域?！纠?】求函數(shù)的值域?！窘馕觥坑山獾?， ， 函數(shù)的值域?yàn)??！纠?】求函數(shù)值域。【解析】由原函數(shù)式可得：則其反函數(shù)為：，其定義域?yàn)椋汗仕蠛瘮?shù)的值域?yàn)椋骸纠?】 求函數(shù)的值域。解答：先證明有反函數(shù)，為此，設(shè)且，。所以為減函數(shù)，存在反函數(shù)。可以求得其反函數(shù)為：。此函數(shù)的定義域?yàn)?，故原函?shù)的值域?yàn)椤！纠?】 求函數(shù)的值域?！窘夥?】-1x1 a-b

9、a-bxa+b ，【解法2】（反函數(shù)法）：,由-1x1得：，5、 判別式法：把函數(shù)轉(zhuǎn)化成關(guān)于的二次方程；通過(guò)方程有實(shí)數(shù)根，判別式，從而求得原函數(shù)的值域，形如（、不同時(shí)為零）的函數(shù)的值域，常用此方法求解。（解析式中含有分式和根式。） 【例1】求函數(shù)的值域?！窘馕觥吭瘮?shù)化為關(guān)于x的一元二次方程,由于x取一切實(shí)數(shù)，故有（1）當(dāng)時(shí)， 解得：（2）當(dāng)y=1時(shí)，而故函數(shù)的值域?yàn)椤纠?】求函數(shù)的值域?！窘馕觥?jī)蛇吰椒秸淼茫海?） 解得：但此時(shí)的函數(shù)的定義域由，得由，僅保證關(guān)于x的方程：在實(shí)數(shù)集R有實(shí)根，而不能確保其實(shí)根在區(qū)間0，2上，即不能確保方程（1）有實(shí)根，由 求出的范圍可能比y的實(shí)際范圍

10、大，故不能確定此函數(shù)的值域?yàn)椤？梢圆扇∪缦路椒ㄟM(jìn)一步確定原函數(shù)的值域。 代入方程（1） 解得：即當(dāng)時(shí)， 原函數(shù)的值域?yàn)椋鹤ⅲ河膳袆e式法來(lái)判斷函數(shù)的值域時(shí)，若原函數(shù)的定義域不是實(shí)數(shù)集時(shí)，應(yīng)綜合函數(shù)的定義域，將擴(kuò)大的部分剔除。 解法二：，令 原函數(shù)的值域?yàn)椋骸纠?】 已知函數(shù)的值域?yàn)?，3，求的值?！窘馕觥俊Ｓ捎诘闹涤?yàn)?，3，故上式不等式的解集為y|1y3【例4】求函數(shù)的值域?！窘夥?】先將此函數(shù)化成隱函數(shù)的形式得：，(1)這是一個(gè)關(guān)于的一元二次方程，原函數(shù)有定義，等價(jià)于此方程有解，即方程(1)的判別式，解得：。故原函數(shù)的值域?yàn)椋?。【解?】當(dāng)x-1時(shí) 由于當(dāng)x+1<0時(shí)， ，即

11、當(dāng)x+10時(shí)，即考慮到x=-1時(shí)y=0 故原函數(shù)的值域?yàn)椋骸纠?】已知函數(shù)的最大值為4，最小值為 1 ，則= ，= 【解析】。由于的值域?yàn)?，4，故不等式的解集為y|1y4 【例6】求函數(shù)的值域?！窘馕觥縴=0得x=-2,從而y=0是值域中的一個(gè)點(diǎn)；， 由得函數(shù)的值域?yàn)镽.六、換元法：運(yùn)用代數(shù)代換，獎(jiǎng)所給函數(shù)化成值域容易確定的另一函數(shù)，從而求得原函數(shù)的值域，形如（、均為常數(shù)，且）的函數(shù)常用此法求解。對(duì)于解析式中含有根式或者函數(shù)解析式較復(fù)雜的這類函數(shù)，可以考慮通過(guò)換元的方法將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的熟悉的基本函數(shù)。當(dāng)根式里是一次式時(shí)，用代數(shù)換元；當(dāng)根式里是二次式時(shí)，用三角換元?！纠?】求函數(shù)的值域?！?/p>

12、解析】令（），則，當(dāng)，即時(shí)，無(wú)最小值。函數(shù)的值域?yàn)椤！纠?】求函數(shù)的值域?！窘馕觥苛?則在2，10上都是增函數(shù)所以在2，10上是增函數(shù)當(dāng)x=2時(shí)，當(dāng)x=10時(shí)，故所求函數(shù)的值域?yàn)椋骸纠?】求函數(shù)的值域?！窘馕觥吭瘮?shù)可化為：令，顯然在上為無(wú)上界的增函數(shù)所以，在上也為無(wú)上界的增函數(shù)所以當(dāng)x=1時(shí)，有最小值，原函數(shù)有最大值顯然，故原函數(shù)的值域?yàn)椤纠?】求函數(shù)的值域?！窘馕觥恳?即 故可令故所求函數(shù)的值域?yàn)椤纠?】求函數(shù)的值域?！窘馕觥吭瘮?shù)可變形為：可令，則有當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，而此時(shí)有意義。故所求函數(shù)的值域?yàn)椤纠?】求函數(shù)，的值域?！窘馕觥苛?，則由 且 可得：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，故所求函數(shù)的值域?yàn)??！纠?】 求

13、函數(shù)的值域?！窘馕觥坑?，可得故可令 當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，故所求函數(shù)的值域?yàn)椋骸纠?】求函數(shù)的值域。【解析】令，則。，當(dāng)時(shí)，值域?yàn)椤纠?】求函數(shù)的值域?！窘馕觥苛?，則，當(dāng)時(shí)，所以值域?yàn)?。【?0】求函數(shù)的值域?！窘馕觥坑?，令， 因?yàn)?，則=，于是：，所以：。七、函數(shù)有界性法：直接求函數(shù)的值域困難時(shí)，可以利用已學(xué)過(guò)函數(shù)的有界性，反客為主來(lái)確定函數(shù)的值域。 【例1】 求函數(shù)的值域?！窘馕觥坑珊瘮?shù)的解析式可以知道，函數(shù)的定義域?yàn)?，?duì)函數(shù)進(jìn)行變形可得， ，（，）， 函數(shù)的值域?yàn)椤纠?】求函數(shù)的值域?！窘馕觥坑稍瘮?shù)式可得： 解得： 故所求函數(shù)的值域?yàn)椤纠?】求函數(shù)的值域?！窘馕觥坑稍瘮?shù)式可得：，可化

14、為：即 即 解得：故函數(shù)的值域?yàn)?#160;【例4】 【解法1】，解得即函數(shù)值域?yàn)椋骸窘夥?】y看作是兩點(diǎn)(4,3)和(2cos x,sin x)連線的斜率即過(guò)點(diǎn)(4,3)且與橢圓有交點(diǎn)的直線，其斜率取值范圍就是聚會(huì)取值范圍設(shè)y=k(x-4)+3 代入橢圓方程得，由0得答案【例5】 已知a>0，x1,x2是方程ax2+bx-a2=0的二個(gè)實(shí)根，并且|x1|+|x2|=2,求 a的取值范圍以及b的最大值 。【解析】由韋達(dá)定理知：x1x2=-a<0,故兩根必一正一負(fù)，x1|+|x2|=2從而|x1-x2|=2 由韋達(dá)定理知：4=|x1-x2|2=(b2+4a3)/a2從而4a

15、2-4a3=b20即4a2(1-a) 0即a1,注意到a>0，從而a的取值范圍是0< a1從而即b的最大值為，當(dāng)且僅當(dāng)a=2/3時(shí)“”成立。八、函數(shù)的單調(diào)性法：確定函數(shù)在定義域（或某個(gè)定義域的子集）上的單調(diào)性，求出函數(shù)的值域?！纠?】求函數(shù)的值域?！窘馕觥慨?dāng)增大時(shí)，隨的增大而減少，隨的增大而增大，函數(shù)在定義域上是增函數(shù)。，函數(shù)的值域?yàn)??！纠?】求函數(shù)在區(qū)間上的值域?！窘馕觥咳稳?，且，則，因?yàn)?，所以：，?dāng)時(shí)，則；當(dāng)時(shí)，則；而當(dāng)時(shí)，于是：函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)椤?gòu)造相關(guān)函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性求值域。【例4】求函數(shù)的值域?！窘馕觥恳?yàn)?，而與在定義域內(nèi)的單調(diào)性不一致?，F(xiàn)構(gòu)造相關(guān)函數(shù)，易知在定

16、義域內(nèi)單調(diào)增。，又，所以：，?！纠?】求函數(shù)的值域?！窘馕觥看祟}可以看作和，的復(fù)合函數(shù)，顯然函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，易驗(yàn)證亦是單調(diào)遞增函數(shù)，故函數(shù)也是單調(diào)遞增函數(shù)。而此函數(shù)的定義域?yàn)?。?dāng)時(shí)，取得最小值。當(dāng)時(shí)，取得最大值。故而原函數(shù)的值域?yàn)椤?. 圖像法（數(shù)型結(jié)合法）：函數(shù)圖像是掌握函數(shù)的重要手段，利用數(shù)形結(jié)合的方法，根據(jù)函數(shù)圖像求得函數(shù)值域，是一種求值域的重要方法。當(dāng)函數(shù)解析式具有某種明顯的幾何意義（如兩點(diǎn)間距離，直線的斜率、截距等）或當(dāng)一個(gè)函數(shù)的圖象易于作出時(shí)，借助幾何圖形的直觀性可求出其值域?！纠?】求函數(shù)的值域?！窘馕觥?，的圖像如圖所示，由圖像知：函數(shù)的值域?yàn)椤纠?】求函數(shù)的值域?！窘馕觥?/p>

17、原函數(shù)可化簡(jiǎn)得：上式可以看成數(shù)軸上點(diǎn)P（x）到定點(diǎn)A（2），間的距離之和。由上圖可知，當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時(shí)，當(dāng)點(diǎn)P在線段AB的延長(zhǎng)線或反向延長(zhǎng)線上時(shí)，故所求函數(shù)的值域?yàn)椋骸纠?】求函數(shù)的值域?！窘馕觥吭瘮?shù)可變形為：上式可看成x軸上的點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離之和，由圖可知當(dāng)點(diǎn)P為線段與x軸的交點(diǎn)時(shí)，故所求函數(shù)的值域?yàn)?#160;10、 基本不等式法：利用基本不等式，求函數(shù)的最值，其題型特征解析式是和式時(shí)要求積為定值，解析式是積時(shí)要求和為定值，不過(guò)有時(shí)需要用到拆項(xiàng)、添項(xiàng)和兩邊平方等技巧。【例1】求下列函數(shù)的值域：(1) (k>0);(2) ?！窘馕觥?1)若x>0時(shí)，則,等號(hào)僅當(dāng)x=k/x，

18、即時(shí)成立；若x<0時(shí)，則,等號(hào)僅當(dāng)-x=-k/x，即時(shí)成立；故，(2) 解法一：=，故解法二：令,則即方程在1,+)上有解所以從而f(x)=0在區(qū)間1,+)只能有一根，另一根在(0,1)內(nèi)，從而f(1)0,即y2.【例2】若，求的最小值【解析】 從而 ，當(dāng)且僅當(dāng)，即x=-2時(shí)”=”成立即【例3】求函數(shù)的最小值【解析】當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)【例4】求y=(xÎ)的最小值?！窘馕觥縴>0,y2=(sec x+4csc x)2= sec2 x+16csc2 x+ 8sec xcsc x=(tan2x+1)+16(cot2x+1)+8=17+(tan2x+4cot x+4cot x)+ (16cot2 x+ 4tan x+4tan x)=當(dāng)且僅當(dāng)即（這是兩個(gè)相同的方程）,即當(dāng)x=arctanÎ時(shí)，“=”成立（達(dá)到最小值）?！纠?】若函數(shù)y=f(X)的值域?yàn)?則函數(shù)的值域是 。解析：f(x)>0, ,并且當(dāng)f(x)=1時(shí)等號(hào)成立。而在tÎ時(shí)單調(diào)遞減, 在tÎ1，3時(shí)單調(diào)遞增。從而在區(qū)間上的值域?yàn)?在區(qū)間1,3上的值域?yàn)間(1),g(3)=2,10/3.綜合知F(x)的值域?yàn)椤纠?】求函數(shù)的值域。【解析】令，則（1）當(dāng)時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)t=1，即時(shí)取等號(hào)，所以（2）當(dāng)t=0時(shí)，y=0。綜上所述，函數(shù)的值域?yàn)椋?