平面幾何總結(jié)推薦高二

1、高中數(shù)學(xué)必修二復(fù)習(xí)基本概念 公理1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上的所有的點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)。 公理2：如果兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條通過(guò)這個(gè)點(diǎn)的公共直線。 公理3： 過(guò)不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面。 推論1: 經(jīng)過(guò)一條直線和這條直線外一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面。 推論2：經(jīng)過(guò)兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面。 推論3：經(jīng)過(guò)兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面。 公理4 ：平行于同一條直線的兩條直線互相平行。 等角定理：如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行并且方向相同，那么這兩個(gè)角相等。 空間兩直線的位置關(guān)系：空間兩條直線只有三種位置關(guān)系：平行、相交、異面

2、 1、按是否共面可分為兩類： （1）共面： 平行、 相交 （2）異面： 異面直線的定義：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線或既不平行也不相交。 異面直線判定定理：用平面內(nèi)一點(diǎn)與平面外一點(diǎn)的直線，與平面內(nèi)不經(jīng)過(guò)該點(diǎn)的直線是異面直線。 兩異面直線所成的角：范圍為 ( 0°，90° ) esp.空間向量法 兩異面直線間距離: 公垂線段(有且只有一條) esp.空間向量法 2、若從有無(wú)公共點(diǎn)的角度看可分為兩類： （1）有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)相交直線；（2）沒(méi)有公共點(diǎn) 平行或異面 直線和平面的位置關(guān)系： 直線和平面只有三種位置關(guān)系：在平面內(nèi)、與平面相交、與平面平行 直線在平面內(nèi)有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)

3、 直線和平面相交有且只有一個(gè)公共點(diǎn) 直線與平面所成的角：平面的一條斜線和它在這個(gè)平面內(nèi)的射影所成的銳角。 esp.空間向量法(找平面的法向量) 規(guī)定：a、直線與平面垂直時(shí)，所成的角為直角，b、直線與平面平行或在平面內(nèi)，所成的角為0°角 由此得直線和平面所成角的取值范圍為 0°，90° 最小角定理: 斜線與平面所成的角是斜線與該平面內(nèi)任一條直線所成角中的最小角 三垂線定理及逆定理: 如果平面內(nèi)的一條直線,與這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直，那么它也與這條斜線垂直 esp.直線和平面垂直 直線和平面垂直的定義：如果一條直線a和一個(gè)平面 內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說(shuō)直線

4、a和平面 互相垂直.直線a叫做平面 的垂線，平面 叫做直線a的垂面。 直線與平面垂直的判定定理：如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個(gè)平面。 直線與平面垂直的性質(zhì)定理：如果兩條直線同垂直于一個(gè)平面，那么這兩條直線平行。 直線和平面平行沒(méi)有公共點(diǎn) 直線和平面平行的定義：如果一條直線和一個(gè)平面沒(méi)有公共點(diǎn)，那么我們就說(shuō)這條直線和這個(gè)平面平行。 直線和平面平行的判定定理：如果平面外一條直線和這個(gè)平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個(gè)平面平行。 直線和平面平行的性質(zhì)定理：如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過(guò)這條直線的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線和交線平行。 兩個(gè)平面的位置

5、關(guān)系： （1）兩個(gè)平面互相平行的定義：空間兩平面沒(méi)有公共點(diǎn) （2）兩個(gè)平面的位置關(guān)系： 兩個(gè)平面平行-沒(méi)有公共點(diǎn)； 兩個(gè)平面相交-有一條公共直線。 a、平行 兩個(gè)平面平行的判定定理：如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行。 兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么交線平行。 b、相交 二面角 （1） 半平面：平面內(nèi)的一條直線把這個(gè)平面分成兩個(gè)部分，其中每一個(gè)部分叫做半平面。 （2） 二面角：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角。二面角的取值范圍為 0°，180° （3） 二面角的棱：這一條直線叫做二面角的棱。

6、 （4） 二面角的面：這兩個(gè)半平面叫做二面角的面。 （5） 二面角的平面角：以二面角的棱上任意一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個(gè)面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角。 （6） 直二面角：平面角是直角的二面角叫做直二面角。 esp. 兩平面垂直 兩平面垂直的定義：兩平面相交，如果所成的角是直二面角，就說(shuō)這兩個(gè)平面互相垂直。記為 兩平面垂直的判定定理：如果一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直 兩個(gè)平面垂直的性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平面互相垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線垂直于另一個(gè)平面。 Attention： 二面角求法：直接法（作出平面角）、三垂線定理及逆定理、

7、面積射影定理、空間向量之法向量法（注意求出的角與所需要求的角之間的等補(bǔ)關(guān)系） 多面體 棱柱 棱柱的定義：有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每?jī)蓚€(gè)四邊形的公共邊都互相平行，這些面圍成的幾何體叫做棱柱。 棱柱的性質(zhì) （1）側(cè)棱都相等，側(cè)面是平行四邊形 （2）兩個(gè)底面與平行于底面的截面是全等的多邊形 （3）過(guò)不相鄰的兩條側(cè)棱的截面（對(duì)角面）是平行四邊形 棱錐 棱錐的定義：有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，這些面圍成的幾何體叫做棱錐 棱錐的性質(zhì)： （1） 側(cè)棱交于一點(diǎn)。側(cè)面都是三角形 （2） 平行于底面的截面與底面是相似的多邊形。且其面積比等于截得的棱錐的高與遠(yuǎn)棱錐高的比的

8、平方 正棱錐 正棱錐的定義：如果一個(gè)棱錐底面是正多邊形，并且頂點(diǎn)在底面內(nèi)的射影是底面的中心，這樣的棱錐叫做正棱錐。 正棱錐的性質(zhì)： （1）各側(cè)棱交于一點(diǎn)且相等，各側(cè)面都是全等的等腰三角形。各等腰三角形底邊上的高相等，它叫做正棱錐的斜高。 （3） 多個(gè)特殊的直角三角形 esp： a、相鄰兩側(cè)棱互相垂直的正三棱錐，由三垂線定理可得頂點(diǎn)在底面的射影為底面三角形的垂心。 b、四面體中有三對(duì)異面直線，若有兩對(duì)互相垂直，則可得第三對(duì)也互相垂直。且頂點(diǎn)在底面的射影為底面三角形的垂心。 直線與方程（1）直線的傾斜角定義：x軸正向與直線向上方向之間所成的角叫直線的傾斜角。特別地，當(dāng)直線與x軸平行或重合時(shí),我們規(guī)

9、定它的傾斜角為0度。因此，傾斜角的取值范圍是0°180°（2）直線的斜率定義：傾斜角不是90°的直線，它的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率。直線的斜率常用k表示。即。斜率反映直線與軸的傾斜程度。當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，不存在。過(guò)兩點(diǎn)的直線的斜率公式： 注意下面四點(diǎn)：(1)當(dāng)時(shí)，公式右邊無(wú)意義，直線的斜率不存在，傾斜角為90°；(2)k與P1、P2的順序無(wú)關(guān)；(3)以后求斜率可不通過(guò)傾斜角而由直線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)直接求得；(4)求直線的傾斜角可由直線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)先求斜率得到。（3）直線方程點(diǎn)斜式：直線斜率k，且過(guò)點(diǎn)注意：當(dāng)直線的斜率為0°時(shí)，k=0，

10、直線的方程是y=y1。當(dāng)直線的斜率為90°時(shí)，直線的斜率不存在，它的方程不能用點(diǎn)斜式表示但因l上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)都等于x1，所以它的方程是x=x1。斜截式：，直線斜率為k，直線在y軸上的截距為b兩點(diǎn)式：（）直線兩點(diǎn)，截矩式：其中直線與軸交于點(diǎn),與軸交于點(diǎn),即與軸、軸的截距分別為。一般式：（A，B不全為0）注意：各式的適用范圍 特殊的方程如：平行于x軸的直線：（b為常數(shù)）； 平行于y軸的直線：（a為常數(shù)）； （4）直線系方程：即具有某一共同性質(zhì)的直線（一）平行直線系平行于已知直線（是不全為0的常數(shù)）的直線系：（C為常數(shù)）（二）垂直直線系垂直于已知直線（是不全為0的常數(shù)）的直線系：（C為常

11、數(shù)）（三）過(guò)定點(diǎn)的直線系 斜率為k的直線系：，直線過(guò)定點(diǎn)； 過(guò)兩條直線，的交點(diǎn)的直線系方程為（為參數(shù)），其中直線不在直線系中。（5）兩直線平行與垂直當(dāng)，時(shí)，；注意：利用斜率判斷直線的平行與垂直時(shí)，要注意斜率的存在與否。（6）兩條直線的交點(diǎn) 相交交點(diǎn)坐標(biāo)即方程組的一組解。方程組無(wú)解 ； 方程組有無(wú)數(shù)解與重合（7）兩點(diǎn)間距離公式：設(shè)是平面直角坐標(biāo)系中的兩個(gè)點(diǎn)，則 （8）點(diǎn)到直線距離公式：一點(diǎn)到直線的距離（9）兩平行直線距離公式在任一直線上任取一點(diǎn)，再轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離進(jìn)行求解。圓的方程（1）標(biāo)準(zhǔn)方程，圓心，半徑為r；（2）一般方程當(dāng)時(shí)，方程表示圓，此時(shí)圓心為，半徑為當(dāng)時(shí)，表示一個(gè)點(diǎn)； 當(dāng)時(shí)，方程不表示任何圖形。（3）求圓方程的方法：一般都采用待定系數(shù)法：先設(shè)后求。確定一個(gè)圓需要三個(gè)獨(dú)立條件，若利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，需求出a，b，r；若利用一般方程，需要求出D，E，F(xiàn)；另外要注意多利用圓的幾何性質(zhì)：如弦的中垂線必經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，以此來(lái)確定圓心的位置。直線與圓的位置關(guān)系直線與圓的位