二次函數(shù)求最大利潤問題的教學設計

1、二次函數(shù)求最大利潤問題的教學設計范亞書一、學生知識狀況分析學生的知識技能基礎(chǔ)：由簡單的二次函數(shù)yx2開始，然后是yax2，yax2+c，最后是y=a(x-h)2，ya(x-h)2+k，yax2+bx+c，學生已經(jīng)掌握了二次函數(shù)的三種表示方式和性質(zhì)。學生的活動經(jīng)驗基礎(chǔ)：在前面對二次函數(shù)的研究中，學生研究了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，掌握了研究二次函數(shù)常用的方法。二、教學任務分析“怎樣獲得最大利潤”似乎是商家才應該考慮的問題，但是這個問題的數(shù)學模型正是我們研究的二次函數(shù)的范疇。二次函數(shù)化為頂點式后，很容易求出最大或最小值。而何時獲得最大利潤就是當自變量取何值時，函數(shù)值取最大值的問題。因此本節(jié)課中關(guān)鍵的問

2、題就是如何使學生把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，從而把數(shù)學知識運用于實踐。即是否能把實際問題表示為二次函數(shù)，是否能利用二次函數(shù)的知識解決實際問題，并對結(jié)果進行解釋。具體地，本節(jié)課的教學目標是：(一)知識與技能1、能根據(jù)實際問題建立二次函數(shù)關(guān)系式，并探求出何時刻，實際問題可取得理想值，增強學生解決實際問題的能力。2、能夠分析和表示實際問題中變量之間的二次函數(shù)關(guān)系，并運用二次函數(shù)的知識求出實際問題的最大(小)值，發(fā)展解決問題的能力。(二)過程與方法經(jīng)歷銷售中最大利潤問題的探究過程，讓學生認識數(shù)學與人類生活的密切聯(lián)系及對人類歷史發(fā)展的作用，發(fā)展學生運用數(shù)學知識解決實際問題的能力。(三)情感態(tài)度與價值觀1、

3、體會數(shù)學與人類社會的密切聯(lián)系，了解數(shù)學的價值。增進對數(shù)學的理解和學好數(shù)學的信心。2、認識到數(shù)學是解決實際問題和進行交流的重要工具，了解數(shù)學對促進社會進步和發(fā)展人類理性精神的作用。教學重點：能夠分析和表示實際問題中變量之間的二次函數(shù)關(guān)系，并運用二次函數(shù)的知識求出實際問題的最值教學難點：能夠分析和表示實際問題中變量之間的二次函數(shù)關(guān)系，并運用二次函數(shù)的知識求出實際問題的最值三、教學過程分析本節(jié)課設計了六個教學環(huán)節(jié)：復習回顧、創(chuàng)設問題情境講授新課、鞏固練習、實踐應用、課堂小結(jié)、課后作業(yè)。第一環(huán)節(jié) 復習回顧活動內(nèi)容：1復習二次函數(shù)yax2+bx+c的相關(guān)性質(zhì)：頂點坐標、對稱軸、最值等。2復習這節(jié)課所要用

4、的其他相關(guān)知識：利潤=售價進價，總利潤=每件利潤×銷售額活動目的：為后面新課作準備第二環(huán)節(jié) 創(chuàng)設問題情境，引入新課活動內(nèi)容：（有關(guān)利潤的問題）某商品現(xiàn)在的售價為每件60元，每星期可賣出300件，市場調(diào)查反映，如果調(diào)整價格，每漲價1元，每星期少賣10件，每降價1元。每星期多賣18件，已知商品的進價為每件40元，如何定價才能獲得最大利潤？討論漲價與降價都有可能獲得最大利潤嗎？需要分類討論嗎？1漲價情況下最大利潤是多少？想一想：若每件漲價x元則此商品(1)每件利潤為 元。(2)每星期銷售額可以表示為 ；(3)所獲利潤可以表示為 ；(4)當銷售單價是 元時，可以獲得最大利潤，最大利潤是 這是

5、一個有實際意義的問題，要想解決它，就必須尋找出問題本身所隱含的一些關(guān)系，并把這些關(guān)系用數(shù)學的語言表示出來。設每星期所獲利潤為y元，則y=（60-40+x ）(300-10x)=-10x2+100x+6000=-10(x-5)2+6250。當x=5時y的最大值是6250即當在漲價情況下，漲價5元，定價65元時，每星期所獲利潤最大，最大利潤是6250元。2、在降價情況下，最大利潤又是多少？我們用類似的方法進行分析：設每件降價x元，所獲利潤為y元，則有y=（60-40-x ）(300+18x)=-18(x-2)2+6050所以，當x=2時，y的最大值為6050.即在降價情況下，降價2元，定價58元時

6、，利潤最大，最大利潤是6050元?；顒幽康模和ㄟ^這個實際問題，讓學生感受到二次函數(shù)是一類最優(yōu)化問題的數(shù)學模型，并感受數(shù)學的應用價值。在這里幫助學生分析和表示實際問題中變量之間的關(guān)系，幫助學生領(lǐng)會有效的思考和解決問題的方法，學會思考、學會分析，是教學的一個重要內(nèi)容。第三環(huán)節(jié) 鞏固練習活動內(nèi)容：解決本章伊始，提出的“橙子樹問題”（1.驗證猜測；2.進一步分析）1本章一開始的“種多少棵橙子樹”的問題，我們得到了表示增種橙子樹的數(shù)量x(棵)與橙子總產(chǎn)量y(個)的函數(shù)關(guān)系是：二次函數(shù)表達式y(tǒng)(600-5x)(100+x)-5x2+100x+60000。當時曾經(jīng)利用列表的方法得到一個猜測，現(xiàn)在可以驗證當初

7、的猜測是否正確？你是怎么做的？與同伴進行交流。實際教學效果：大多數(shù)學生可以利用二次函數(shù)的頂點式解決問題。y-5x2+100x+60000-5(x2-20x+100-100)+60000-5(x-10)2+60500。當x=10時，y最大=60500。2議一議：（要求學生畫出二次函數(shù)的圖象，并根據(jù)圖象回答問題）(1)利用函數(shù)圖象描述橙子的總產(chǎn)量與增種橙子樹的棵數(shù)之間的關(guān)系。(2)增種多少棵橙子樹，可以使橙子的總產(chǎn)量在60400個以上？實際教學效果：學生可以順利解決這個問題，答案如下(1)當x<10時，橙子的總產(chǎn)量隨增種橙子樹的增加而增加；當x>10時，橙子的總產(chǎn)量隨增種橙子樹的增加而

8、減小。(2)由圖可知，增種6棵、7棵、8棵、9棵、10棵、11棵、12棵、13棵或14棵，都可以使橙子總產(chǎn)量在60400個以上。第四環(huán)節(jié) 實踐應用活動內(nèi)容：某商店購進一批單價為20元的日用品，如果以單價30元銷售，那么半個月內(nèi)可以售出400件。根據(jù)銷售經(jīng)驗，提高銷售單價會導致銷售量的減少，即銷售單價每提高1元，銷售量相應減少20件。如何提高售價,才能在半個月內(nèi)獲得最大利潤？解：設銷售單價為；元，銷售利潤為y元，則y=(x-20)400-20(x-30)-20x2+1400x-20000-20(x-35)2+4500。所以當x=35元，即銷售單價提高5元時，可在半月內(nèi)獲得最大利潤4500元第五環(huán)節(jié) 課堂小結(jié)本節(jié)課經(jīng)歷了探索商品銷售中最大利潤等問題的過程，體會了二次函數(shù)是一類最優(yōu)化問題