統(tǒng)計(jì)學(xué)的類別

1、1、緒論1.1 統(tǒng)計(jì)學(xué)的類別 描述統(tǒng)計(jì)(Descriptive statistics)：在統(tǒng)計(jì)學(xué)的領(lǐng)域當(dāng)中，主要關(guān)心的是，就蒐集到的實(shí)際的觀察值，組織並摘述其訊息。 推論統(tǒng)計(jì)(Inferential statistics)：在統(tǒng)計(jì)學(xué)的領(lǐng)域當(dāng)中，主要是在提供各種工具，而能夠超出實(shí)際蒐集的觀察值作出類推，也就是從樣本的結(jié)果推論至母群體。1.2 母群體與樣本 母群體(Population):全部所有觀察值(或可能的觀察值)的總集合。 樣本(Sample):從母群體中蒐集到實(shí)際觀察值的較小的集合。1.3 資料的三種類型 資料(Data)：從調(diào)查或?qū)嶒?yàn)中蒐集到的觀察值或分?jǐn)?shù)。 統(tǒng)計(jì)分析的精確形式，通常依

2、其資料是數(shù)字或文字而決定。 質(zhì)的資料(Qualitative data)：一組觀察值，其任何單一觀察值是代表類別或種屬的一個(gè)文字、符號(hào)或數(shù)字的編碼。 等級(jí)的資料(Ranked data)：一組觀察值，其任何單一觀察值是表示該觀察值在整組資料中相對(duì)地位的一個(gè)數(shù)字。 量的資料(Quantitative data)：一組觀察值，其任何單一觀察值是代表數(shù)量或計(jì)數(shù)的一個(gè)數(shù)字。 資料的類型係針對(duì)其單一觀察值的形式而決定。1.4 測量的水準(zhǔn) 測量的水準(zhǔn)(Level of Measurement)：敘明一個(gè)數(shù)字、文字或符號(hào)實(shí)際上代表某些特性的程度，因而有其適用的數(shù)學(xué)運(yùn)算與統(tǒng)計(jì)程序。 越複雜的測量水準(zhǔn)，其使用的

3、數(shù)字越能代表該特性的意義，因此更能適用各種不同的數(shù)學(xué)運(yùn)算與統(tǒng)計(jì)程序。 名義的測量(Nominal Measurement)：質(zhì)的資料中的文字、符號(hào)或數(shù)字的編碼，反映出基於分類上的不同類別。 次序的測量(Ordinal Measurement)：等級(jí)資料中的相對(duì)地位，反映出基於順序上的不同程度。 等距的測量(Interval Measurement)：量的資料中的數(shù)量或計(jì)數(shù)，反映出基於相等間隔的不同程度。 比率的測量(Ratio Measurement)：量的資料中的數(shù)量或計(jì)數(shù)，反映出基於真實(shí)零點(diǎn)的不同程度。1.5變項(xiàng)(或變數(shù))的類型 變項(xiàng)(Variable)：具有不同的值的特徵或性質(zhì)。 常數(shù)(

4、Constant)：只具有一種值的特徵或性質(zhì)。 間斷變項(xiàng)與連續(xù)變項(xiàng) 間斷變項(xiàng)(Discrete Variable)：變項(xiàng)的值由相互隔離，因而彼此之間有間隔的數(shù)字所組成。 連續(xù)變項(xiàng)(Continuous Variable)：變項(xiàng)的值由相互連接，彼此之間理論上能無限細(xì)分的數(shù)字所組成。 近似數(shù)(Approximate Numbers)：變項(xiàng)的值以人為的方式，轉(zhuǎn)變成完整的數(shù)字。 自變項(xiàng)與依變項(xiàng) 實(shí)驗(yàn)(Experiment)：在一項(xiàng)研究中，研究者決定誰接受特殊處理。 自變項(xiàng)(Independent variable)：在一項(xiàng)實(shí)驗(yàn)中由研究者所操弄的處理。 依變項(xiàng)(Dependent variable)：會(huì)

5、受到自變項(xiàng)影響的變項(xiàng)。 觀察的研究(Observational Study)：一項(xiàng)研究其重心在於探討未經(jīng)研究者操弄的變項(xiàng)之間的關(guān)係。 干擾變項(xiàng)(Confounding Variable)：未經(jīng)控制的變項(xiàng)，因而對(duì)研究結(jié)果的解釋造成不利。2、以表描述資料用於量的資料的次數(shù)分配2.1 未分組的資料 次數(shù)分配(Frequency distribution)：將觀察值加以歸類而形成的一組觀察值，可以用來顯示在每一類中出現(xiàn)的次數(shù)(或數(shù)字)。用於未分組資料的次數(shù)分配(Frequency distribution for ungrouped data)：將觀察值以單值的方式加以分類而形成的次數(shù)分配。2.2 分

6、組的資料用於分組資料的次數(shù)分配(Frequency distribution for grouped data)：將觀察值以超過一個(gè)值的方式加以分類而形成的次數(shù)分配。2.3 步驟1.找出全距。2.估計(jì)組距。3.取最方便的整數(shù)作為組距。4.決定最低組的起點(diǎn)。5.列出最低組的終點(diǎn)。6.往上列出各組別，直到能將最大的觀察值包括進(jìn)去。7.寫出組中點(diǎn)。8.劃記。9.計(jì)算次數(shù)。10.寫下各欄及標(biāo)題名稱。2.4 注意事項(xiàng)1. 每一個(gè)觀察值應(yīng)該能歸入一類，且只能有一類。2. 列出所有的類組，即使該類組的次數(shù)是零。3. 所有類組(含高分與低分兩者的界線)的組距都應(yīng)相等。4. 所有類組都應(yīng)包括高分與低分兩者的界線

7、。5. 選擇方便數(shù)字作為各類組的組距，可以的話優(yōu)先考慮用奇數(shù)。6. 每一類組低分的界線應(yīng)該是組距的倍數(shù)。7. 一般來說，全部大約以分成十至二十組為宜。2.5 偏離分?jǐn)?shù) 偏離分?jǐn)?shù)(Outlier)：少數(shù)非常極端的觀察值。其他次數(shù)分配的類型2.6 相對(duì)次數(shù)分配 相對(duì)次數(shù)分配(Relative frequency distribution)：次數(shù)分配的一種，可以顯示整個(gè)分配中，每一組的次數(shù)在總次數(shù)中的部份或比例。2.7 累積次數(shù)分配 累積次數(shù)分配(Cumulative frequency distribution)：次數(shù)分配的一種，可以顯示每一組及所有低於該組全部觀察值的數(shù)目。2.8 百分等級(jí) 一個(gè)

8、觀察值的百分等級(jí)(Percentile rank of an observation)：在整個(gè)分配中，與該觀察值相同或低於該觀察值的百分比。 概略的百分等級(jí)(從分組的資料) 精確的百分等級(jí)(從未分組的資料)用於質(zhì)的資料的次數(shù)分配2.9 類別的(classified)質(zhì)的資料2.10 順序的(ordered)質(zhì)的資料2.11 用於質(zhì)的資料的相對(duì)次數(shù)及累積次數(shù)分配3、 以圖描述資料用於量的資料的圖3.1 直方圖 直方圖(Histogram)：用於量的資料的長條形狀的圖，其相鄰的兩個(gè)長條形狀之間沒有間隔。 特徵：1. 橫軸(X軸) 上的相等單位，反映出次數(shù)分配表上各組別的差距。2. 縱軸(Y軸) 上

9、的相等單位，反映出次數(shù)的增加。(兩軸的單位長度可不必相等)。3. 兩軸的相交處為原點(diǎn)，表示該處的體重與次數(shù)都是零。4. 數(shù)字的增加，橫軸是由左而右，縱軸是由下而上。5. 橫軸的波狀線表示從原點(diǎn)到最小組別之間是斷開的。6. 直方圖的主體是一系列的長條形狀，其高度反映出各組別的次數(shù)。7. 相鄰的兩個(gè)長條形之間，共用同一界線。 8. 圖的標(biāo)題在下方的位置。3.2 次數(shù)多邊圖 次數(shù)多邊圖(Frequency polygon)：用於量的資料的線狀的圖。 比較兩個(gè)以上的次數(shù)分配3.3 莖葉陳列圖莖葉陳列圖(Stem and leaf display)：以帶頭的及跟隨在後的數(shù)字為基礎(chǔ)，將量的資料加以分類的設(shè)

10、計(jì)。 編製步驟：1. 以垂直線隔開莖與葉的區(qū)域。2. 以組距為單位，確定全距的範(fàn)圍。3. 由上往下，寫出代表莖的數(shù)字。4. 在與莖相對(duì)應(yīng)的位置寫下原始分?jǐn)?shù)。3.4 典型的形狀 常態(tài)的(normal) 雙峰的(bimodal) 正偏態(tài)的 正偏態(tài)的分配(Positively skewed distribution)：一個(gè)分配中有少數(shù)極端的觀察值是在正的方向的較大的值。 負(fù)偏態(tài)的 負(fù)偏態(tài)的分配(Negatively skewed distribution)：一個(gè)分配中有少數(shù)極端的觀察值是在負(fù)的方向的較小的值。用於質(zhì)的資料的圖3.5 條形圖 條形圖(Bar graph)：用於質(zhì)的資料的長條形狀的圖，其

11、相鄰的兩個(gè)長條形狀之間有間隔。具有誤導(dǎo)性的圖3.6 舉例1. 橫軸上不同類別的寬度不相等。2. 縱軸上的次數(shù)未從零開始。3. 縱軸的長度較橫軸長。4、 以平均描述資料 集中趨勢量數(shù)(Measures of central tendency)：對(duì)於各種不同平均所使用的一般術(shù)語。用於量的資料的平均4.1 眾數(shù) 眾數(shù)(Mode)：觀察值中次數(shù)最多的值。 超過一個(gè)的眾數(shù) 雙眾數(shù)的(Bimodal)：描述任何具有兩個(gè)明顯尖峰的分配。 多眾數(shù)的(Multimodal)：一個(gè)分配有超過兩個(gè)的尖峰4.2 中數(shù) 中數(shù) (Median)：將觀察值依大小順序排列後其中間的值。4.3 平均數(shù) 計(jì)算樣本平均數(shù)的公式 平

12、均數(shù)作為平衡點(diǎn)4.4 那一種平均？ 如果分配不是偏態(tài)的 如果分配是偏態(tài)的 解釋平均數(shù)與中數(shù)之間的差異4.5 平均數(shù)的特殊地位用於質(zhì)的資料的平均 4.6眾數(shù)或中數(shù) 眾數(shù)永遠(yuǎn)適用 中數(shù)有時(shí)適用 不適用的平均5、 描述變異量 變異量數(shù)(Measures of variability)：就一個(gè)分配中，對(duì)於其觀察值之間變化或差異的量之各種不同量數(shù)，所使用的一般術(shù)語。量的變異量數(shù)5.1 全距 全距(Range)：最大與最小觀察值之間的差距。 缺點(diǎn)5.2 四分間距(IQR)與四分差(Q) 四分間距(Interquartile range, IQR)：全部觀察值中間百分之五十的全距。四分差(Quartile

13、deviation, Q)：四分間距的一半。 對(duì)極端觀察值不敏感5.3 變異數(shù) 變異數(shù)(Variance)：全部的離均差平方的平均數(shù)。5.4 變異數(shù)的定義公式5.5 樣本變異數(shù)的計(jì)算公式5.6 變異數(shù)的缺點(diǎn)5.7 標(biāo)準(zhǔn)差 標(biāo)準(zhǔn)差(Standard deviation)：表示觀察值與其平均數(shù)之間的差距，其平均的量的一個(gè)概略的量數(shù)。5.8 標(biāo)準(zhǔn)差：兩個(gè)通則 大多數(shù)在一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差之內(nèi)對(duì)於大部份的次數(shù)分配，有相當(dāng)多數(shù)的觀察值 (通常多達(dá) 68%) 是在平均數(shù)兩邊距離在一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差之內(nèi)。 少數(shù)相差在兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差之外對(duì)於大部份的次數(shù)分配，只有很少數(shù)的觀察值 (通常少至 5%) 是在平均數(shù)兩邊距離超過兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差。

14、 上述通則可用於所有的分配6、常態(tài)分配6.1 理論的常態(tài)曲線6.2 常態(tài)曲線的特性 常態(tài)曲線(Normal curve)：一種理論的曲線，其特徵是具有對(duì)稱、鐘形的形式。 平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差的重要性 不同的常態(tài)曲線6.3 z分?jǐn)?shù) z分?jǐn)?shù)(z score)：用來指出一個(gè)觀察值高於或低於其分配的平均數(shù)多少個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差的一種分?jǐn)?shù)。6.4 標(biāo)準(zhǔn)常態(tài)曲線 標(biāo)準(zhǔn)常態(tài)曲線(Standard normal curve)：用z分?jǐn)?shù)表示的常態(tài)曲線，其平均數(shù)是0 ，標(biāo)準(zhǔn)差是1。6.5 標(biāo)準(zhǔn)常態(tài)表6.6 兩種問題的類型6.7 第一類問題舉例 步驟： 1. 畫出常態(tài)曲線的略圖。 2. 確定標(biāo)的範(fàn)圍。 3. 將X轉(zhuǎn)換成z。 4.

15、查表，找出標(biāo)的範(fàn)圍的比例。6.8 第二類問題舉例 步驟：1. 畫出常態(tài)曲線的略圖。 2. 確定標(biāo)的範(fàn)圍。 3. 查表，找出標(biāo)的範(fàn)圍的z。 4. 將z轉(zhuǎn)換成標(biāo)的分?jǐn)?shù)。7、標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)7.1 非常態(tài)分配的z分?jǐn)?shù)解釋測驗(yàn)分?jǐn)?shù)7.2 標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù) 標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)(Standard score)：與已知的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差相對(duì)應(yīng)的任何分?jǐn)?shù)7.3 轉(zhuǎn)換的標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù) 轉(zhuǎn)換的標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)(Transformed standard score)：是一種標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)，與z分?jǐn)?shù)不同的是，通常不帶有負(fù)號(hào)和小數(shù)點(diǎn)。7.4 改變成轉(zhuǎn)換的標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)替換一對(duì)方便的數(shù)字7.5 再論百分等級(jí)8、 描述關(guān)係：相關(guān)8.1 散佈圖 散佈圖(Scatterplot)

16、：統(tǒng)計(jì)圖的一種，包含了一群小點(diǎn)，用來代表所有成對(duì)的觀察值。正的、負(fù)的、或是沒有關(guān)係 正的關(guān)係(Positive relationship)：成對(duì)的觀察值在其各自的分配上傾向於佔(zhàn)有類似的相對(duì)地位。 負(fù)的關(guān)係(Negative relationship)：成對(duì)的觀察值在其各自的分配上傾向於佔(zhàn)有不同且相反的地位。沒有關(guān)係強(qiáng)的(strong)或弱的(weak)關(guān)係完全的(perfect)關(guān)係直線的關(guān)係與曲線的關(guān)係 直線的關(guān)係(Linear relationship)：以直線作為最佳描述的關(guān)係。 曲線的關(guān)係(Curvilinear relationship)：以曲線作為最佳描述的關(guān)係。8.2 量的資料的

17、相關(guān)係數(shù)：r 相關(guān)係數(shù)(Correlation coefficient)：介於 1 與 +1 之間的數(shù)字，用來描述成對(duì)的變數(shù)之間的關(guān)係。r的基本特性 皮爾遜相關(guān)係數(shù)(Pearson correlation coefficient, r)：介於 1 與+1 之間的數(shù)字，用來描述成對(duì)的量的變數(shù)之間直線的關(guān)係。r 的符號(hào) r 的數(shù)值8.3 r的z分?jǐn)?shù)公式r的計(jì)算 (z分?jǐn)?shù)公式)r 與測量的單位無關(guān)8.4 r的計(jì)算公式8.5 r的解釋8.6 的解釋8.7 相關(guān)並不必然有因果關(guān)係一個(gè)相關(guān)係數(shù)，不論其大小，對(duì)於一個(gè)觀察的關(guān)係是否能反映出單純的因果關(guān)係或更複雜事件的狀態(tài)，永遠(yuǎn)無法提供有關(guān)的訊息。8.8 其他相關(guān)係數(shù)的類型9、預(yù)測9.1 預(yù)測直線直線的放置預(yù)測的誤差(predictive error) 全部的預(yù)測誤差9.2 最小平方預(yù)測直線9.3 最小平方方程式 找出b與a的值 最小平方預(yù)測方程式(Least squares prediction equation)：在原來的相關(guān)分析中，對(duì)於已知的Y的分?jǐn)?shù)，能使其所有預(yù)測誤差平方的總和減至最少的方程式。 對(duì)於的解決9.4 圖或方程式？ 編