數(shù)學(xué)模型——論述解決經(jīng)濟,管理問題的工具

1、數(shù)學(xué)模型論述解決經(jīng)濟、管理問題的工具經(jīng)濟學(xué)院 金融學(xué)專業(yè) 陳蕊0511732摘 要： 對實際生活中的問題采用簡單和易于處理的近似方法，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，能夠幫助我們論述和解釋一些經(jīng)濟理論，解決現(xiàn)實中的管理決策問題。關(guān)鍵詞： 蛛網(wǎng)模型，最優(yōu)化模型一、動態(tài)經(jīng)濟系統(tǒng)中的蛛網(wǎng)模型蛛網(wǎng)模型應(yīng)用于微觀經(jīng)濟學(xué)完全競爭市場關(guān)于均衡理論的討論中。在完全競爭市場體系中，當(dāng)需求、供給水平相同時，市場供求達到均衡。當(dāng)商品價格偏離均衡狀態(tài)后，其價格在現(xiàn)實生活中會呈現(xiàn)振蕩現(xiàn)象，有的振蕩幅度會越來越小，趨于平穩(wěn)，有的則越來越大。微觀經(jīng)濟學(xué)認為完全競爭市場上，產(chǎn)品的價格由需求關(guān)系決定，單個廠商只是價格的接受者。下面以農(nóng)產(chǎn)品

2、中豬肉價格的變化與需求的關(guān)系為例討論。首先列出所需變量及假設(shè)：QnS=第n個時期內(nèi)豬肉產(chǎn)量，QnD=第n個時期內(nèi)豬肉需求量，Pn =第n個時期內(nèi)豬肉價格，D：表示需求函數(shù)，S: 表示供給函數(shù)。假設(shè)：本期價格Pn決定下期產(chǎn)量Qn+1S，即本期需求量QnD；本期產(chǎn)量QnS決定本期價格Pn，即QnD=Qn+1S =S(Pn)，Pn =D(QnS)且QnS =QnD。根據(jù)需求曲線和供給曲線的斜度不同,有以下三種蛛網(wǎng)模型形式：1封閉型：需求曲線和供給曲線斜度相等。圖1 封閉型假定豬肉在第一期價格P1，供給對價格反應(yīng)滯后一個時期，生產(chǎn)者將產(chǎn)量增為Q2，但其只能按P2 的價格才能出售全部豬肉。根據(jù)第二期的價

3、格P2，生產(chǎn)者將豬肉產(chǎn)量減到Q3，消費者愿意支付P3的價格購買全部豬肉。于是價格又升為P1，第三期價格與第一期價格相等。由于供給曲線與需求曲線斜度相等，在其他條件不變的情況下，上面的循環(huán)過程將持續(xù)下去。豬肉的實際產(chǎn)量跟價格始終按同一幅度圍繞平衡點上下波動。用微觀經(jīng)濟學(xué)語言解釋上述過程，就是生產(chǎn)者和消費者對豬肉的價格的反應(yīng)程度是一致的。 2收斂型：供給曲線的斜度大于需求曲線的斜度。圖2 收斂型當(dāng)市場由于受到干擾偏離原有的均衡狀態(tài)后，豬肉的實際價格和產(chǎn)量會圍繞均衡水平上下波動，波動的幅度越來越小，最終達到均衡點時停止。用微觀經(jīng)濟學(xué)語言解釋上述過程，就是生產(chǎn)者對豬肉價格的反應(yīng)程度小于消費者。3發(fā)散型

4、：供給曲線的斜度小于需求曲線的斜度。 圖3 發(fā)散型當(dāng)市場受到干擾偏離原有的均衡狀態(tài)后，豬肉的實際價格和產(chǎn)量上下波動的幅度會越來越大，偏離平衡點越來越遠。用微觀經(jīng)濟學(xué)語言解釋上述過程，就是生產(chǎn)者對于豬肉價格的反應(yīng)程度大于消費者。二、企業(yè)管理決策中的最優(yōu)化模型在現(xiàn)實決策時我們面對的最優(yōu)化問題較為復(fù)雜，構(gòu)建出的模型與實際不完全吻合，需要將結(jié)果對假設(shè)的靈敏性及模型的穩(wěn)健性也列入考慮的范圍。靈敏性分析就是分析結(jié)果對于每一條假設(shè)的敏感程度。穩(wěn)健性是指雖然構(gòu)建的模型不能精確反映實際情況，但由此得出的結(jié)論在一定范圍內(nèi)仍是正確的。由于在實際操作時，決策者會在銷售很短的時期內(nèi)對市場做出調(diào)查和預(yù)測，并制定合理的價格

5、等決策，所以即便是我們簡化時進行諸如線性之類的近似，也不會影響模型結(jié)果的正確性。例如：一家彩電制造商計劃推出兩種新產(chǎn)品：一種19英寸立體聲彩色電視機，制造商建議零售價為339美元，另一種21英寸立體聲彩色電視機，零售價399美元。公司付出的成本為19英寸彩電每臺195美元，21英寸彩電每臺225美元，還要加上400000美元的固定成本。在競爭的銷售市場中，每年售出的彩電數(shù)量會影響彩電的平均售價。據(jù)估計，對每種類型的彩電，每多售出一臺，平均銷售價格會下降1美分，而且19英寸彩電的銷售會影響21英寸彩電的銷售，反之也是如此。據(jù)估計，每售出一臺19英寸彩電，21英寸彩電的平均售價會下降0.4美分，每

6、售出一臺21英寸彩電，19英寸彩電的平均售價會下降0.3美分。問題是：每種彩電應(yīng)各生產(chǎn)多少臺？解析：首先列出變量及假設(shè)： s=19英寸彩電的售出數(shù)量（每年）， t=21英寸彩電的售出數(shù)量（每年）， p=19英寸彩電的銷售價格（美元）， q=21英寸彩電的銷售價格（美元）， C=生產(chǎn)彩電的成本（美元/年）， R=彩電銷售的收入（美元/年）， P=彩電銷售的利潤（美元/年）。 假設(shè)： p=339-0.01s-0.003t， q=399-0.01t-0.004s， R=sp+qt， C=400000+195s+225t， P=R-C， s0,t0。令y=P，x1 =s，x2=t，問題轉(zhuǎn)化為在區(qū)域(x

7、1, x2 )x1 0, x2 0上求y=(339-0.01 x1 -0.003 x2 ) x1 +(399-0.01 x2 -0.004 x1 ) x2- (400000+195 x1 +225 x2 )的最大值。在此求解過程中，我們可以運用學(xué)過的二元函數(shù)求極值的方法。求得結(jié)果是： x1=554000/1174735， x2 =824000/1177043。而當(dāng)變量超過2個或函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)情況更為復(fù)雜時，則可借助數(shù)學(xué)軟件來進行計算?，F(xiàn)在我們對做出的假設(shè)進行靈敏性分析。（1）對19英寸彩電價格彈性系數(shù)a的靈敏度進行分析假定a=0.01美元/臺,代入y中,有 y=(339- ax1 -0.003 x

8、2 ) x1 +(399-0.01 x2 -0.004 x1 ) x2- (400000+195 x1 +225 x2 )令偏導(dǎo)數(shù)為0,可得x1 =1662000/(400000a-49) , x2 =8700-581700/(400000a-49)。x1 對于a的靈敏度S(x1 , a)=dx1/da·a/ x1 -1.1 (a=0.01)，x2 對于a的靈敏度S(x2 , a)0.27。由此，我們知道，x1 比x2對于a更敏感。（2）借助于數(shù)學(xué)軟件完成y對于a的靈敏性分析得到S(y , a)-0.4。特別地，由于在最值點（極值點）處的偏導(dǎo)數(shù)為0，所以x1，x2的微小變化對y的影響極微弱，由價格彈性導(dǎo)致的最優(yōu)利潤的變化幾乎全部由售價變化引起。因此，我們采用的模型給出的生產(chǎn)量范圍包括最優(yōu)值。事實上，現(xiàn)實中的許多最優(yōu)化問題是更為復(fù)雜的。比如帶有很多限制條件的有約束最優(yōu)化問題。雖然采用的基本方法是我們熟悉的拉格朗日乘數(shù)法，但是由于變量個數(shù)的增加和可行域形狀的復(fù)雜，求解起來相當(dāng)麻煩，需要視情況不同進行討論