數(shù)學(xué)建模線性規(guī)劃

1、線性規(guī)劃1.簡介： 線性規(guī)劃是運(yùn)籌學(xué)中研究較早、發(fā)展較快、應(yīng)用廣泛、方法較成熟的一個重要分支,它是輔助人們進(jìn)行科學(xué)管理的一種數(shù)學(xué)方法.在經(jīng)濟(jì)管理、交通運(yùn)輸、工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)等經(jīng)濟(jì)活動中，提高經(jīng)濟(jì)效果是人們不可缺少的要求，而提高經(jīng)濟(jì)效果一般通過兩種途徑：一是技術(shù)方面的改進(jìn)，例如改善生產(chǎn)工藝，使用新設(shè)備和新型原材料.二是生產(chǎn)組織與計劃的改進(jìn)，即合理安排人力物力資源. 線性規(guī)劃所研究的是：在一定條件下，合理安排人力物力等資源，使經(jīng)濟(jì)效果達(dá)到最好.規(guī)劃問題。一般地，求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值的問題，統(tǒng)稱為線性線性約束條件的解叫做可行解，由所有可行解組成的集合叫做可行域。 在優(yōu)化模型中，如

2、果目標(biāo)函數(shù)f(x)和約束條件中的g(x)都是線性函數(shù)，則該模型稱為線性規(guī)劃。2.線性規(guī)劃的3個基本要素（1）決策變量（2）目標(biāo)函數(shù)f(x)（3）約束條件（g(x)0稱為約束條件）3.建立線性規(guī)劃的模型（1）找出待定的未知變量（決策變量），并用袋鼠符號表示他們。（2）找出問題中所有的限制或者約束，寫出未知變量的線性方程或線性不等式。（3）找到模型的目標(biāo)或判據(jù)，寫成決策變量的線性函數(shù)，以便求出其最大值或最小值。以下題為例，來了解一下如何將線性規(guī)劃用與實(shí)際的解題與生活中。生產(chǎn)計劃問題某工廠生產(chǎn)甲乙兩種產(chǎn)品，每單位產(chǎn)品消耗和獲得的利潤如表試擬訂生產(chǎn)計劃，使該廠獲得利潤最大解答：根據(jù)解題的三個基本步驟（

3、1）找出未知變量，用符號表示：設(shè)甲乙兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)量分別為x與x噸，利潤為z萬元。（2）確定約束條件：在這道題目當(dāng)中約束條件都分別為：鋼材，電力，工作日以及生產(chǎn)量不能為負(fù)的限制鋼材：9x+5 x360，電力：4x+5 x200，工作日：3x+10 x300，x 0 ，x 0，（3）確定目標(biāo)函數(shù)：Z=7x+12 x所以綜合上面這三步可知，這個生產(chǎn)組合問題的線性規(guī)劃的數(shù)學(xué)模型為：max Z=7x+12 xs.t.4.使用MATLAB解決線性規(guī)劃問題依舊是以上題為例，將其用MATLAB來表示出來1.將目標(biāo)函數(shù)用矩陣的乘法來表示max Z=(7 12) 2.將約束條件也用矩陣的乘法表示s.t. 編寫M

4、ATLAB的程序如下： c=-7 -12; (由于是max函數(shù)，因此將目標(biāo)函數(shù)的系數(shù)全部變?yōu)樨?fù)數(shù)) A=9,5;4,5;3,10; b=360;200;300; Aeq=; beq=; vlb=0;0; vub=; x,fval=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)其運(yùn)行結(jié)果顯示如下：x = 20.0000 24.0000fval = -428.00005.MATLAB求解線性規(guī)劃的語句(1)c= 表示目標(biāo)函數(shù)的各個決策變量的系數(shù)(2)A= 表示約束條件中或的式子中的各個決策變量的系數(shù)。 （若系數(shù)構(gòu)成了兩行以上的矩陣那么則由“；”來分割不同的兩行）(3)b= 表示或右邊

5、的數(shù)字(4)Aeq= 表示約束條件中=的式子中各個決策變量的系數(shù)。(5)beq= 表示=右邊的數(shù)字(6)vlb= 表示決策變量的定義域 中為的數(shù)字(7)vub= 表示決策變量的定義域 中為的數(shù)字(8)x,fval=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub) 調(diào)用了linprog 函數(shù)，以此來求解出決策變量的值6.課后習(xí)題1.某雞場有1000只雞，用動物飼料和谷物混合喂養(yǎng)。每天每只雞平均食混合飼料0.5KG，其中動物飼料所占比例不能少于20%。動物飼料每千克0.30元，谷物飼料每千克0.18元，飼料公司每周僅保證供應(yīng)谷物飼料6000KG，問飼料怎樣混合，才能使成本最低？解：設(shè)動

6、物飼料與谷物飼料分別為與千克，總成本為Z。min Z=0.3+0.18s.t.MATLAB程序：c=0.3 0.18;A=1,1;b=3500;Aeq=;beq=;vlb=700;0;vub=6000;x,fval=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)運(yùn)算結(jié)果：x = 700.0000 0.0000fval = 210.00005.某工廠生產(chǎn)、兩種型號的產(chǎn)品都必須經(jīng)過零件裝配和檢驗(yàn)兩道工序，如果每天可用于零件裝配的工時只有100，可用于檢驗(yàn)的工時只有120，各型號產(chǎn)品每件需占用各工序時數(shù)和可獲得的利潤如下表所示：產(chǎn)品可用工時工序裝配23100檢驗(yàn)42120利潤(元/件)

7、64（1）試寫出此問題的數(shù)學(xué)模型，并求出最優(yōu)化生產(chǎn)方案；（2）對產(chǎn)品的利潤進(jìn)行靈敏度分析；（3）對裝配工序的工時進(jìn)行靈敏度分析；（4）如果工廠試制了型產(chǎn)品，每件產(chǎn)品需裝配工時4，檢驗(yàn)工時2，可獲利潤5元，那么該產(chǎn)品是否應(yīng)投入生產(chǎn)？問題分析： 原問題即是線性規(guī)劃問題。1、2、3小問也即是線性規(guī)劃問題中關(guān)于靈敏度分析中的分析Cj的變化范圍、分析bi變化范圍、增加一個約束條件的分析。于是，上訴問題都可通過靈敏度分析的步驟運(yùn)用單純形表法得以解決。第一小問，建立線性規(guī)劃模型，用單純形表法求最優(yōu)解，同時可為第二、三小問做準(zhǔn)備。第二小問，即是線性規(guī)劃問題中關(guān)于靈敏度分析中的Cj的變化范圍分析。將A1的利潤變

8、為元，以的取值范圍進(jìn)行分析。第三小問，即是線性規(guī)劃問題中關(guān)于靈敏度分析中的bi變化范圍分析。將裝配工序工時變?yōu)閔，按公式1：算出，將其加到基變量列的數(shù)字上，然后由于其對偶問題仍為可行解，故只需檢查原問題是否仍為可行解。第四小問，即是線性規(guī)劃問題中關(guān)于靈敏度分析中的增加一個約束條件的分析。只需加入約束條件建立新的線性規(guī)劃模型。 模型的建立和求解：建立模型 （1） Z表示總的利潤，x1、x2分別表示兩種型號生產(chǎn)數(shù)量。通過MATLAB程序計算得到的最優(yōu)解為x2=x1=20，即最優(yōu)方案為A1、A2兩種型號各生產(chǎn)20件。得最大利潤200元。（2）將A1的單件利潤改為元，得如下新的線性規(guī)劃問題，通過變化分析原問題的靈敏度。解的最優(yōu)條件是：由此推得當(dāng)時滿足上述要求。由此推得 加放產(chǎn)品