數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用論文

1、自學(xué)考試本科畢業(yè)論文論文題目：數(shù)學(xué)歸納法及其運用二號黑體加粗 學(xué)校名稱：桂林師范高等專科學(xué)校小二宋體加粗專業(yè)名稱：數(shù)學(xué)教育準(zhǔn)考證號： 030114300393姓 名： 何東萍指導(dǎo)教師： 李政目錄內(nèi)容摘要一、 數(shù)學(xué)歸納法的由來（一）數(shù)學(xué)歸納法的概念（二）數(shù)學(xué)歸納法的命名（三）歸納法的證明二、數(shù)學(xué)歸納法的步驟三、數(shù)學(xué)歸納法的幾種形式（一）第一數(shù)學(xué)歸納法（二）第二數(shù)學(xué)歸納法（三）倒推歸納法（四）跳躍歸納法（五）螺旋式歸納法四、數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用（一）數(shù)學(xué)歸納法在生物方面的應(yīng)用（二）數(shù)學(xué)歸納法在初等數(shù)學(xué)方面的應(yīng)用（三）數(shù)學(xué)歸納法在幾何方面的應(yīng)用五、數(shù)學(xué)歸納法的變體（一）從0以外的數(shù)字開始（二）針對偶數(shù)與

2、奇數(shù)（三）遞歸歸納法六、數(shù)學(xué)歸納法常見誤區(qū)及注意（一）易錯例題（二）數(shù)學(xué)歸納法需注意文獻參考數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用班級:數(shù)學(xué)教育2班 姓名:何東萍 指導(dǎo)老師：李政 【內(nèi)容摘要】小四宋體加粗本文講述了數(shù)學(xué)歸納法的歷史由來和理論原理，通過數(shù)學(xué)歸納法的基本形式的學(xué)習(xí)和理解，用相應(yīng)實例進行解析說明數(shù)學(xué)歸納法在各方面的具體應(yīng)用。最后總結(jié)了數(shù)學(xué)歸納法的常見誤區(qū)和應(yīng)用技巧，并對未來發(fā)展的場景作出了預(yù)測。在中學(xué)數(shù)學(xué)的過程中，有一種很常見并且很基本的數(shù)學(xué)方法數(shù)學(xué)歸納法。對于數(shù)學(xué)歸納法，人們常常有這樣的疑問:數(shù)學(xué)歸納法的原理是什么？數(shù)學(xué)歸納法的證明過程為什么要用這樣的規(guī)定格式？數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用前景會如何？【關(guān)鍵詞】小

3、四宋體加粗 數(shù)學(xué)歸納法；歸納法的分類；歸納法的應(yīng)用； 一、數(shù)學(xué)歸納法的由來在最早的使用數(shù)學(xué)歸納法的證明出現(xiàn)于Francesco Maurolico的Arithmeticorum libri duo（1575年）。Maurolico利用遞推關(guān)系證明出前n個奇數(shù)的總和是n2，數(shù)學(xué)歸納法之謎便由此解開。（一）數(shù)學(xué)歸納法的概念 數(shù)學(xué)歸納法有這么一個典型的例子：如果你有一排很長的直立著的多米諾骨牌那么第一張骨牌將倒下，其中某一個骨牌倒了，與其相鄰的下一個骨牌也會倒，所以我們可以由此推斷出所有的的骨牌都將要倒。也就能確定出這么一種遞推關(guān)系，只要能夠滿足這兩個條件就會導(dǎo)致所有骨牌全都倒下，用數(shù)學(xué)的方式可以簡

4、述為:（1）第一塊骨牌倒下； （2）任意兩塊相鄰骨牌，只要前一塊倒下，后一塊必定倒下。這樣，無論有多少骨牌,只要保證（1）（2）成立，就會全都倒下。關(guān)于數(shù)學(xué)歸納法，新教材是這樣描述的:“從特殊的事例推出一般原理的推理方法叫做歸納法”。數(shù)學(xué)歸納法，是用來證明某些與自然數(shù)有關(guān)的命題的一種推理方法。其既具有演繹法的特征，又具有歸納的特征，它是一種歸納公理綜合運用歸納、演繹推理的一種特殊的數(shù)學(xué)證明法。（二）數(shù)學(xué)歸納法的命名從表面上來看，數(shù)學(xué)歸納法似乎是屬于歸納推理，事實上卻不是。因為:數(shù)學(xué)歸納法的證明過程，可以得出它總體上是由兩個部分所組成的，第一是得出P（1）為真，且P（k）到P（k+1）；第二是k

5、=1，2，3，由其一得出對所有自然數(shù)n，P（n）都是成立的。這兩個部分完成了用有限步來證明對無限多個數(shù)值都有命題P（n）為真的結(jié)論。證明之所以成立是因為阿皮諾公理中的歸納原理。由此可見，數(shù)學(xué)歸納法是屬于演繹。數(shù)學(xué)歸納法是演繹推理，這豈不是與其名稱中有“歸納”二字想矛盾嗎？一個方面，從證明中涉及自然數(shù)n的角度看，證明第（1）步是針對n=1進行的，這里的1是特殊的數(shù)，所以這一步是對特殊對象進行討論的；第（2）步是以“n=k時命題成立”為出發(fā)點，以此來推導(dǎo)出“n=k+1時命題也成立”，k是代表從“n=k到n=k+1”的一般性遞推。證明中對n的討論順序是“先特殊，后一般”，符合“由易到難，由簡到繁”的

6、證明思路，同時也反映了人們發(fā)現(xiàn)規(guī)律的一般過程。另一個方面，人們經(jīng)歷了無數(shù)次特殊的、具體的驗證性實踐后，總結(jié)出正整數(shù)集合的元素具有無窮次遞推的后繼關(guān)系，并概括了這種規(guī)律，得出了正整數(shù)的公理。當(dāng)然，實驗中的“驗證發(fā)現(xiàn)想象”對數(shù)學(xué)歸納法原理的產(chǎn)生是功不可沒的，如果沒有驗證性的探索和歸納，就沒有對后繼數(shù)及其間包含遞歸關(guān)系的一般性認識，也就沒有數(shù)學(xué)歸納法原理的產(chǎn)生。數(shù)學(xué)歸納法所完成的認識過程中經(jīng)歷了兩千多年的坎坷發(fā)展，直到十九世紀(jì)才獲得“數(shù)學(xué)歸納法”這一美稱。（三）歸納法的證明 既然數(shù)學(xué)歸納法（mathematical induction）是一種重要的數(shù)學(xué)證明方法，我們利用它證明某些命題對于一切正整數(shù)的

7、成立。正整數(shù)是人類最早認識的數(shù)，它看似是最簡單的數(shù)，但是由于其具有無限性的特征，在數(shù)學(xué)中嚴(yán)格地描述正整數(shù)集合并不簡單。大家都知道的，正整數(shù)1，2，3，有無窮多個，數(shù)學(xué)歸納法用兩個步驟是怎么完成對于這無窮多個情況的的證明呢？如果一個數(shù)、一個數(shù)地去研究關(guān)于正整數(shù)的問題，那么解決問題是非常困難的，探究如何對正整數(shù)集合進行整體性描述。在這方面德國數(shù)學(xué)家康托爾（G. Cantor，1845-1918）和意大利數(shù)學(xué)家皮亞諾（G. Peano,1858-1932）分別從基數(shù)和序數(shù)的角度作出重要貢獻。皮亞諾是研究數(shù)理邏輯和數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的先驅(qū)，1891年他對正整數(shù)的有序性給出了嚴(yán)格刻畫，也就是現(xiàn)在的皮亞諾公理。用現(xiàn)

8、代的數(shù)學(xué)語言和符號可以把這些公理的意義簡述如下：1是一個正整數(shù)。每個正整數(shù)a都有一個后繼數(shù)(a+1)也是正整數(shù)。1不是任何正整數(shù)的后繼數(shù)。若a與b的后繼數(shù)相等，則a與b相等。設(shè)S是正整數(shù)集合N*的子集，若（1）1屬于S；（2）當(dāng)k屬于S時，k的后繼數(shù)（k+1）一定有也屬于S，則S= N*。這幾條公理反映了正整數(shù)集合有序性的本質(zhì)特征，我們主要注重公理，公理也稱為數(shù)學(xué)歸納法原理，它給出了證明一個集合是正整數(shù)集合的方法，是數(shù)學(xué)歸納法的理論基礎(chǔ)。簡單的說數(shù)學(xué)歸納法，其實是數(shù)學(xué)上證明與自然數(shù)N有關(guān)的命題的一種特殊方法，是主要用來研究與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)問題，在中學(xué)數(shù)學(xué)中常用來證明等式成立和數(shù)列通項公式成立

9、。二、數(shù)學(xué)歸納法的步驟一般地，數(shù)學(xué)歸納法證明“命題P對于全體正整數(shù)成立”的步驟為：（1）證明P對于1成立；（2）證明“若P對于k成立，則P對于k+1成立”。當(dāng)完成（1）(2)之后，即可推出：P對于全體正整數(shù)都成立。數(shù)學(xué)歸納法的一般步驟為:假設(shè)有一個與正整數(shù)有關(guān)的命題P（n）。（1）當(dāng)n=1時，命題成立。（2）假設(shè)n=k時，命題成立。借用n=k命題成立，推出n=k+1，該命題也成立。即這個命題對于一切正整數(shù)n都成立。三、數(shù)學(xué)歸納法的幾種形式（一）第一數(shù)學(xué)歸納法在教學(xué)書中講的數(shù)學(xué)歸納法，我們一般稱為第一數(shù)學(xué)歸納法。其步驟為:假設(shè)有一個與正整數(shù)有關(guān)的命題P（n）。（1）當(dāng)n=1時，命題成立。（2）假

10、設(shè)n=k時，命題成立。借用n=k命題成立，推出n=k+1，該命題也成立。即這個命題對于一切正整數(shù)n都成立。這種方法的原理在于論證第一步是證明命題在n=1成立，這是遞推的基礎(chǔ)；第二步假設(shè)在n=k時命題成立，在證明k=n+1時命題成立，這是無限遞推的理論依據(jù)，即可判斷命題的成立是否能夠從特殊推廣到一般。定理的證明我們用反證法來進行對第一數(shù)學(xué)歸納法證明，對于一個已經(jīng)完成上述兩步證明的數(shù)學(xué)命題，我們假設(shè)它并不是對于一切的正整數(shù)都是成立的。對于那些不成立的數(shù)所構(gòu)成的集合Q其中必定有一個最小的元素a。因為命題對n=1是成立的，所以a不等于1， a>1，從而可得a-1是正整數(shù)。又因為a已經(jīng)是集合Q中的

11、最小元素了，所以a-1是不屬于Q，當(dāng)n= a-1時，命題是成立的，既然對于a-1成立，那么也對a也應(yīng)該成立，這與我們的假設(shè)矛盾。所以這個完成兩個步驟的命題能夠?qū)λ衝都成立。證明完畢。（二）第二數(shù)學(xué)歸納法當(dāng)遞推要涉及到小于k的時候，第一歸納法就要給第二數(shù)學(xué)歸納法讓道了，第二數(shù)學(xué)歸納法與第一數(shù)學(xué)歸納法的區(qū)別在于證明第二步，前者比后者能夠更好的利用前面的命題所提供的條件，所以有些命題運用第二數(shù)學(xué)歸納法進行證明更為方便。第二數(shù)學(xué)歸納法的步驟為:設(shè)P（n）是關(guān)于自然數(shù)的命題，（1）設(shè)P（n）在n=1時命題成立，（2）假設(shè)對于所有小于或等于k的自然數(shù)n，（kN*，k1）命題P（n）成立，即可推出P（n+

12、1）也成立；即性質(zhì)P（n）對于一切自然數(shù)n都成立。（三）倒推歸納法倒推歸納法也叫反向歸納法，倒推歸納法是由于在歸納遞推運用反方向遞推而得名的。倒推歸納法是數(shù)學(xué)家柯西最先使用它證明了n個數(shù)的算術(shù)平均值大于等于這n個數(shù)的幾何平均值。其步驟為：設(shè)P（n）是一個與自然數(shù)有關(guān)的命題。（1）驗證對無窮多個自然數(shù)n命題P（n）成立，（無窮多個自然數(shù)可以是一個無窮數(shù)列中的數(shù)，如對于算術(shù)幾何不等式的證明，可以是2k，k1）。（2）假設(shè)P（k+1）（k）成立，并在此基礎(chǔ)上，推出P（k）成立， 即命題P（n）對一切自然數(shù)n（）都成立。定理的證明：同樣的，我們用反證法來進行證明。假設(shè)該命題不是對于一切正整數(shù)都是成立的

13、，令M表示使命題不成立正整數(shù)的集合，那么M0，任取mM由條件（1）可知，必有正整數(shù)nm使得P（n）成立，由這樣的正整數(shù)n構(gòu)成的集合為N。由集合M0可知，必有最小的正整數(shù)a，顯然，a1，由條件（3）得，P（a-1）成立，由a的取值得m-1a，但這與a是M中最小正整數(shù)矛盾。即假設(shè)不成立，原命題成立。定理證畢。（四）跳躍歸納法若命題中出現(xiàn)“間隔”時，我們不能簡單的證明“k+1”了，若P(n)對自然數(shù)1，2，n都是正確的命題，設(shè)n=k時，假設(shè)命題P(k)成立，可以推出P (k+l)成立，則P(n)對一切自然數(shù)n都成立。（五）螺旋式歸納法當(dāng)有一些與自然數(shù)難以通過上面的數(shù)學(xué)歸納法來進行證明時，可以根據(jù)具體

14、的情形加強命題，設(shè)計一個更具有一般性的新命題，通過對新命題證明來確定原命題的正確性。其形式為:設(shè)有兩個與自然有關(guān)的命題P（n），Q（n）， （1）驗證n=時P（n）成立； （2）假設(shè)P（k）（k>no）成立，可以推出Q（k）成立，假設(shè) Q（k）成立，可以推出 P(k+1）成立； 即命題對一切自然數(shù)n（），P（n），Q（n）都成立。四、數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用（一）數(shù)學(xué)在生物方面的應(yīng)用例1：某生產(chǎn)隊科學(xué)實驗小組決定研究n（n2）種害蟲之間的關(guān)系，然后想去消滅它們，經(jīng)實驗，他們發(fā)現(xiàn)其中，任意兩種總有一種吞食另一種，試證明可把此n種害蟲排成一行，使得前一種可吞食后一種。證明：假設(shè)（=1，2，）表示第i

15、種害蟲，將它們排成，其中前一種可吞食后一種，用表示可吞食，（1）當(dāng)時，命題成立。（2）設(shè)時，（），命題成立，現(xiàn)在我們考慮的情況，在的情形里，我們再加入一種害蟲。（我們將種害蟲分為兩組，k種害蟲為第一一組，剩下的一種害蟲為第二組，由假設(shè)得，第一組k種害蟲可排列成，使得一種可吞食后一種，再將第二組的一種記為加入。）有兩種情況：1 若>則可將放在前面，即有>。命題成立。2 若，再將與放在一起比較，若，可將放在前面，這時有，即命題成立，若將重復(fù)往下比較，經(jīng)過有限次（k次）必有下列情形之一，問題解決。否則即置于之后，此時，必有命題成立。綜上所述，命題對成立。從而對任意的自然數(shù)()成立。（二）

16、數(shù)學(xué)歸納法在初等數(shù)學(xué)方面的應(yīng)用例2：證明 能夠被6 整除（1）當(dāng)時，能夠被6整除，命題成立。（2）假設(shè)時，命題成立；即能夠被6整除。當(dāng)時，有因為兩個連續(xù)的數(shù)的乘積是偶數(shù)，所以能夠被6整除。即能夠被6整除，即時，命題成立。證明完畢。（三）數(shù)學(xué)歸納法在幾何方面的應(yīng)用例3：用數(shù)學(xué)歸納法證明：凸n邊形中的n個內(nèi)角和等于（n-2）。證明：依題意，n3。當(dāng)n3時，三邊形的內(nèi)角和顯然等于（3-2）=，這是成立的；假設(shè)n=k時，k邊形的k個內(nèi)角和等于（k-2），則當(dāng)k+1時，如圖可以在k+1邊形A1A2Ak-1AkAk+1中連續(xù)和一個三角形A1AkAk+1。明顯的得出，k+1邊形的內(nèi)角和正好等于k邊形的內(nèi)角和

17、與三角形的內(nèi)角和。即 k+1邊形a1,a2,ak-1,ak+1的內(nèi)角和等于（k-2）+（k+1）-2。由、可得，n3的一切自然數(shù)n，凸n邊形中的n個內(nèi)角和等于（n-2）。數(shù)學(xué)歸納不僅在中學(xué)數(shù)學(xué)中有作用，在我們的基礎(chǔ)學(xué)科初等代數(shù)，幾何，高等代數(shù)發(fā)揮著其作用，總得來說，數(shù)學(xué)歸納法不僅貫穿我們數(shù)學(xué)的各門學(xué)科，而且在我們的日常生活中也起著重要的作用。五、數(shù)學(xué)歸納法的變體數(shù)學(xué)歸納法常常需要采取一些變化來滿足實際的需求，下面介紹一些常見的數(shù)學(xué)歸納法變體。（一）從0以外的數(shù)字開始如果我們想證明的命題并不是針對全部自然數(shù)，只是針對所有等于某個數(shù)字b的自然數(shù)，那么證明的步驟需要做如下修改：第一步，證明當(dāng)n=b時

18、命題成立。第二步，證明如果n=m(mb）成立，那么可以推導(dǎo)出n=m+1也成立。 用這個方法可以證明諸如“當(dāng)n3時，n>2n”這一類命題。（二）針對偶數(shù)或奇數(shù)如果我們想證明的命題不是針對全部自然數(shù)，只是針對所有奇數(shù)或偶數(shù)，那么證明的步驟需要做如下修改： 奇數(shù)方面：第一步，證明當(dāng)n=1時命題成立。第二步，證明如果n=m成立，那么可以推導(dǎo)出n=m+2也成立。 偶數(shù)方面：第一步，證明當(dāng)n=0或2時命題成立。第二步，證明如果n=m成立，那么可以推導(dǎo)出n=m+2也成立。（三）遞歸歸納法數(shù)學(xué)歸納法并不是只能應(yīng)用于形如“對任意的n”這樣的命題。對于形如“對任意的n=0，1，2，m”這樣的命題，如果對一般的n比較復(fù)雜，如果我們可以實現(xiàn)從k到k-1的遞推，k=1，m的話，我們就可以應(yīng)用歸納法得出對于任意的n=0，1，2，m，原命題均成立。如果命題P(n）在n=1，2，3，t時成立，并且對于任意自然數(shù)k，由P（k），P（k+1），P（k+2），P（k+t-1）成立，其中t是一個常量，那么P（n）對于一切自然數(shù)都成立。六、數(shù)學(xué)歸納法常見誤區(qū)及注意在數(shù)學(xué)歸納法的證明中，我們不能缺