第五屆“華羅庚金杯”少年數(shù)學邀請賽復賽試題

1、數(shù)學競賽 第五屆“華羅庚金杯”少年數(shù)學邀請賽復賽試題及答案1計算：2甲、乙兩位學生原計劃每天自學的時間相同，若甲每天增加自學時間半小時，乙每天減少自學時間半小時，則乙自學6天的時間僅相等于甲自學1天的時間。問：甲乙原訂每天自學的時間是多少？3圖5-4是由圓周、半圓周、直線線段畫成的，試經(jīng)過量度計算出圖中陰影部分以外整個“豬”的面積（準確到1平方毫米）。4羊和狼在一起時，狼要吃掉羊，所以關于羊及狼，我們規(guī)定一種運算，用符號表示：羊羊=羊；羊狼=狼；狼羊=狼；狼狼=狼以上運算的意思是：羊與羊在一起還是羊，狼與狼在一起還是狼，但是狼與羊在一起便只剩下狼了。小朋友總是希望羊能戰(zhàn)勝狼，所以我們規(guī)定另一種

2、運算，用符號表示：羊羊=羊；羊狼=羊；狼羊=羊；狼狼=狼這個運算的意思是：羊與羊在一起還是羊，狼與狼在一起還是狼，但由于羊能戰(zhàn)勝狼，當狼與羊在一起時，它便被羊趕走而只剩下羊了。對羊或狼，可以用上面規(guī)定的運算作混合運算，混合運算的法規(guī)是從左到右，括號內(nèi)先算，運算的結(jié)果或是羊，或是狼。求下列的結(jié)果：羊（狼羊）羊（狼狼）5人的血通常為A型，B型，O型，AB型。子女的血型與其父母血型間的關系如下表所示：父母的血型子女可能的血型O，OOO，AA，OO，BB，OO，ABA，BA，AA，OA，BA，AB，OA，ABA，B，ABB，BB，OB，ABA，B，ABAB，ABA，B，AB現(xiàn)有三個分別身穿紅、黃、藍上

3、衣的孩子，他們的血型依次為O、A、B。每個孩子的父母都戴著同顏色的帽子，顏色也分紅、黃、藍三種，依次表示所具有的血型為AB、A、O。問：穿紅、黃、藍上衣的孩子的父母各戴什么顏色的帽子？6 一臺天平，右盤上有若干重量相等的白球，左盤上有若干重量相等的黑球，這時兩邊平衡，在右盤上取走一個白球置于左盤上，再把左盤的兩個黑球置于右盤上，同 時給左盤加20克磚碼，這時兩邊也平衡，如從右盤移兩個白球到左盤上，從左盤移一個黑球到右盤上，則須再放50克磚碼于右盤上，兩邊才平衡。問：白球、黑 球每個重多少克？7一個裝滿了水的水池有一個進水閥及三個口徑相同的排水閥，如果同時打開進水閥及一個排水閥，則30分鐘能把水

4、池的水排完；如果同時打開進水閥及兩個排水閥，則10分鐘能把水池的水排完。問：關閉進水閥并且同時開三個排水閥，需要幾分鐘才能排完水池的水？8把37拆成若干個不同的質(zhì)數(shù)之和，有多少種不同的拆法？將每一種拆法中所拆出的那些質(zhì)數(shù)相乘，得到的乘積中，哪個最??？9從甲地到乙地的公路，只有上坡路和下坡路，沒有平路，一輛汽車上坡時每小時行駛20千米，下坡時每小時行駛35千米，車從甲地開往乙地需9小時，從乙地到甲地需7小時，問：甲、乙兩地間的公路有多少千米？從甲地到乙地須行駛多少千米的上坡路？10在下圖中的每個沒有數(shù)字的格內(nèi)各填入一個數(shù)，使每行、每列及每條對角線的三個格中的三數(shù)之和，都等于19.95時那么，畫有

5、“？”的格內(nèi)所填的數(shù)是多少？11一個盛有水的圓柱形容器，底面內(nèi)半徑為5厘米，深20厘米，水深15厘米，今將一個底面半徑為2厘米，高為17厘米的鐵圓柱垂直放入容器中，求這時容器的水深是多少厘米？12在編號1，2，3，的三個相同的杯子里，分別盛著半杯水，1號杯中溶有100克糖，3號杯中溶有100克鹽，先將1號杯中液體的一半及3號杯中液體的倒入2號杯，然后攪勻，再從2號杯倒出所盛液體的到1號杯，接著倒出所余液體的到3號杯。13的整數(shù)部分是多少？14一個周長是56厘米的大長方形，按圖5-5中（a）與（b）所示意那樣，劃為四個小長方形，在（a）中小長方形面積的比是AB=12，BC=12。而有（b）中相應

6、的比例是=13，=13，又知，長方形的寬減去D的寬所得到的差，與的長減去的長所得到的差之比為13。求大長方形的面積。15甲車以每小時160千米的速度，乙車以每小時20千米的速度，在長為210千米的環(huán)形公路上同時、同地、同向出發(fā)。每當甲車追上乙車一次，甲車減速而乙車則增速。問：在兩車的速度剛好相等的時刻，它們分別行駛了多少千米？16試說明，將和寫成一個最簡分數(shù)時，m不會是5的倍數(shù)。17現(xiàn)有11塊鐵，每塊的重量都是整數(shù)，任取其中10塊，都可以分成重量都等的兩組，每組有5塊鐵，試說明：這11塊鐵每塊的重量都相等。1. 原式等于1。 2. 原訂每天自學42分鐘 31093平方毫米 4羊（狼羊）羊（狼狼

7、）=狼 5穿紅上衣的孩子的父母戴藍帽子；穿黃上衣的孩子的父母戴黃帽子；穿藍上衣的孩子父母戴紅帽子。 6每個黑黑重15克，每個白球重20克 7需5分鐘 8共10種不同拆法，其中最小 9甲乙兩地間公路長為210千米，從甲地到乙地須走140千米上坡路 10所填的數(shù)是11.12 111772 121、2、3號杯中的含鹽量與含糖量之比依次為19， 12及765。1329 14160平方厘米 15甲車行駛了940千米，乙車行駛了310千米。 16(見下) 17(見下)1.【解】原式112.【解】改變后，甲每天比乙多自學1小時，即60分鐘。它是乙五天自學的時間，即乙現(xiàn)在每天自學：60(61)12(分)原來每

8、天自學的時間是：123042(分)。3.【解】經(jīng)過量度，豬身由直徑為42毫米的圓周圍成，每條“腿”及一條“尾”都是直徑6毫米的半圓；“豬頭”外徑34毫米，內(nèi)徑30毫米“豬鼻”外徑14毫米，鼻頭無陰影部分由兩個直徑5毫米的半圓及一個高5毫米、寬3毫米的矩形拼成，“鼻孔”由兩個直徑2毫米的半圓組成；“豬眼”由兩個直徑5毫米的半圓組成；“豬嘴”由直徑7毫米的半圓組成，于是所求面積為S5()3(15)1093(平方毫米)4.【解】因為狼狼狼，所以原式羊(狼羊)羊狼，無論前面結(jié)果如何，最后一步羊狼或者瑯狼總等于狼，所以原式狼5.【解】題中表明，每個孩子的父母是同血型的，因此父母均O型，孩子必O型，父母均

9、A型，孩子必A型(孩子為O型的情況已被排除，0型孩子的父母已經(jīng)確定為O型)。父母為AB型，孩子為B型，即紅、黃、藍上衣的孩子，父母分別戴藍、黃、紅帽子。6.【解】第一次挪動白球、黑球并給左盤加20克砝碼而使天平平衡，說明4個黑球的重量等于2個白球的重量加20克，第二次挪動并給右盤加50克砝碼而導致平衡，說明4個白球的重量等于2個黑球的重量加50克，即2個白球的重量等于1個黑球的重量加25克，所以4個黑球的重量等于1個黑球的重量加45克，即3個黑球的重量是45克，1個黑球的重量是15克。從而2個白球的重量是152540克，1個白球的重量是20克。7.【解】由題意，進水閥打開30分鐘所注入水池的水

10、量，等于1個排水閥30分鐘的排水量與一滿池水量之差；同時，它也等于2個排水閥30分鐘的排水量與3滿池水量之差。從而1個排水閥30分鐘的排水量等于2滿池的水量。換句話說，1個排水閥每分鐘可排池的水。3個排水閥每分鐘可排池的水。從而可知，只需5分鐘便可在進水閥關閉的情形下排完滿池水。答：需5分鐘。8.【解】37352925723311232313195131971119251119713172513172十71117共10種不同拆法其中3529435最小9.【解】由于從甲地到乙地的上坡路，就是從乙地到甲地的下坡路；從甲地到乙地的下坡路一定，從乙地到甲地的上坡路把從乙地返回甲地的路，設想為從乙地到某

11、丙地的路時，顯然，從甲地到丙地的路程等于從甲、乙地路程的2倍，且其中恰有一半為上坡路，另一半是下坡路。從甲地到丙地的汽車費時為9716 (小時)由于每千米上坡路費時小時，每千米下坡路費時小時，從而從甲地到乙地的路程等于16（）210(千米)，如果從甲地開往乙地全為上坡，9小時只走209180(千米)。少21018030(千米)每小時下坡比上坡多行352015(千米)，多行30千米需要30152(小時)因此從甲地到乙地，下坡用2小時，上坡用927(小時)，行207140(千米)答：甲乙兩地間公路長為210千米，從甲地到乙地須走140千米上坡路?！咀ⅰ勘绢}自然也可用解方程的辦法求解，設從甲地到乙地

12、的上坡路為x千米，下坡路為y千米依題意于是(xy)( )16.5,所以，xy210。將y210x代入(1)式，得xx9，即x69或x1，所以x140。11.【解】若圓柱體能完全浸入水中，則水深與容器底面面積的乘積應等于原有水的體積與圓柱體在水中體積之和，因而水深為17.72(厘米）它比圓柱體的高度要大，可見圓柱體可以完全浸入水中，于是所求的水深便是17.72厘米。12.【解】第一，將1、3號杯中部分液體倒入2號杯之后，1號杯中含糖50克，2號杯中含糖50克、鹽25克，3號杯中含鹽75克第二步，將2號杯中的號液體倒入1號杯后，1號杯中臺糖505064 (克)，含鹽257 (克)。2號杯中舍糖50

13、克，含鹽25克，3號杯中含鹽75克。第三步，將2號杯中液體的倒入3號杯之后，1號杯中含糖64克，含鹽7克；2號杯中含糖5O克。含鹽25克；3號杯中含糖5O5 (克)，含鹽752577 (克)。從而可知含鹽量與含糖量之比對于1、2、3號杯，依次為19，12及765。13.【解】當兩個數(shù)的和不變時，兩數(shù)越接近(即差越小)它們積越大所以從而8.O11.248.021.238.031.228.O111.24381.25330即8.O11.248.021.238.031.22的整數(shù)部分是29。14.【解】設大長方形的寬為x，則長為28x因為x，x，所以，。 (28x)， (28x), (28x),由題設

14、可知即，于是，x8。于是，大長方形的長28820，從而大長方形的面積為820160平方厘米。15.【解】在甲車第1次追上乙車的那一時刻。甲車的連度成為：160(1)160乙車的速度成為20(1)20速度比變?yōu)樵瓉淼囊话?，原來速度比?，所以在第3次甲追上乙時。兩車速度相等。甲第一次追上乙，用210(16020) (小時)，第二次追上乙，用210(16020) (小時)，第三次追上乙，用210(16020) (小時)，從而甲車行駛了160940(千米)，乙車行駛了20310(千米)16.【解】分母中僅有25被52整除，因此通分后，公分母是52a,a是不被5整除的自然數(shù)(事實上，a25337113171923293137)，并且除去變?yōu)橥猓渌謹?shù)的分子都是5的倍數(shù)。因而這些分數(shù)的和成為 25a其中b是自然數(shù)，由于a不是5的倍數(shù),所以5ba不是5的倍數(shù)，當然約分后得到的最簡分數(shù)的分子m不會是5的倍數(shù)。17.【解】任取一塊后，其余的可分成兩組，重量相等，因此，其余的鐵塊的重量的和是偶數(shù)，換句話說，11塊鐵的總重量與其中任一塊鐵的重量，奇偶性相同