202X年高中數(shù)學第3章空間向量與立體幾何3.1.1空間向量及其線性運算課件8蘇教版選修2_1

1、空間向量及其運算空間向量及其運算 憶憶 一一 憶憶 知知 識識 要要 點點大小大小 方向方向 一樣一樣 相等相等 平行或重合平行或重合 憶憶 一一 憶憶 知知 識識 要要 點點憶憶 一一 憶憶 知知 識識 要要 點點1憶憶 一一 憶憶 知知 識識 要要 點點互相垂直互相垂直 憶憶 一一 憶憶 知知 識識 要要 點點憶憶 一一 憶憶 知知 識識 要要 點點 “兩向量平行和兩向量平行和“兩向量同向不清致兩向量同向不清致誤誤定義定義表示法表示法向量向量向量的模向量的模零向量零向量單位向量單位向量相等向量相等向量相反向量相反向量平行向量平行向量(共線向量共線向量)0記作|,|aAB a, AB 具有大

2、小和方向的量具有大小和方向的量向量的大小向量的大小長度為零的向量長度為零的向量模為模為 1 的向量的向量長度相等且方向相反的向量長度相等且方向相反的向量長度相等且方向一樣的向量長度相等且方向一樣的向量方向一樣或相反的非零向量方向一樣或相反的非零向量常用常用 e 表示表示ab記作ab 記作ab記作與任一向量共線.01. 1. 空間向量的有關概念及表示法空間向量的有關概念及表示法平面向量平面向量空間向量空間向量概念概念加法加法減法減法數(shù)乘數(shù)乘運算運算運運算算律律具有大小和方向的量減法減法:三角形法那么三角形法那么加法加法: :三角形法那么三角形法那么或或平行四邊形法那么平行四邊形法那么數(shù)乘數(shù)乘:k

3、a, k為正數(shù),負數(shù),零加法交換律加法結合律數(shù)乘分配律abba()()abcabc ()k abkakb 加法交換律加法結合律數(shù)乘分配律abba()()abcabc ()k abkakb 1. 1. 空間向量的有關概念及表示法空間向量的有關概念及表示法具有大小和方向的量具有大小和方向的量 共線向量共線向量共面向量共面向量定定義義 向量所在直線互相平向量所在直線互相平行或重合行或重合 平行于同一平面的向量平行于同一平面的向量,叫叫做共面向量做共面向量.定定理理推推論論運運用用, ,p a bpxayb 共共面面APAB OPmOAnOB (0)b / /R,abab ( ,)a b 不不共共線線

4、A, P, B三點三點共線共線APxAByAC OP OAAB (1)mn P, A, B,C四點四點共面共面OPxOAyOBzOC OPOA xAByAC (1)xyz (A, B, C三點不共線三點不共線)判斷三點共線判斷三點共線, ,或兩直線平行或兩直線平行 判斷四點共面判斷四點共面, ,或直線平行于平面或直線平行于平面2. 2. 空間向量的有關定理及推論空間向量的有關定理及推論1.1.數(shù)量積的定義：數(shù)量積的定義： cos|baba2.2.向量的夾角定義：向量的夾角定義： AOBbOBaOA則則,共共起起點點與與ba3.3.向量的垂直：向量的垂直：90ab 4.4.投影：投影： cos|

5、b.方方向向上上的的投投影影在在叫叫做做ab5.數(shù)量積的幾何意義：數(shù)量積的幾何意義：的方向上的投影的方向上的投影 的乘積的乘積. .數(shù)量積數(shù)量積 等于等于 的長度的長度 與與 在在 |cosb a b a |a b a 6.數(shù)量積的運算律：數(shù)量積的運算律：(1)(2)()()()(3)()a bb aaba bababca cb c (,)a b 設設是是兩兩個個非非零零向向量量(1)0;aba b 22(2)|aaa a 2|aaa a 7.7.數(shù)量積的主要性質數(shù)量積的主要性質: :(判斷兩個向量是否垂直判斷兩個向量是否垂直)(3)cos;| |a bab (4)| | |a bab (求兩

6、個向量的夾角求兩個向量的夾角)(向量不等式向量不等式)(求向量的長度求向量的長度(模模)的依據的依據)8.8.向量的直角坐標運算向量的直角坐標運算. .設設 , ,則則123123(,),( ,)aa a abb b b 112233(2)(,);abab ab ab 112233(1)(,);abab ab ab 123(3)(,)(R);aaaa 1 12233(4);a ba ba ba b 112233(5) / /,(R);abab ab ab 1 12233(6)0.aba ba ba b 222123(7)|;aa aaaa 1 12 23 3222222123123(8)cos

7、,;|a ba ba ba ba ba baaabbb 一個向量在直角坐標系中的坐標等于表示這個一個向量在直角坐標系中的坐標等于表示這個向量的有向線段的終點的坐標減去起點的坐標向量的有向線段的終點的坐標減去起點的坐標. .222111(,) (,)xy zx y zABOBOA 212121(9)(,).ABxx yy zz ( (1 10 0) )222212121|()()() .ABxxyyzz 設設 A(x1, y1, z1), B(x2, y2, z2), 那那么么M=(x,y,z),假設假設M是線段是線段AB的中點，的中點，121212(11),.222xxyyzzxyz8.8.向

8、量的直角坐標運算向量的直角坐標運算. .平面向量平面向量空間向量空間向量1122(,),(,)axybxy 平平面面向向量量的的坐坐標標運運算算：111222(,),(,)ax y zbxy z 空空間間向向量量的的坐坐標標運運算算：1212111212b(,);(,),;b.axxyyaxyRax xy y 222112221211121122(,), (,)(|(,);(,2),2)AA x yB x yABxx yyC x yABxxxyyxyyyBx 若若則則是是的的中中點點, ,則則121211112122121(,),b(,);.axyaxzRa bx xy yz zxyy zz

9、2222121111222212112121221|()()()(,), (,)(,);2( , )22A x y zB xy zABxx yyxxxyyC x yABABxxyyzzzyzz 若若則則是是的的中中點點，則則9. 9. 空間向量的坐標計算空間向量的坐標計算FEACBO1,OABCEFABOCOEBF 例例 . .正正四四面面體體， 、 分分別別是是、的的中中點點 求求異異面面直直線線、所所成成角角的的余余弦弦值值. .11()(2 )22OE BFabcb 解解: :設設棱棱長長為為1,c,OAa OBb OC 1(),2OEab 則則21(22)4a ca bb cb 1 1

10、11(12).4 222 a b c 11(2 ).22BFBOOCcb 33|,|.22OEBF 又又122cos,.33|4OE BFOE BFOEBF 所所以以，所所求求異異面面直直線線所所成成的的角角的的余余弦弦值值為為2.3可知可知 共面共面,又又 不共線不共線, 證證明明:EMNDENMD 21.33CDDE 3232AEDBDE 22()()33BCCDDEADDE CDDE 與與,MN CD DE , ,MNCDE 又又平平面面所以所以MN/平面平面CDE.ABCDEFNM例例3.在平行六面體在平行六面體AC1中，中，AB=AD, A1AD=A1AB= DAB=60. .(1)

11、求證：求證：AA1 BD;(2)當?shù)闹禐槎嗌贂r當?shù)闹禐槎嗌贂r,才能使才能使AC1平面平面A1BD.請證明請證明.證明證明:1,c,ABa ADb AA 設設1ABAA| | |,|c|,abmn 設設.BDBAADba 1c ()cc0,AA BDbaba 1.AABD 所所以以2,cc.22mmna bab 解解: :根根據據題題意意, ,要要使使面面11,ACA BD 而而1,A Bac 只只要要11,ACA B ()()0.acabc 1.ACabc 220aa b a c a c b c c 22211022mmmn n (32 )() 0mn m n 1111.ABACA BDAA 所所以以當當時時, ,平平面面C1D1B1CABDA1.m n 11ACA D . .11.ACA Dmn 同同理理由由, ,得得PBOCAPOPCCO PABO1)2POPAPB （D1)3POabc （23PCCD 21()32PCCACB BDAPCO1)4POPAPBPCPD （BACDEFCBCFFEEB 5,BC ,FC EB