202X年高中數(shù)學(xué)第四章定積分4.1定積分的概念課件4北師大版選修2_2

1、4.1 4.1 定積分的概念定積分的概念觀察以下演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，觀察以下演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系觀察以下演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，觀察以下演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系觀察以下演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，觀察以下演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系觀察以下演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，觀察以下演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系觀察以下演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)

2、時(shí)，觀察以下演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系觀察以下演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，觀察以下演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系觀察以下演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，觀察以下演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系觀察以下演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，觀察以下演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系觀察以下演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，觀察以下演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系矩

3、形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系觀察以下演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，觀察以下演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系觀察以下演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，觀察以下演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系觀察以下演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，觀察以下演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系觀察以下演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，觀察以下演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系求由連續(xù)曲線求由連續(xù)曲線y= =f(x)對(duì)應(yīng)

4、的對(duì)應(yīng)的曲邊梯形曲邊梯形面積的方法面積的方法 (2)取近似求和取近似求和:任取任取x xi xi- -1, xi，第，第i個(gè)小曲邊梯形的面積用個(gè)小曲邊梯形的面積用高為高為f(x xi)而寬為而寬為D Dx的小矩形面積的小矩形面積f(x xi)D Dx近似之。近似之。 (3)取極限取極限:，所求曲邊所求曲邊梯形的梯形的面積面積S為為 取取n個(gè)小矩形面積的和作為曲邊梯個(gè)小矩形面積的和作為曲邊梯形面積形面積S的近似值：的近似值：xiy=f(x)x yObaxi+1xixD1lim( )niniSfxx=D1( )niiSfxx=D (1)分割分割:在區(qū)間在區(qū)間0,1上等間隔地插入上等間隔地插入n-1

5、個(gè)點(diǎn)個(gè)點(diǎn),將它等分成將它等分成n個(gè)小區(qū)間個(gè)小區(qū)間: 每個(gè)小區(qū)間寬度每個(gè)小區(qū)間寬度xban-= 11211,iina xx xxxxb-一、定積分的定義一、定積分的定義 11( )( )nniiiibafxfnxx=-D =小矩形面積和S=如果當(dāng)如果當(dāng)n時(shí)，時(shí)，S 的無(wú)限接近某個(gè)常數(shù)，的無(wú)限接近某個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)為函數(shù)這個(gè)常數(shù)為函數(shù)f(x)在區(qū)間在區(qū)間a, b上的定積分，記作上的定積分，記作 ba (x)dx，即f (x)dx =f (x i)Dxi。 從求曲邊梯形面積從求曲邊梯形面積S的過(guò)程中可以看出的過(guò)程中可以看出,通過(guò)通過(guò)“四步曲四步曲:分割分割-近似代替近似代替-求和求和-取極限得到解決

6、取極限得到解決.1( )lim( )ninibaf x dxfnx=-=ba即定積分的定義：定積分的相關(guān)名稱：定積分的相關(guān)名稱： 叫做積分號(hào)，叫做積分號(hào)， f(x) 叫做被積函數(shù)，叫做被積函數(shù)， f(x)dx 叫做被積表達(dá)式，叫做被積表達(dá)式， x 叫做積分變量，叫做積分變量， a 叫做積分下限，叫做積分下限， b 叫做積分上限，叫做積分上限， a, b 叫做積分區(qū)間。叫做積分區(qū)間。1( )lim( )ninibaf x dxfnx=-=ba即Oabxy)(xfy = = = =baIdxxf)(iinixfD D = =)(lim10 x x 被積函數(shù)被積函數(shù)被積表達(dá)式被積表達(dá)式積分變量積分變

7、量積分下限積分下限積分上限積分上限 S=baf (x)dx； 按定積分的定義，有按定積分的定義，有 (1) (1) 由連續(xù)曲線由連續(xù)曲線y y= =f f( (x x) () (f f( (x x) ) 0) 0) ，直線，直線x x= =a a、x x= =b b及及x x軸所圍成的曲邊梯形的面積為軸所圍成的曲邊梯形的面積為 (2) (2) 設(shè)物體運(yùn)動(dòng)的速度設(shè)物體運(yùn)動(dòng)的速度v=v(t)v=v(t)，那么此物體在時(shí)間區(qū)，那么此物體在時(shí)間區(qū)間間a, ba, b內(nèi)運(yùn)動(dòng)的距離內(nèi)運(yùn)動(dòng)的距離s s為為 s=bav(t)dt。 定積分的定義：定積分的定義：Oab( )vv t=tv1( )lim( )ni

8、nibaf x dxfnx=-=ba即112001( )3Sf x dxx dx=根據(jù)定積分的定義右邊圖形的面積為1x yOf(x)=x213S =1SD2SD2( )2v tt= -+O Ov t t12gggggg3SDjSDnSD1n2n3njn1nn-4SD112005( )(2)3Sv t dttdt=-=根據(jù)定積分的定義左邊圖形的面積為baf(x)dx =f (t)dt =f(u)du。 說(shuō)明：說(shuō)明： (1) 定積分是一個(gè)數(shù)值定積分是一個(gè)數(shù)值, 它只與被積函數(shù)及積分區(qū)間有關(guān)，它只與被積函數(shù)及積分區(qū)間有關(guān)， 而與積分變量的記法無(wú)關(guān)，即而與積分變量的記法無(wú)關(guān)，即（2）定定義義中中區(qū)區(qū)間

9、間的的分分法法和和x xi的的取取法法是是任任意意的的. b ba af f( (x x) )dxdx = = b ba af f ( (x x) )dxdx - -(3)(3)(2)定積分的幾何意義：定積分的幾何意義：Ox yab y=f (x)baf (x)dx =f (x)dxf (x)dx。 x=a、x=b與 x軸所圍成的曲邊梯形的面積。 當(dāng) f(x)0 時(shí)，積分dxxfba)(在幾何上表示由 y=f (x)、 特別地，當(dāng) a=b 時(shí)，有baf (x)dx=0。 當(dāng)當(dāng)f(x) 0時(shí)，由時(shí)，由y= =f (x)、x= =a、x= =b 與與 x 軸所圍成的軸所圍成的曲邊梯形位于曲邊梯形位

10、于 x 軸的下方，軸的下方，x yOdxxfSba)(-=-，dxxfba)(ab y=f (x) y=-f (x)dxxfSba)(-=baf (x)dx =f (x)dxf (x)dx。 =-S上述曲邊梯形面積的負(fù)值。上述曲邊梯形面積的負(fù)值。 定積分的幾何意義：定積分的幾何意義：積分 b ba af f ( (x x) )d dx x 在在幾幾何何上上表表示示 b ba af f ( (x x) )d dx x = =f f ( (x x) )d dx x f f ( (x x) )d dx x。 =-=-S Sab y=f (x)Ox y( )yg x=探究探究:根據(jù)定積分的幾何意義根據(jù)

11、定積分的幾何意義,如何用定積分如何用定積分表示圖中陰影局部的面積表示圖中陰影局部的面積?ab y=f (x)Ox y1()baSfx dx=( )yg x=12( )( )bbaaS S Sf xdxg xdx= -=-2( )baSg x dx=三三: 定積分的根本性質(zhì)定積分的根本性質(zhì) 性質(zhì)性質(zhì)1. 1. dx)x(g)x(fba = =babadx)x(gdx)x(f性質(zhì)性質(zhì)2. 2. badx)x(kf = =badx)x(fk三三: 定積分的根本性質(zhì)定積分的根本性質(zhì) 定積分關(guān)于積分區(qū)間具有定積分關(guān)于積分區(qū)間具有可加性可加性 = =bccabadx)x(fdx)x(fdx)x(f 性質(zhì)性質(zhì)3. 3. = =2121 ccbccabadx)x(fdx)x(fdx)x(fd