202X年高中數(shù)學(xué)第五章數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入5.1.2復(fù)數(shù)的有關(guān)概念課件5北師大版選修2_2

1、 x+1=0無解無解3x-2=0無解無解x2-2=0無解無解NZQRx2=-1擴(kuò)大原那么：擴(kuò)大原那么：“添加新數(shù)，原數(shù)集是新數(shù)集的真子集；添加新數(shù)，原數(shù)集是新數(shù)集的真子集；在新數(shù)集中，原有的運(yùn)算及其性質(zhì)仍然成立在新數(shù)集中，原有的運(yùn)算及其性質(zhì)仍然成立.-1232？自然數(shù)自然數(shù)整數(shù)整數(shù)有理數(shù)有理數(shù)實(shí)數(shù)實(shí)數(shù)？NZQR對于一元二次方程對于一元二次方程 沒有實(shí)數(shù)根沒有實(shí)數(shù)根012 x12 x引入一個(gè)新數(shù)引入一個(gè)新數(shù) ， 叫做叫做虛數(shù)單位虛數(shù)單位，并規(guī)定：，并規(guī)定： ii（1 1）它的平方等于它的平方等于1 1，即，即12 i虛數(shù)單位虛數(shù)單位2 2實(shí)數(shù)可以與它進(jìn)展四那么運(yùn)算，進(jìn)展四實(shí)數(shù)可以與它進(jìn)展四那么運(yùn)

2、算，進(jìn)展四那么運(yùn)算時(shí)，原有的加、乘運(yùn)算律仍然成立那么運(yùn)算時(shí)，原有的加、乘運(yùn)算律仍然成立 為了解決負(fù)數(shù)開方問題為了解決負(fù)數(shù)開方問題，即：將實(shí)數(shù)即：將實(shí)數(shù)a和數(shù)和數(shù)i相加記為相加記為: a+i； 把實(shí)數(shù)把實(shí)數(shù)b與數(shù)與數(shù)i相乘記作相乘記作: bi； 將它們的和記作將它們的和記作: a+bi (a,bR), 1545年卡爾丹在解方程的過程中第一次大膽使用了負(fù)數(shù)年卡爾丹在解方程的過程中第一次大膽使用了負(fù)數(shù)平方根的概念，當(dāng)時(shí)被他稱作平方根的概念，當(dāng)時(shí)被他稱作“狡辯量。狡辯量。 1637年法國數(shù)學(xué)家笛卡爾率先提出年法國數(shù)學(xué)家笛卡爾率先提出“虛數(shù)這個(gè)詞，并虛數(shù)這個(gè)詞，并在很多方面得到了應(yīng)用，在很多方面得到了應(yīng)

3、用，“虛數(shù)被證明虛數(shù)被證明“不虛了。不虛了。 1777年著名的數(shù)學(xué)家歐拉首次用表示年著名的數(shù)學(xué)家歐拉首次用表示 -1 的平方根，的平方根，只是存在于只是存在于“夢想之中，并用夢想之中，并用 imaginary，即虛幻，即虛幻的縮寫來表示它的單位的縮寫來表示它的單位. 1801年，高斯系統(tǒng)地使用這個(gè)符號，才使年，高斯系統(tǒng)地使用這個(gè)符號，才使i通行于世。通行于世。復(fù)數(shù)全體所組成的集合叫復(fù)數(shù)全體所組成的集合叫復(fù)數(shù)集復(fù)數(shù)集, ,用字母用字母C表示表示1.復(fù)數(shù)：把形如把形如 a+bi (a,bR)的數(shù)叫的數(shù)叫復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)i 叫做叫做 虛數(shù)單位虛數(shù)單位(imaginary unit)R,|babiazzC其中

4、一一.復(fù)數(shù)的有關(guān)概念復(fù)數(shù)的有關(guān)概念虛部實(shí)部用用z表示復(fù)數(shù)表示復(fù)數(shù), 即即z = a + bi (a,bR) 叫做叫做復(fù)數(shù)的復(fù)數(shù)的代數(shù)形式代數(shù)形式2.復(fù)數(shù)的代數(shù)形式：規(guī)定規(guī)定: 0i=0,0+bi=bi3.兩個(gè)復(fù)數(shù)相等有兩個(gè)復(fù)數(shù)Z1=a+bi (a,b R)和Z2=c+di(c,d R) a+bi =c+dia=c且b=d注意1、假設(shè)Z1,Z2均為實(shí)數(shù),那么Z1,Z2具有大小關(guān)系2、假設(shè)Z1,Z2中不都為實(shí)數(shù)，Z1與Z2只有相等或不相等兩關(guān)系，而不能比較大小4.復(fù)數(shù)的分類：復(fù)數(shù)z=a+bi (a,bR)條件數(shù)的類型R C實(shí)數(shù)集R是復(fù)數(shù)集C的真子集，虛數(shù)b0純虛數(shù)a=0且b0實(shí)數(shù)0a=b=0實(shí)數(shù)b

5、=0復(fù)數(shù)z=a+bi (a,bR)實(shí)數(shù) (b=0)虛數(shù)(b0)純虛數(shù)(a=0)非純虛數(shù)(a0)N Z Q R CNZQR思考思考C C1.數(shù)集數(shù)集N，Z，Q，R，C的關(guān)系是怎樣的？的關(guān)系是怎樣的？復(fù)數(shù)集實(shí)數(shù)集虛數(shù)集純虛數(shù)集2.復(fù)數(shù)集，實(shí)數(shù)集，虛數(shù)集，純虛數(shù)集之間關(guān)系NZQR自然數(shù)集自然數(shù)集整數(shù)集整數(shù)集無理數(shù)集無理數(shù)集實(shí)數(shù)集實(shí)數(shù)集負(fù)整數(shù)負(fù)整數(shù)分分 數(shù)數(shù)負(fù)整數(shù)負(fù)整數(shù)無理數(shù)無理數(shù)分分 數(shù)數(shù)復(fù)數(shù)集復(fù)數(shù)集虛虛 數(shù)數(shù)無理數(shù)無理數(shù)C?回憶反思回憶反思1.說明以下數(shù)是否是虛數(shù)，并說明各數(shù)的實(shí)部與虛部31i 31i71i 2i )1 (01iii )32(i2練習(xí)練習(xí):2.有以下命題：1假設(shè)a、b為實(shí)數(shù)，那么

6、z=a+bi 為虛數(shù)2假設(shè)b為實(shí)數(shù)，那么 z=bi 必為純虛數(shù)3假設(shè)a為實(shí)數(shù)，那么 z= a 一定不是虛數(shù)其中真命題的個(gè)數(shù)為 A0 B1 C2 D3B例例1 1：實(shí)數(shù)：實(shí)數(shù)m m取什么值時(shí)，復(fù)數(shù)取什么值時(shí)，復(fù)數(shù) 是是（1 1）實(shí)數(shù)？）實(shí)數(shù)？ （2 2）虛數(shù)？）虛數(shù)？ （3 3）純虛數(shù)？）純虛數(shù)？immz)1(1 解解：（：（1 1）當(dāng)當(dāng) ，即，即 時(shí)，復(fù)數(shù)時(shí)，復(fù)數(shù)z z是實(shí)數(shù)是實(shí)數(shù)01 m1m （2 2）當(dāng)當(dāng) ，即，即 時(shí)，復(fù)數(shù)時(shí)，復(fù)數(shù)z z是虛數(shù)是虛數(shù)01 m1 m（3 3）當(dāng)當(dāng) ，且，且 ，即，即 時(shí)，時(shí)，復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)z z 是是純虛數(shù)純虛數(shù)01 m01 m1m 新授課新授課分析在此題是復(fù)數(shù)的

7、標(biāo)準(zhǔn)形式下，即zabi(a，bR)，根據(jù)復(fù)數(shù)的概念，只要對實(shí)部和虛局部別計(jì)算，總體整合即可點(diǎn)評判斷一個(gè)含有參數(shù)的復(fù)數(shù)在什么情況下是實(shí)數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)，首先要保證參數(shù)值有意義，如果忽略了實(shí)部是含參數(shù)的分式中的分母m30，就會釀成根本性的錯誤，其次對參數(shù)值的取舍，是取“并還是“交，非常關(guān)鍵，多與少都是不對的，解答后進(jìn)展驗(yàn)算是很有必要的對于復(fù)數(shù)zabi(a，bR)，既要從整體的角度去認(rèn)識它，把復(fù)數(shù)z看成一個(gè)整體，又要從實(shí)部與虛部的角度分解成兩局部去認(rèn)識它這是解復(fù)數(shù)問題的重要思路之一(1)以下命題中假命題是()A自然數(shù)集是非負(fù)整數(shù)集B實(shí)數(shù)集與復(fù)數(shù)集交集為實(shí)數(shù)集C實(shí)數(shù)集與虛數(shù)集交集是0D純虛數(shù)集與實(shí)數(shù)集

8、交集為空集答案C解析復(fù)數(shù)可分為實(shí)數(shù)和虛數(shù)兩大局部，虛數(shù)中含有純虛數(shù)，因此，實(shí)數(shù)集與虛數(shù)集沒有公共元素，C是假命題應(yīng)選C.變式練習(xí)：變式練習(xí)：(2)a、bR，那么ab是(ab)(ab)i為純虛數(shù)的()A充要條件B充分不必要條件C必要不充分條件D既不充分也不必要條件答案C解析當(dāng)ab0時(shí)，此復(fù)數(shù)為0是實(shí)數(shù)，故A、B不正確；*Znni424ni34ni14ni1-1iiB新授課新授課例例2 2 已知已知 ，其中，其中 ，求求iyyix)3()12( Ryx ,. yx與與解：由復(fù)數(shù)相等的定義，得方程組解：由復(fù)數(shù)相等的定義，得方程組 )3(112yyx解得解得4,25 yx說明說明: :實(shí)數(shù)問題實(shí)數(shù)問題

9、復(fù)數(shù)問題復(fù)數(shù)問題轉(zhuǎn)轉(zhuǎn) 化化點(diǎn)評(1)復(fù)數(shù)相等的條件，是求復(fù)數(shù)值及在復(fù)數(shù)集內(nèi)解方程的重要依據(jù)(2)根據(jù)復(fù)數(shù)相等的定義可知，在ac，bd中，只要有一個(gè)不成立，那么abicdi.所以，一般地，兩個(gè)復(fù)數(shù)只有說相等或不相等，而不能比較大小，例如，1i和35i不能比較大小(1)x2y22xyi2i，求實(shí)數(shù)x、y的值(2)復(fù)數(shù)zk23k(k25k6)i(kR)，且z0，求k的值變式練習(xí)：變式練習(xí)：附表一：復(fù)數(shù)與實(shí)數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)及0的關(guān)系： 附表二附表二：課堂練習(xí)：課堂練習(xí)： 1.設(shè)集合設(shè)集合C=復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)，A=實(shí)數(shù)，實(shí)數(shù)，B=純虛數(shù)，假設(shè)全集純虛數(shù)，假設(shè)全集S=C，那么以下結(jié)論，那么以下結(jié)論正確的選項(xiàng)是正

10、確的選項(xiàng)是( )A.AB=C B. A=B C.AB= D.BB=C2.復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)(2x2+5x+2)+(x2+x2)i為虛數(shù)，那么為虛數(shù)，那么實(shí)數(shù)實(shí)數(shù)x滿足滿足( )A.x= B.x=2或或 C.x2 D.x1且且x221213.集合M=1，2，(m23m1)+(m25m6)i，集合P=1，3.MP=3，那么實(shí)數(shù)m的值為( )A.1 B.1或或14.滿足方程x22x3+(9y26y+1)i=0的實(shí)數(shù)對(x，y)表示的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是_.5.復(fù)數(shù)z=a+bi，z=c+di(a、b、c、dR)，那么z=z的充要條件是_.6.設(shè)復(fù)數(shù)z=log2(m23m3)+ilog2(3m)(mR)，如果z是純虛數(shù)，求

11、m的值.7.假設(shè)方程x2+(m+2i)x+(2+mi)=0至少有一個(gè)實(shí)數(shù)根，試求實(shí)數(shù)m的值.8.mR，復(fù)數(shù)z= +(m2+2m3)i，當(dāng)m為何值時(shí)， (1)zR; (2)z是虛數(shù)；(3)z是純虛數(shù)；(4)z= +4i.1)2(mmm21 自然數(shù)概念可溯源于原始人類用匹配方法計(jì)數(shù)。自然數(shù)概念可溯源于原始人類用匹配方法計(jì)數(shù)。古希臘人用小石卵記畜群的頭數(shù)或部落的人數(shù)古希臘人用小石卵記畜群的頭數(shù)或部落的人數(shù) 。 英文英文calculatecalculate計(jì)算一詞是從希臘文計(jì)算一詞是從希臘文calculus calculus 石卵演變來的。中國古藉石卵演變來的。中國古藉? ?易系辭易系辭? ?中說：上

12、中說：上古結(jié)繩而治，后世圣人易之以書契。古結(jié)繩而治，后世圣人易之以書契。 直至直至18891889年，皮亞諾才建立自然數(shù)序數(shù)理論。年，皮亞諾才建立自然數(shù)序數(shù)理論。 自然數(shù)自然數(shù) 零不僅表示無，更是表示空位的符號。中國古代用算零不僅表示無，更是表示空位的符號。中國古代用算籌計(jì)算數(shù)并進(jìn)展運(yùn)算時(shí)，空位不放算籌，雖無空籌計(jì)算數(shù)并進(jìn)展運(yùn)算時(shí)，空位不放算籌，雖無空 位記號，但位記號，但仍能為位值記數(shù)與四那么運(yùn)算創(chuàng)造良好的條件。印度阿拉伯仍能為位值記數(shù)與四那么運(yùn)算創(chuàng)造良好的條件。印度阿拉伯命數(shù)法中的零命數(shù)法中的零zerozero來自印度的來自印度的sunya sunya 字，其原意也是字，其原意也是空或空白

13、。空或空白。 中國最早引進(jìn)了負(fù)數(shù)。中國最早引進(jìn)了負(fù)數(shù)。? ?九章算術(shù)方程九章算術(shù)方程? ?中論述的正負(fù)中論述的正負(fù)數(shù)，就是整數(shù)的加減法。減法的需要也促進(jìn)數(shù)，就是整數(shù)的加減法。減法的需要也促進(jìn) 了負(fù)整數(shù)的引了負(fù)整數(shù)的引入。減法運(yùn)算可看作求解方程入。減法運(yùn)算可看作求解方程a+x=ba+x=b，如果，如果a a，b b是自然數(shù)，那是自然數(shù)，那么所給方程未必有自然數(shù)解。為了使它恒有解，就有必要把自么所給方程未必有自然數(shù)解。為了使它恒有解，就有必要把自然數(shù)系擴(kuò)大為整數(shù)系。然數(shù)系擴(kuò)大為整數(shù)系。 整數(shù)整數(shù)分分 數(shù)數(shù) 原始的分?jǐn)?shù)概念來源于對量的分割。如原始的分?jǐn)?shù)概念來源于對量的分割。如? ?說說文文八部八部?

14、 ?對對“分的解釋：分的解釋：“分，別也。從八從刀，分，別也。從八從刀，刀以分別物也。但是，刀以分別物也。但是，? ?九章算術(shù)九章算術(shù)? ?中的分?jǐn)?shù)是從中的分?jǐn)?shù)是從除法運(yùn)算引入的。其除法運(yùn)算引入的。其“合分術(shù)有云：合分術(shù)有云：“實(shí)如法而實(shí)如法而一。不滿法者，以法命之。這句話的今譯是：被一。不滿法者，以法命之。這句話的今譯是：被除數(shù)除以除數(shù)。如果不能除盡，便定義了一個(gè)分?jǐn)?shù)。除數(shù)除以除數(shù)。如果不能除盡，便定義了一個(gè)分?jǐn)?shù)。 古埃及人約于公元前古埃及人約于公元前1717世紀(jì)已使用分?jǐn)?shù)。世紀(jì)已使用分?jǐn)?shù)。 為表示各種幾何量例如長度、面積、體積與物為表示各種幾何量例如長度、面積、體積與物理量例如速率、力的大

15、小，人類很早已發(fā)現(xiàn)有必要理量例如速率、力的大小，人類很早已發(fā)現(xiàn)有必要 引進(jìn)無理數(shù)。約在公元前引進(jìn)無理數(shù)。約在公元前530530，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派道邊長為，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派道邊長為1 1的正方形的對角線的長度即的正方形的對角線的長度即 不能是有理數(shù)。不能是有理數(shù)。 15 15世紀(jì)達(dá)芬奇世紀(jì)達(dá)芬奇Leonardo da Vinci, 1452- 1519Leonardo da Vinci, 1452- 1519 把它們稱為是把它們稱為是“無理的數(shù)無理的數(shù)irrational numberirrational number，開，開普勒普勒J(rèn). Kepler, 1571- 1630J. Kepler, 1

16、571- 1630稱它們是稱它們是“不可名狀不可名狀的數(shù)。的數(shù)。 法國數(shù)學(xué)家柯西法國數(shù)學(xué)家柯西A.Cauchy,1789- 1875A.Cauchy,1789- 1875給出了答給出了答復(fù)：無理數(shù)是有理數(shù)序列的極限。復(fù)：無理數(shù)是有理數(shù)序列的極限。 由于有理數(shù)可表示成有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)，人由于有理數(shù)可表示成有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)，人們想到用們想到用“無限不循環(huán)小數(shù)來定義無理數(shù)，這也是直無限不循環(huán)小數(shù)來定義無理數(shù)，這也是直至至1919世紀(jì)中葉以前的實(shí)際做法。世紀(jì)中葉以前的實(shí)際做法。 2無理數(shù)無理數(shù) 實(shí)數(shù)系的邏輯根底直到實(shí)數(shù)系的邏輯根底直到1919世紀(jì)世紀(jì)7070年代才得以奠年代才得以奠定。從定

17、。從1919世紀(jì)世紀(jì)2020年代肇始的數(shù)學(xué)分析嚴(yán)密化潮流，年代肇始的數(shù)學(xué)分析嚴(yán)密化潮流，使得數(shù)學(xué)使得數(shù)學(xué) 家們認(rèn)識到必須建立嚴(yán)格的實(shí)數(shù)理論，尤家們認(rèn)識到必須建立嚴(yán)格的實(shí)數(shù)理論，尤其是關(guān)于實(shí)數(shù)系的連續(xù)性的理論。在這方面，外爾其是關(guān)于實(shí)數(shù)系的連續(xù)性的理論。在這方面，外爾斯特拉斯斯特拉斯18591859年年 開場、梅雷開場、梅雷18691869、戴德金、戴德金18721872與康托爾與康托爾1872 1872 作出了出色的奉獻(xiàn)。作出了出色的奉獻(xiàn)。 實(shí)數(shù)實(shí)數(shù)復(fù)數(shù)復(fù)數(shù) 從從1616世紀(jì)開場，解高于一次的方程的需要導(dǎo)致復(fù)世紀(jì)開場，解高于一次的方程的需要導(dǎo)致復(fù)數(shù)概念的形式。用配方法解一元二次方程就會遇到負(fù)數(shù)

18、概念的形式。用配方法解一元二次方程就會遇到負(fù)數(shù)開平方的問題?？栠_(dá)諾在數(shù)開平方的問題?？栠_(dá)諾在? ?大法大法? ?15451545中闡述中闡述一元三次方程解法時(shí)，發(fā)現(xiàn)難以防止復(fù)數(shù)。關(guān)于復(fù)數(shù)一元三次方程解法時(shí)，發(fā)現(xiàn)難以防止復(fù)數(shù)。關(guān)于復(fù)數(shù)及其代及其代 數(shù)運(yùn)算的幾何表示，是數(shù)運(yùn)算的幾何表示，是1818世紀(jì)末到世紀(jì)末到1919世紀(jì)世紀(jì)3030年代由韋塞爾、阿爾根和高斯等人建立的。年代由韋塞爾、阿爾根和高斯等人建立的。 哈密頓認(rèn)真地研究了從實(shí)數(shù)擴(kuò)張到復(fù)數(shù)的過程。哈密頓認(rèn)真地研究了從實(shí)數(shù)擴(kuò)張到復(fù)數(shù)的過程。他于他于18431843年提出了四元數(shù)的概念，其后不久，凱年提出了四元數(shù)的概念，其后不久，凱萊又萊又 用四元數(shù)的有序?qū)Χx了八元數(shù)