材料力學知識點

1、第六章彎曲變形知識要點1、 彎曲變形的概念 1）、撓曲線 彎曲變形后梁的軸線變?yōu)閾锨€。平面彎曲時，撓曲線為外力作用平面內(nèi)的平面曲線。 2）、平面彎曲時的變形 在小變形情況下，梁的任意二橫截面繞各自的中性軸作相對轉(zhuǎn)動，桿件的軸線變?yōu)槠矫媲€，其變形程度以撓曲線的曲率來度量。 1 純彎曲時，彎矩曲率的關(guān)系 （由上式看出，若彎曲剛度EI為常數(shù)則曲率為常數(shù)，即撓曲線為圓弧線）2 橫力彎曲時，彎矩曲率的關(guān)系 3）、平面彎曲時的位移 1撓度橫截面形心在垂直于梁軸線方向上的線位移，以表示。2轉(zhuǎn)角橫截面繞其中性軸旋轉(zhuǎn)的角位移，以表示。 撓度和轉(zhuǎn)角的正負號由所選坐標系的正方向來確定。沿y軸正方向的撓度為正。轉(zhuǎn)

2、角的正負號判定規(guī)則為，將x軸繞原點旋轉(zhuǎn)90°而與y軸重合，若轉(zhuǎn)角與它的轉(zhuǎn)向相同，則為正，反之為負。 4）、撓曲線近似微分方程 5）、受彎曲構(gòu)件的剛度條件 ，2、 積分法求梁的撓度和轉(zhuǎn)角 由 積分常數(shù)C、D由邊界條件和連續(xù)性條件確定。對于梁上有突變載荷（集中力、集中力偶、間斷性分布力）的情況，梁的彎矩M(x)不是光滑連續(xù)函數(shù)，應用上式時，應分段積分，每分一段就多出現(xiàn)兩個積分常數(shù)。因此除了用邊界條件外，還要用連續(xù)性條件確定所有的積分常數(shù)。 邊界條件：支座對梁的位移（撓度和轉(zhuǎn)角）的約束條件。 連續(xù)條件：撓曲線的光滑連續(xù)條件。 懸臂梁 邊界條件：固定端撓度為0，轉(zhuǎn)角為0連續(xù)條件：在載荷分界處

3、（控制截面處）左右兩邊撓度相等，轉(zhuǎn)角相等 簡支梁 邊界條件：固定絞支座或滑動絞支座處撓度為0 連續(xù)條件：在載荷分界處（控制截面處）左右兩邊撓度相等，轉(zhuǎn)角相等 連接鉸鏈處，左右兩端撓度相等，轉(zhuǎn)角不等3、 疊加原理求梁的撓度和轉(zhuǎn)角 1）、疊加原理 各載荷同時作用下梁任一截面的撓度和轉(zhuǎn)角等于各個載荷單獨作用時同一截面撓度和轉(zhuǎn)角的代數(shù)和。 2）、疊加原理的限制 疊加原理要求梁某個截面的撓度和轉(zhuǎn)角與該截面的彎矩成線性關(guān)系，因此要求：1 彎矩M和曲率成線性關(guān)系，這就要求材料是線彈性材料2 曲率與撓度成線性關(guān)系，這就要求梁變形為小變形4、 彎曲時的超靜定問題超靜定梁 1）、超靜定梁 約束反力數(shù)目多于可應用的

4、獨立的靜力平衡方程數(shù)的梁稱為超靜定梁，它的未知力不能用靜力平衡方程完全確定，必須由變形相容條件和力與變形間的物理關(guān)系建立補充方程，然后聯(lián)立靜力平衡方程與補充方程，求解所有的未知數(shù)。 2）、求解簡單超靜定梁的變形比較法 1多與約束超靜定梁中多于維持其靜力平衡所必須的約束2基本系統(tǒng)超靜定梁解除多余約束后的靜定系統(tǒng)3 解題步驟：a、 選擇多余約束，確定基本系統(tǒng)，并以相應于多余約束的反力作為基本系統(tǒng)的未知外力b、 比較基本系統(tǒng)與超靜定梁在多余約束處的變形，應用疊加原理列出變形相容方程c、 應用彎曲變形表寫出力變形間的物理關(guān)系，代入變形相容方程得到補充方程，由補充方程求解相應于多余約束的未知反力。d、

5、由靜力平衡方程求解其余的約束反力。第五章彎曲應力1、 梁的正應力、正應力強度條件 1）、中性層與中性軸 1中性層彎曲變形時，梁內(nèi)有一層縱向纖維，既不伸長也不縮短，因而他們不受拉應力或壓應力，該纖維層稱為梁的中性層。 2中性軸中性層與橫截面的交線（即橫截面上正應力為0的各點的連線） 3中性軸的位置在彈性范圍內(nèi)、平面彎曲的梁上，其中性軸通過截面的形心，且與載荷作用面垂直。 2）、梁軸線的曲率與彎矩間的關(guān)系 由此可得，在純彎曲等直梁上，各點處的曲率相等，故軸線應該是一條圓弧線，且長度不變（軸線即各橫截面形心的連線，均處于中性軸上） 3）、梁橫截面上的正應力 1分布規(guī)律任一點正應力的大小與該點至中性軸

6、的垂直距離成正比，中性軸的一側(cè)為拉應力，另一側(cè)為壓應力。 2計算公式： ， 對于純彎曲梁，上式為精確解，對于橫力彎曲，上式為近似解（細長梁也即軸向長度L與縱向長度h的比值大于等于5時，誤差約為2%） 4）、梁的正應力強度條件 強度計算三類問題： 1強度校核 注意：找準危險截面 。最大彎矩處或最小的抗彎截面系數(shù)處也即最小截面處，另外注意臺階軸的截面突變處需要校核2截面設計 ， 已知最大彎矩值和許用正應力值，求得最小的抗彎截面系數(shù)，再由WZ計算出最小截面尺寸3許用載荷計算 ，已知截面形狀和許用正應力計算出最大彎矩，再由最大彎矩計算出許用載荷2、 梁的切應力、切應力強度條件（一般機械設計中不考慮切應

7、力強度計算） 1）、矩形截面梁的切應力 1分布規(guī)律切應力方向與剪切力方向平行，其大小沿截面寬度均勻今年分不，沿高度成拋物線變化。 2計算公式 2）、工字型截面梁的切應力 1分布規(guī)律鉛垂方向的切應力的分布規(guī)律與矩形截面相同。 2計算公式： 腹板部分： 注意：a、翼緣部分，鉛垂方向的切應力很小，主要為水平方向切應力 b、鉛垂方向的切應力主要由腹板承受（為95%97%），且腹板上最大切應力和最小切應力相差不大。故工字型截面上的最大切應力近似為: 3）、圓形截面梁的最大切應力 1、切應力分布假設截面上同高度各點的切應力作用線匯交于一點，其鉛垂分量沿截面寬度均勻分布，沿高度按拋物線規(guī)律變化。 2、最大切

8、應力公式： 4）、梁的切應力強度條件：3、 受彎桿件強度問題的說明1）、對于細長桿而言，由彎矩產(chǎn)生的正應力是主要的，剪力產(chǎn)生的切應力是次要的。故只需要考慮正應力強度即可。但當構(gòu)件較粗短，剪力較大而彎矩較小時，或在薄壁截面梁中，應核算切應力強度。 2）、最大正應力發(fā)生在彎矩最大的截面的上下邊緣處，該處切應力為0（單向應力狀態(tài)）；最大切應力發(fā)生在剪力最大的截面的中性軸上，該處正應力為0（平面應力狀態(tài)）。對于其他既有正應力又有切應力的點，計算強度時應該計算出該點的主應力并應用強度理論進行核算。（與第七章結(jié)合）彎曲應力知識要點1、 梁的正應力、正應力強度條件 1）、中性層與中性軸 1中性層彎曲變形時，

9、梁內(nèi)有一層縱向纖維，既不伸長也不縮短，因而他們不受拉應力或壓應力，該纖維層稱為梁的中性層。 2中性軸中性層與橫截面的交線（即橫截面上正應力為0的各點的連線） 3中性軸的位置在彈性范圍內(nèi)、平面彎曲的梁上，其中性軸通過截面的形心，且與載荷作用面垂直。 2）、梁軸線的曲率與彎矩間的關(guān)系 由此可得，在純彎曲等直梁上，各點處的曲率相等，故軸線應該是一條圓弧線，且長度不變（軸線即各橫截面形心的連線，均處于中性軸上） 3）、梁橫截面上的正應力 1分布規(guī)律任一點正應力的大小與該點至中性軸的垂直距離成正比，中性軸的一側(cè)為拉應力，另一側(cè)為壓應力。 2計算公式：對于純彎曲梁，上式為精確解，對于橫力彎曲，上式為近似解

10、（細長梁也即軸向長度L與縱向長度h的比值大于等于5時，誤差約為2%） 4）、梁的正應力強度條件 強度計算三類問題： 1強度校核 注意：找準危險截面 。最大彎矩處或最小的抗彎截面系數(shù)處也即最小截面處，另外注意臺階軸的截面突變處需要校核2截面設計 ， 已知最大彎矩值和許用正應力值，求得最小的抗彎截面系數(shù)，再由WZ計算出最小截面尺寸3許用載荷計算 ，已知截面形狀和許用正應力計算出最大彎矩，再由最大彎矩計算出許用載荷2、 梁的切應力、切應力強度條件（一般機械設計中不考慮切應力強度計算） 1）、矩形截面梁的切應力 1分布規(guī)律切應力方向與剪切力方向平行，其大小沿截面寬度均勻今年分不，沿高度成拋物線變化。

11、2計算公式 2）、工字型截面梁的切應力 1分布規(guī)律鉛垂方向的切應力的分布規(guī)律與矩形截面相同。 2計算公式： 腹板部分： 注意：a、翼緣部分，鉛垂方向的切應力很小，主要為水平方向切應力 b、鉛垂方向的切應力主要由腹板承受（為95%97%），且腹板上最大切應力和最小切應力相差不大。故工字型截面上的最大切應力近似為 3）、圓形截面梁的最大切應力 1、切應力分布假設截面上同高度各點的切應力作用線匯交于一點，其鉛垂分量沿截面寬度均勻分布，沿高度按拋物線規(guī)律變化。 2、最大切應力公式： 4）、梁的切應力強度條件：3、 受彎桿件強度問題的說明1）、對于細長桿而言，由彎矩產(chǎn)生的正應力是主要的，剪力產(chǎn)生的切應力

12、是次要的。故只需要考慮正應力強度即可。但當構(gòu)件較粗短，剪力較大而彎矩較小時，或在薄壁截面梁中，應核算切應力強度。 2）、最大正應力發(fā)生在彎矩最大的截面的上下邊緣處，該處切應力為0（單向應力狀態(tài)）；最大切應力發(fā)生在剪力最大的截面的中性軸上，該處正應力為0（平面應力狀態(tài)）。對于其他既有正應力又有切應力的點，計算強度時應該計算出該點的主應力并應用強度理論進行核算。（與第七章結(jié)合）第二章知識要點1、軸向拉伸與壓縮的概念和實例受力特點和變形特點 作用在桿件上的外力合力的作用線與桿件軸線重合。桿件變形是沿軸線方向的伸長或縮短。2、軸向拉伸或壓縮時橫截面上的內(nèi)力和應力1）、求內(nèi)力方法：截面法2）軸力：截面上

13、的內(nèi)力。（由于外力（或外力合力的）作用線與桿件的軸線重合，故由平衡方程，內(nèi)力的作用線也與桿件軸線重合。所以稱為軸力）3）、軸力的符號：拉為正，壓為負4）、軸力圖：軸力沿桿件軸線的變化桿件的強度不僅與軸力有關(guān)，還與橫截面積有關(guān)，必須用應力來比較和判斷桿件的強度3、軸向拉伸（壓縮）時橫截面上的應力 1）、應力定義：由外力作用所引起的內(nèi)力密度 2）、應力的特征：應力定義在物體的假想平面或邊界上的一點處；量綱位單位面積的力，應力的單位為或記作Pa（因為數(shù)值一般比較大，所以多用MPa作單位） 3）、軸向拉伸（壓縮）時橫截面上的應力 分布規(guī)律：對等截面直桿，正應力在整個截面上均勻分布。 推導方法：基于兩個

14、假設。（連續(xù)性假設、平面假設） 計算公式：4、軸向拉伸（壓縮）時，斜截面上的應力可與第七章結(jié)合學習 1）、斜截面上的應力 正應力，切應力 2）、最大、最小應力 最大正應力出現(xiàn)在橫截面上 最小正應力出現(xiàn)在與橫截面垂直的面上，最大切應力出現(xiàn)在與橫截面成45°角的斜截面上 最小切應力出現(xiàn)在橫截面上，切應力為0軸向拉伸（壓縮）時，應力狀態(tài)為單向應力狀態(tài)，主應力單元為包含橫截面的單元體。5、軸向拉伸（壓縮）時的強度 1）低碳鋼的靜拉伸試驗 1彈性變形和塑性變形a、 彈性變形：解除外力后能完全消失的變形b、 塑性變形：解除外力后不能消失的永久變形2變形的四個階段 彈性變形階段；屈服階段；強化階段

15、；（頸縮階段）局部變形階段。3力學性能指標a、 強度指標比例極限應力和應變成正比的最高應力值彈性極限只產(chǎn)生彈性變形的最高應力值比例極限和彈性極限是彈性變形階段的兩個重要強度指標 屈服極限應力變化不大，應變顯著增加時的最低應力值 強度極限材料在斷裂前所能承受的最高應力值b、 彈性指標：彈性模量 ， 單位為Mpac、 塑性指標：斷后伸長率（延伸率） 斷面收縮率 d、 冷作硬化：材料經(jīng)過預拉伸至強化階段，卸載后，再受力時，呈現(xiàn)比例極限提高，塑性降低到現(xiàn)象。 2）、軸向拉伸（壓縮）時的強度條件 構(gòu)件最大應力不得超過材料的許用應力 許用應力是材料容許承受的最大工作應力 ， n為大于等于1的系數(shù) 3）、強

16、度計算的三類問題 1 強度校核 已知內(nèi)力、桿件的形狀（橫截面積）、許用應力 2 截面設計 已知內(nèi)力、許用應力，求橫截面積的最小值 3 許用載荷計算 已知許用應力、橫截面積，求許用的最大載荷6、軸向拉伸（壓縮）時的變形與位移 1）、變形的定義 受力物體形狀改變時，兩點之間線距離（線變形）或二正交線段之間夾角的改變（角變形）。變形是絕對的。 線變形對應正應力，角變形對應切應力。 2）、軸向拉壓時的變形 1縱向變形 2縱向應變 3胡克定律 或 胡克定律的適用條件：a、 應力不超過材料的比例極限，即材料處于彈性范圍；b、 在計算縱向變形的長度L范圍內(nèi)，軸力、彈性模量E、橫截面積A均為常數(shù)。 4橫向應變

17、 5橫向應變 6泊松比 ，橫向應變除以縱向應變，量綱為1，即為無量綱量 因縱向伸長后橫向必定縮短，所以橫向應變和縱向應變的關(guān)系可寫成如下公式 （泊松比前有負號） 和彈性模量E一樣，泊松比也是材料固有的彈性常數(shù)。 3）、位移的定義 受力物體形狀改變時，相對于某參考坐標系，物體上一點的未知改變的直線距離（線位移），或一線段方向改變的角度（角位移）。不管線位移還是角位移，都是相對于某參考坐標系的，若參考坐標系變化，位移的數(shù)值也會變化。故位移是相對的。7、軸向拉伸（壓縮）時的超靜定問題（本小結(jié)內(nèi)容考研的同學可能要用到） 1）、超靜定問題 未知數(shù)多于可被應用的獨立平衡方程數(shù)，不能用靜力學平衡方程完全確定

18、全部未知數(shù)的問題。 2）、超靜定問題的解題步驟 1靜力平衡條件由靜力平衡條件列出平衡方程 2變形相容條件根據(jù)結(jié)構(gòu)或桿件變形后應保持連續(xù)性的變形相容條件，做出位移圖（或變形圖），由位移圖的幾何關(guān)系列出變形間的關(guān)系方程 3物理關(guān)系由胡克定律列出力變形間的關(guān)系方程 4將物理關(guān)系代入變形相容條件，得補充方程。補充方程和靜力平衡方程，二者方程數(shù)之和正好等于未知數(shù)的個數(shù)，聯(lián)立平衡方程和補充方程，求解全部未知數(shù)。8、剪切及其實用計算 1）、剪切的力學模型 1受力特征：構(gòu)件受一對大小相等、方向相反、作用線互相緊靠但不重合的平行力作用。 2變形特征：構(gòu)件沿二平行力的交界面發(fā)生相對錯動。 2）、剪切面：構(gòu)件將發(fā)生

19、相互錯動的面。 3）、剪力：剪切面上的內(nèi)力，其作用線與剪切面平行。 4）、實用計算方法 根據(jù)構(gòu)件破壞的可能性，以直接試驗為基礎，用剪切面上的平均應力（名義應力）來進行構(gòu)件的強度計算。平均切應力并非破壞截面上的實際應力。 5）、平均切應力（或名義切應力） 假設切應力在整個剪切面上是均勻分布的，則平均切應力等于剪切面上的剪力除以剪切面面積，即 6）、剪切強度條件 式中，為根據(jù)直接試驗并按名義切應力公式（平均切應力計算公式）求得的材料的許用切應力。9、擠壓及其實用計算 1）、擠壓：構(gòu)件局部面積的承壓作用 2）、平均（名義）擠壓應力 假設擠壓應力在有效擠壓面上均勻分布，則，并非擠壓面內(nèi)真實的擠壓應力。

20、 平面接觸時，有效擠壓面積等于實際承壓面面積，柱面接觸時，有效擠壓面積為實際承壓面面積在其直徑平面上的投影。 1 第四章 基本知識點1.1 基本概念平面彎曲、簡支梁、外伸梁、懸臂梁、剪力、彎矩、剪力圖、彎矩圖。1.2 梁的簡化和基本形式梁的支承情況和載荷情況各種各樣，通常用一個計算簡圖代替梁。1在分析梁的內(nèi)力和變形時，以梁的軸線來代替梁。2梁的載荷可簡化為集中力、集中力偶和分布載荷。3梁的支座可簡化為固定端、固定鉸支座及可動鉸支座。 4靜定梁有三種基本形式，即簡支梁、外伸梁、懸臂梁。1.3 剪力和彎矩梁橫截面上的內(nèi)力可用截面法求得，某截面上的剪力在數(shù)值上等于該截面一側(cè)所有外力的代數(shù)和，截面上的

21、彎矩在數(shù)值上等于該截面一側(cè)所有外力對該截面形心力矩的代數(shù)和。截面上剪力繞該段梁順時針轉(zhuǎn)動時為正，逆時針轉(zhuǎn)動時為負；使梁上凹下凸變形時彎矩為正，反之為負。1.4 剪力圖和彎矩圖為了表明梁上各截面的剪力和彎矩沿梁軸線的變化情況，通常以橫截面上的剪力或彎矩為縱坐標，以截面沿梁軸線的位置x為橫坐標繪出表示剪力和彎矩的圖線，稱為梁的剪力圖和彎矩圖。1.5 分布載荷、剪力和彎矩之間的微分關(guān)系設分布載荷q(x)向上為正，分布載荷、剪力和彎矩之間有如下微分關(guān)系： 。由上述微分關(guān)系可知，剪力圖上一點的斜率等于梁上相應點的分布載荷集度；彎矩圖上一點的斜率等于梁在相應截面的剪力。2重點與難點2.1剪力和彎矩的符號在

22、用靜力平衡方程求梁上任意截面的內(nèi)力時，建議使用“設正法”，即假設該截面的剪力和彎矩都為正值，計算結(jié)果的正負號即為內(nèi)力的真實符號，應熟練掌握。2.2剪力圖和彎矩圖內(nèi)力圖分界點處有如下特點：1集中力作用處，剪力圖有突變，突變值等于集中力的數(shù)值；彎矩圖有尖點。2集中力偶作用處，剪力圖無變化；彎矩圖有突變，突變值等于集中力偶的數(shù)值。3均布載荷作用處，剪力圖為斜直線；彎矩圖為拋物線，剪力為零處拋物線出現(xiàn)極值。4梁的端點處：無集中力作用時，剪力為零；有集中力作用時，剪力等于集中力的數(shù)值；無集中力偶作用時，彎矩為零；有集中力偶作用時，彎矩等于集中力偶的數(shù)值；2.3分布載荷、剪力和彎矩之間的微分關(guān)系利用微分關(guān)

23、系，可以方便地畫出梁的剪力圖和彎矩圖，也可校核所畫出的內(nèi)力圖。建議在熟練的基礎上多使用這種方法。3解題方法要點3.1列梁的內(nèi)力方程首先應根據(jù)梁上的載荷的具體情況，把梁分為若干段，分別列各段的內(nèi)力方程。列梁的內(nèi)力方程的基本方法是截面法，用截面任意一側(cè)梁上外力直接計算該截面的內(nèi)力，應特別注意外力的方向及其相應的內(nèi)力符號。對列出的內(nèi)力方程可以用微分關(guān)系校核。3.2畫梁的內(nèi)力圖畫內(nèi)力圖應分段來畫，對于每一段可以直接根據(jù)內(nèi)力方程畫出內(nèi)力圖，也可以根據(jù)微分關(guān)系來畫內(nèi)力圖，熟練的基礎上建議使用后一種方法。 第三章扭轉(zhuǎn)知識要點1、 扭轉(zhuǎn)的力學模型1）、構(gòu)件特征 構(gòu)件為等圓截面直桿2）、受力特征 外力偶矩的作用面與桿件軸線相垂直3）、變形特征 桿件各橫截面