函數(shù)的四則運算的微分法則（課堂PPT）

1、一一 函數(shù)的四則運算的微分法則函數(shù)的四則運算的微分法則二二 反函數(shù)的反函數(shù)的微分法則微分法則三三 復(fù)合函數(shù)的微分法則及微分復(fù)合函數(shù)的微分法則及微分 形式不變性形式不變性四四 微分法小結(jié)微分法小結(jié)第三節(jié)第三節(jié) 函數(shù)的求導(dǎo)法則函數(shù)的求導(dǎo)法則一、函數(shù)四則運算的微分定理1并且并且也可導(dǎo),也可導(dǎo),處處商(分母不為零)在點商(分母不為零)在點則它們的和、差、積、則它們的和、差、積、處可導(dǎo)（或可微),處可導(dǎo)（或可微),在點在點如果函數(shù)如果函數(shù)xxxvxu)()( ,;)()( )()( )1( xvxuxvxu;)(dvduvud 或或; , udvvduduvxvxuxvxuxvxu 或或)()()()(

2、)()( (2 2) ).)( 0),)()()()()()(3)22vvuvuvudxvxvxvxuxvxuxvxu 或或 )()(證 (2)(2)設(shè)設(shè). )()()()()()()()()()(0lim)()()()(0lim)(),()()( xvxuxvxuxxvxxvxuxxvxuxxuxxxvxuxxvxxuxxfxvxuxf推論.)( , )3();()( ,)( )( )2();()(),() )( )1(1111uvdwuwdvvwduuvwdwuvwvuvwuuvwxcdfxcfdxcfxcfxfdxfdxfxfnkknkknkknkk 注意：.)()()()(;)()(

3、)()( xvxuxvxuxvxuxvxu例1. . 求求xxxxf22)( 的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù). .解.111 12122121 )2()2( )22()(33xxxxxxxxxxxf ,ln)(xxexfx 例2. 設(shè)設(shè)求求.)( xf解).lnln1( 1lnln )(lnln)(ln )ln()(xxxexxexxexexxexexxexxxexfxxxxxxxx 例3.tan的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)求求xy 解)cossin()(tan xxxyxxxxx2cos)(cossincos)(sin xxx222cossincos xx22seccos1 xxy2sec)(tan 同理可得同理可得xxy2

4、csc)(cot 例4.sec的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求求xy 解)cos1()(sec xxyxx2cos)(cos.tansecxx xx2cossin 同理可得同理可得xxxycotcsc)(csc dydxdxdyyxfxIxfyyyIyx1 ,)(1)( )(,0)()( 即即且有且有內(nèi)也可導(dǎo)內(nèi)也可導(dǎo)在對應(yīng)區(qū)間在對應(yīng)區(qū)間那末它的反函數(shù)那末它的反函數(shù)且且內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)在某區(qū)間在某區(qū)間如果函數(shù)如果函數(shù) ,定理2. .即即 反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于直接函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù)反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于直接函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù). .注意：)(),(yxf的的 均為求導(dǎo)，但意義不同均為求導(dǎo)，但意義不同. .二二 、反函數(shù)的微分法

5、則、反函數(shù)的微分法則證,xIx 任任取取xx 以以增增量量給給), 0(xIxxx 的單調(diào)性可知的單調(diào)性可知由由)(xfy , 0 y于是有于是有,1yxxy ,)(連連續(xù)續(xù)因因為為xf00 yx必必有有時時, ,所所以以當(dāng)當(dāng))0)( yxyxfx0lim)( 故故yxy 1lim0)(1y .)(1)(yxf 即即例5.arcsin的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)求求xy 解, ,內(nèi)內(nèi)單單調(diào)調(diào)、可可導(dǎo)導(dǎo)在在)2,2(sin yIyx,0cos)(sin yy且且內(nèi)內(nèi)有有在在所所以以)1,1( xI)(sin1)(arcsin yxycos1 y2sin11 211x 同理可得同理可得211)(arccosxx

6、.11)cot( ;11)(arctan22xxarcxx 證明,)(0可可導(dǎo)導(dǎo)在在點點由由uufy )(lim00ufuyu 所以所以)0lim()(00 uufuy故故定理3. .).()( )()()(,)( 0000000 xufdxdyxxfyxuufyxxuxx 且其導(dǎo)數(shù)為且其導(dǎo)數(shù)為可導(dǎo),可導(dǎo),在點在點則復(fù)合函數(shù)則復(fù)合函數(shù), ,可導(dǎo)可導(dǎo)在點在點而而可導(dǎo)可導(dǎo)在點在點如果函數(shù)如果函數(shù) 或或,dxdududydxdy 三 復(fù)合函數(shù)的微分法則 及微分形式不變性xyx 0lim故故)(lim00 xuxuufx xuxuufxxx 0000limlimlim)( ).()(00 xuf 即即

7、 因變量對自變量求導(dǎo)因變量對自變量求導(dǎo), ,等于因變量對中間變等于因變量對中間變量求導(dǎo)量求導(dǎo), ,乘以中間變量對自變量求導(dǎo)乘以中間變量對自變量求導(dǎo)( (鏈?zhǔn)椒▌t鏈?zhǔn)椒▌t) ).uuufy )(0則則推廣 設(shè)設(shè). )(),(),(),(y dxdvdvdududydxdyxfyxvvuuf 的導(dǎo)數(shù)為：的導(dǎo)數(shù)為：則復(fù)合函數(shù)則復(fù)合函數(shù) 即即 因變量對自變量求導(dǎo)等于因變量對中間變量因變量對自變量求導(dǎo)等于因變量對中間變量求導(dǎo)，乘以中間變量對自變量求導(dǎo)求導(dǎo)，乘以中間變量對自變量求導(dǎo).(.(鏈?zhǔn)椒▌t鏈?zhǔn)椒▌t) )注意：求導(dǎo).求導(dǎo).求導(dǎo)，后者對求導(dǎo)，后者對不同，前者是對不同，前者是對uxxfxf)()( 與定

8、理4. 設(shè).)()( 即，微分形式不變性 還是中間變量，恒有是自變量則不論可微dxxfdyxxfy ，證 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù).)( ,)(.)()(),()2(;)()1(),()( dxxfdydxdttdtxxfdytxtxdxxfdyxxfxfy 則則微微函函數(shù)數(shù)的的可可一一變變量量是是中中間間自自變變量量時時，即即另另若若是是自自變變量量時時若若有有導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，例6的導(dǎo)數(shù).的導(dǎo)數(shù).函數(shù)函數(shù) 求求xy1arctan 解.111111,1)1( ,11)(arctan1arctan1arctan22222xxxdxdyxxuxxuuyxy 復(fù)合而成，復(fù)合而成，與與看成看成例7為常數(shù))的導(dǎo)數(shù).為常數(shù)

9、)的導(dǎo)數(shù).求函數(shù)求函數(shù) (xy 解 驗證了第一節(jié)的例二.驗證了第一節(jié)的例二.復(fù)合而成復(fù)合而成與與看成看成. ln1lnln xxxxexedxdyxteyexyxtx，由上例可見，初等函數(shù)的求導(dǎo)必須熟悉由上例可見，初等函數(shù)的求導(dǎo)必須熟悉. . (a) (a)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式；基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式； (b)(b)復(fù)合函數(shù)的分解；復(fù)合函數(shù)的分解； (c)(c)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)公式復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)公式. .復(fù)合函數(shù)的分解過程熟悉后，可以不寫復(fù)合函數(shù)的分解過程熟悉后，可以不寫中間變量，而直接寫出結(jié)果中間變量，而直接寫出結(jié)果. .例8.,12yxy 求求設(shè)設(shè)解.1)2(121 .1 )2(121 )

10、1(22222xxxxyxxxxxy 或或.)2(21ln32的導(dǎo)數(shù) xxxy求求函函數(shù)數(shù)練習(xí)：例9的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù). .求求函函數(shù)數(shù)xey1sin 解)1(sin1sin xeyx)1(1cos1sin xxex.1cos11sin2xexx 例10.)()(arcsin dxdyufxfy求求可導(dǎo)可導(dǎo)而而設(shè)設(shè), ,， ).(arcsin11 ,11)(arcsin arcsin)(arcsin 22 xfxdxdydxxxfxdxfdy 解解)11(1122xxxx 211x 例11.),1ln( 2yxxy 求求設(shè)設(shè)2221)1( )1ln(xxxxxxy 例12. .求求的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)|ln

11、 xy ).0(1) |(ln ,1)1(10 ,10 0 )ln(0 ln xxxxxyxxyxxxxxy即當(dāng)當(dāng) 時時，時時，解解1.基本微分公式xdxxdxxxdxxdxxxdxxdxxxdxxdxxdxxxdxxcdc222211csc)(cot csc)(cotsec)(tan sec)(tansin)(cos sin)(coscos)(sin cos)(sin)( )(0)( 0)( 四、微分法小結(jié) 11)(arcsin 11)(arcsin1)(ln 1)(lnln1)(log ln1)(log)( )(ln)( ln)(cotcsc)(csc cotcsc)(csctansec)(sec tansec)(sec22dxxxdxxdxxxdxxdxaxdaxdxeedeeadxaadaaaxdxxxdxxxxdxxxdxxxxaxaxxxxxxxx 1)cot( 11)cot(1)(arctan 11)(arctan1)(arccos 11)(arccos222222xdxxarcdxxarcxdxxdxxxdxxdxx ;)( ) ,)(),