浙大高等傳熱學導熱理論

1、高等傳熱學導熱理論參考書：高等傳熱學 賈力 方肇洪 錢興華S.Kakac,Y.Yener, Heat Conduction 1985, TK124/YK3 G.E.Myers, Analytical Methods in Conduction Heat Transfer,1971,TK124/YM1M.N.Ozisik,Heat Conduction ,1980,(中譯本)O551.3/A2俞昌銘，熱傳導及數(shù)值分析，1981，清華大學出版社， O551.3/Y2J.E.Parrott,A.D.Stuckes,Thermal Conduction of Solids,1975, O551.3/Y

2、P1U.Grigull,H.Sandner, ,Heat Conduction ,1984,YK124/YG3Eckert E.R.G,Analysis of Heat and Mass Transfer, O551.3/YE1(英)， O551.3/A3，（中）V.C.Arpaci,Conduction Heat Transfer,1966,錢壬章等，傳熱分析與計算，高教出版社林瑞泰，熱傳導理論與方法，天津大學出版社屠傳經(jīng)等，熱傳導，浙江大學出版社第一講 導熱規(guī)律及其數(shù)學描述導熱可發(fā)生在物體的各種狀態(tài)：氣態(tài)、固態(tài)和液態(tài)。描述傳熱規(guī)律最基本的規(guī)律是傅里葉導熱定律：1. Fourier Law:

3、 傅里葉定律適用于穩(wěn)態(tài)、非穩(wěn)態(tài)，變導熱系數(shù)，各向同性，多維空間，連續(xù)光滑介質，氣、液、固三相的導熱問題，但其表現(xiàn)形式上為已知熱流方向的一維問題。用起來不方便。在已知溫度場的情況，我們把傅里葉定律推廣成向量形式： 其中叫nabla算子，作用于溫度叫溫度梯度。為溫度梯度單位方向向量。在不同的坐標系中，有不同的表現(xiàn)形式，在直角坐標系中： 傅里葉定律向量形式說明，熱流密度方向與溫度梯度方向相反。它可適用于穩(wěn)態(tài)、非穩(wěn)態(tài)，變導熱系數(shù)，各向同性，多維空間，連續(xù)光滑介質，氣、液、固三相的導熱問題。2各向異性材料，導熱系數(shù)張量；許多物體的導熱能力與方向有關，如木材。正確描述物體中一點的導熱系數(shù)需采用二階張量形式

4、：在直角坐標系中各向異性物體的傅里葉定律表示為：采用愛因斯坦求和約定，簡記為：由熱力學第二定律可以證明：,導熱系數(shù)張量是對稱張量。 由張量理論知，必存在一個坐標系，使得導熱系數(shù)張量可以表示成：稱坐標系的三個方向為導熱系數(shù)張量主方向，為主導熱系數(shù)。導熱系數(shù)張量主方向和主導熱系數(shù)可以利用線性代數(shù)中的相似變換求出。當我們采用導熱系數(shù)張量主方向作為坐標系時，傅里葉定律表示成：從而簡化計算。當三個主導熱系數(shù)相等時（叫球張量），傅里葉定律就轉化為各向同性的形式。當導熱系數(shù)張量確定后，主導熱系數(shù)是唯一的，但導熱系數(shù)張量主方向不一定唯一。如球張量對任一正交坐標系都是導熱系數(shù)主方向。傅里葉定律各向異性形式說明，

5、熱流密度方向與溫度梯度方向不一定相反，可以有一個角度，這個角度受熱力學第二定律的限制，熱流密度方向必須朝向溫度降低方向。它可適用于穩(wěn)態(tài)、非穩(wěn)態(tài)，變導熱系數(shù)，各向異或同性，多維空間，連續(xù)光滑介質，氣、液、固三相的導熱問題。3有限熱傳播速度下的傅里葉定律修正：傅里葉定律暗含了熱傳播速度無窮大的假設，這是違反物理規(guī)律的。所以我們認為傅里葉定律僅僅是導熱規(guī)律的一個近似。根據(jù)統(tǒng)計熱力學，物體對熱擾動表現(xiàn)出慣性和阻尼作用，使得熱只能以有限的速度“C”傳播。稱C為第二聲速。有時間量綱，稱為物體的弛豫時間，它反映導熱系統(tǒng)趨于新的平衡狀態(tài)的快慢程度。其數(shù)量級與物體粒子二次碰撞平均時間間隔相同?？紤]了有限熱傳播速

6、度下的傅里葉定律修正為：熱傳播項 熱流 熱擴散對穩(wěn)態(tài)導熱，熱傳播項消失，該式轉化為原來的傅里葉定律。 叫熱擴散系數(shù)。非穩(wěn)態(tài)，一般a<<C2，熱傳播項相對其它項很小，熱流變化也不急劇，可以忽略不計。原來的傅里葉定律仍舊可用。在深冷領域，溫度接近絕對零度，物體性質發(fā)生很大的變化。有時傳播項的影響不可忽略。如在1.4K液氦中，C約為19m/s,此時需考慮傳播項的影響，負責會造成較大誤差。在短時間高熱負荷情況下，如強激光照射，熱流變化非常劇烈，也此時需考慮熱傳播速度效應，才能得到正確的預測。人們還從傳熱的微觀機理出發(fā)對傅里葉定律進行種種修正，對理解物體的微觀運動和物性預測很有幫助。這里就不

7、再介紹。4導熱微分方程：對連續(xù)體，各向同性靜止物體，在具有內熱源（核反應，電加熱或化學反應等）時，利用熱力學第一定律和傅里葉定律，不考慮系統(tǒng)對外做功，不可壓縮物體，無相變的情況下，可以得到如下導熱微分方程： 141 非穩(wěn)態(tài)項 擴散項 源項當為常數(shù)，式141變成： 142更一般地，考慮粘性流體流動狀態(tài)下發(fā)生的傳熱有： 143 h=e+P/ 144 叫耗散函數(shù)。不同的坐標系，上面的公式有不同的表達。見賈書P811。雖然導熱微分方程適用情況很廣，有時使用并不方便，大家在應用時體會。5初值條件與邊界條件物理規(guī)律用微分方程表達，叫數(shù)學物理方程。數(shù)理方程反映的是同類物理現(xiàn)象，它不涉及研究對象特定的環(huán)境和歷

8、史。所以叫這類微分方程為泛定方程（或控制方程等）。要解決實際穩(wěn)態(tài)，還要給出定解條件。作為整體，我們把求出定解條件稱為定解問題。求解導熱微分方程的定解條件是初值條件，邊界條件等，在一定的物理條件，幾何條件下，再給出以下的初值條件，邊界條件，導熱微分方程有唯一解，所以我們又稱這些條件為唯一性條件。A/. 初值條件：就是給定系統(tǒng)初始狀態(tài)。即給定系統(tǒng)的初始溫度：最簡單情況：B/. 邊界條件：給定系統(tǒng)與環(huán)境之間的作用和關系。分線性邊界條件和非線性邊界條件。邊界條件中含函數(shù)及其偏導數(shù)的乘積項為非線性邊界條件，否則就為線性邊界條件。線性邊界條件的求解比非線性邊界條件辦法多，一般有通用方法。非線性邊界條件變化

9、多，是當前的難題。線性邊界條件有：1st BC: 給定邊界上的溫度：2nd BC： 給定邊界上外法向的熱流密度：最簡單情況：叫絕熱邊界條件。3rd BC：給定邊界上的換熱條件：還有一種邊界條件有人稱之為4th BC,即給定兩個相互接觸面間的溫度和熱流。當其為理想接觸時也是線性的，兩相互接觸面A,B理想接觸時的邊界條件為: 即接觸面上溫度相同，熱流相等當存在接觸熱阻和接觸面上有內熱源時，為非理想接觸，有可能變得非線性。非線性邊界條件相應的情況很多，上述幾種邊界條件當其中系數(shù)與溫度或溫度的偏導數(shù)有關時，就轉化為非線性邊界條件。另外常見的有：輻射邊界條件：黑體輻射服從溫度的四次方率，高度非線性。自然

10、對流邊界條件;表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)與溫差的1/4或1/3成正比。移動邊界條件：邊界上存在相變等，如融化，凝固，燒結等，邊界在移動，往往會有待求的邊界移動速度項，故為非線性。非線性問題的求解絕大多數(shù)轉換為線性問題獲得近似解，個別問題發(fā)展了自己的解法。凝結邊界條件和沸騰邊界條件從本質上看，表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)也與溫度有關，也屬于非線性。6導熱問題的分類及求解方法：按照不同的導熱現(xiàn)象和類型，有不同的求解方法。求解導熱問題，主要應用于工程之中，一般以方便，實用為原則，能簡化盡量簡化。直接求解導熱微分方程是很復雜的，按考慮系統(tǒng)的空間維數(shù)分，有0維，1維，2維和3維導熱問題。一般維數(shù)越低，求解越簡單。常見把高維問題轉化為

11、低維問題求解。有穩(wěn)態(tài)導熱和非穩(wěn)態(tài)導熱，非穩(wěn)態(tài)導熱比穩(wěn)態(tài)導熱多一個時間維，求解難度增加。有時在穩(wěn)態(tài)解的基礎上分析非穩(wěn)態(tài)穩(wěn)態(tài)，稱之為準靜態(tài)解，可有效地降低求解難度。根據(jù)研究對象的幾何形狀，又可建立不同坐標系，分平壁，球，柱，管等問題，以適應不同的對象。不論如何，求解導熱微分方程主要依靠三大方法：1 理論法2 試驗法3 綜合理論和試驗法理論法：借助數(shù)學、邏輯等手段，根據(jù)物理規(guī)律，找出答案。它又分：分析法；以數(shù)學分析為基礎，通過符號和數(shù)值運算，得到結果。方法有：分離變量法，積分變換法(Laplace變換，F(xiàn)ourier變換)，熱源函數(shù)法，Green函數(shù)法，變分法，積分方程法等等，數(shù)理方程中有介紹。近似

12、分析法：積分方程法，相似分析法，變分法等。分析法的優(yōu)點是理論嚴謹，結論可靠，省錢省力，結論通用性好，便于分析和應用。缺點是可求解的對象不多，大部分要求幾何形狀規(guī)則，邊界條件簡單，線性問題。有的解結構復雜，應用有難度，對人員專業(yè)水平要求高。數(shù)值法：是當前發(fā)展的主流，發(fā)展了大量的商業(yè)軟件。方法有：有限差分法，有限元法，邊界元法，直接模擬法，離散化法，蒙特卡羅法，格子氣法等，大大擴展了導熱微分方程的實用范圍，不受形狀等限制，省錢省力，在依靠計算機條件下，計算速度和計算質量、范圍不斷提高，有無窮的發(fā)展?jié)摿Γ芮蠼獠糠址蔷€性問題。缺點是結果可靠性差，對使用人員要求高，有的結果不直觀，所求結果通用性差。比擬法：有熱電模擬，光模擬等試驗法：在許多情況下，理論并不能解決問題，或不能完全解決問題，或不能完美解決問題，必須通過試驗。試驗的可靠性高，結果直觀，問題的針對性強，可以發(fā)掘