排列組合的種例題

1、高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)解排列組合應(yīng)用題的21種策略排列組合問題是高考的必考題，它聯(lián)系實(shí)際生動有趣，但題型多樣，思路靈活，不易掌握，實(shí)踐證明，掌握題型和解題方法，識別模式，熟練運(yùn)用，是解決排列組合應(yīng)用題的有效途徑；下面就談一談排列組合應(yīng)用題的解題策略.1 .相鄰問題捆綁法：題目中規(guī)定相鄰的幾個(gè)元素捆綁成一個(gè)組，當(dāng)作一個(gè)大元素參與排列例1.A,B,C,D,E五人并排站成一排，如果A,B必須相鄰且B在A的右邊，那么不同的排法種數(shù)有A60種B、48種C、36種D、24種2 .相離問題插空排：元素相離(即不相鄰)問題，可先把無位置要求的幾個(gè)元素全排列，再把規(guī)定的相離的幾個(gè)元素插入上述幾個(gè)元素的空位和兩端.例2.七

2、人并排站成一行，如果甲乙兩個(gè)必須不相鄰，那么不同的排法種數(shù)是A1440種B、3600種C、4820種D、4800種3 .定序問題縮倍法：在排列問題中限制某幾個(gè)元素必須保持一定的順序，可用縮小倍數(shù)的方法.例3.A,B,C,D,E五人并排站成一排，如果B必須站在A的右邊(A,B可以不相鄰)那么不同的排法種數(shù)是A24種B、60種C、90種D、120種4 .標(biāo)號排位問題分步法：把元素排到指定位置上，可先把某個(gè)元素按規(guī)定排入，第二步再排另一個(gè)元素，如此繼續(xù)下去，依次即可完成.例4.將數(shù)字1,2,3,4填入標(biāo)號為1,2,3,4的四個(gè)方格里，每格填一個(gè)數(shù)，則每個(gè)方格的標(biāo)號與所填數(shù)字均不相同的填法有A6種B、

3、9種C、11種D、23種5 .有序分配問題逐分法：有序分配問題指把元素分成若干組，可用逐步下量分組法.例5.(1)有甲乙丙三項(xiàng)任務(wù)，甲需2人承擔(dān)，乙丙各需一人承擔(dān)，從10人中選出4人承擔(dān)這三項(xiàng)任務(wù)，不同的選法種數(shù)是A1260種B、2025種C、2520種D、5040種(2)12名同學(xué)分別到三個(gè)不同的路口進(jìn)行流量的調(diào)查，若每個(gè)路口4人，則不同的分配方案有C：C；C：_4_4_44_4_44_43一AC12C8c4種B、3c12C8c4種C、C12C8A3種D6 .全員分配問題分組法：例6.(1)4名優(yōu)秀學(xué)生全部保送到3所學(xué)校去，每所學(xué)校至少去一名，則不同的保送方案有多少種？(2) 5本不同的書，

4、全部分給4個(gè)學(xué)生，每個(gè)學(xué)生至少一本，不同的分法種數(shù)為A480種B、240種C、120種D、96種7 .名額分配問題隔板法：例7.10個(gè)三好學(xué)生名額分到7個(gè)班級，每個(gè)班級至少一個(gè)名額，有多少種不同分配方案?8 .限制條件的分配問題分類法：例8.某高校從某系的10名優(yōu)秀畢業(yè)生中選4人分別到西部四城市參加中國西部經(jīng)濟(jì)開發(fā)建設(shè)，其中甲同學(xué)不到銀川，乙不到西寧，共有多少種不同派遣方案？9 .多元問題分類法：元素多，取出的情況也多種，可按結(jié)果要求分成不相容的幾類情況分別計(jì)數(shù)，最后總計(jì).例9.(1)由數(shù)字0,1,2,3,4,5組成沒有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，其中個(gè)位數(shù)字小于十位數(shù)字的共有A210種B、300種C、

5、464種D、600種(2)從1,2,3，100這100個(gè)數(shù)中，任取兩個(gè)數(shù)，使它們的乘積能被7整除，這兩個(gè)數(shù)的取法(不計(jì)順序)共有多少種？(3)從1,2,3,，100這100個(gè)數(shù)中任取兩個(gè)數(shù)，使其和能被4整除的取法(不計(jì)順序)有多少種？10 .交叉問題集合法：某些排列組合問題幾部分之間有交集，可用集合中求元素個(gè)數(shù)公式n(AUB)=n(A)n(B)-n(A0|B).例10.從6名運(yùn)動員中選出4人參加4X100米接力賽，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少種不同的參賽方案？11 .定位問題優(yōu)先法：某個(gè)或幾個(gè)元素要排在指定位置，可先排這個(gè)或幾個(gè)元素；再排其它的元素。例11.1名老師和4名獲獎同學(xué)排

6、成一排照相留念，若老師不站兩端則有不同的排法有多少種？12 .多排問題單排法：把元素排成幾排的問題可歸結(jié)為一排考慮，再分段處理.例12.(1)6個(gè)不同的元素排成前后兩排，每排3個(gè)元素，那么不同的排法種數(shù)是A36種B、120種C、720種D、1440種(2)8個(gè)不同的元素排成前后兩排，每排4個(gè)元素，其中某2個(gè)元素要排在前排，某1個(gè)元素排在后排，有多少種不同排法？13 .“至少”“至多”問題用間接排除法或分類法：抽取兩類混合元素不能分步抽.例13.從4臺甲型和5臺乙型電視機(jī)中任取3臺，其中至少要甲型和乙型電視機(jī)各一臺，則不同的取法共有A140種B、80種C、70種D、35種14 .選排問題先取后排

7、：從幾類元素中取出符合題意的幾個(gè)元素，再安排到一定的位置上，可用先取后排法.例14.(1)四個(gè)不同球放入編號為1,2,3,4的四個(gè)盒中，則恰有一個(gè)空盒的放法有多少種？(2)9名乒乓球運(yùn)動員，其中男5名，女4名，現(xiàn)在要進(jìn)行混合雙打訓(xùn)練，有多少種不同的分組方法？15 .部分合條件問題排除法：在選取的總數(shù)中，只有一部分合條件，可以從總數(shù)中減去不符合條件數(shù)，即為所求.例15.(1)以正方體的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四面體共有A70種B、64種C、58種D、52種(2)四面體的頂點(diǎn)和各棱中點(diǎn)共10點(diǎn)，在其中取4個(gè)不共面的點(diǎn)，不同的取法共有A150種B、147種C、144種D、141種16 .圓排問題線排法：把n個(gè)不

8、同元素放在圓周n個(gè)無編號位置上的排列，順序(例如按順時(shí)鐘)不同的排法才算不同的排列，而順序相同(即旋轉(zhuǎn)一下就可以重合)的排法認(rèn)為是相同的，它與普通排列的區(qū)別在于只計(jì)順序而首位、末位之分，下列n個(gè)普通排列：a1,a2,a3H(an；a2,a3,a44M,anJM;an,a1,HI,an.在圓排列中只算一種，因?yàn)樾D(zhuǎn)后可以重合,故認(rèn)為相同，n個(gè)元素的圓排列數(shù)有上種.因此可將某個(gè)元素固定展成線排，其它的n1元n素全排列.例16.5對姐妹站成一圈，要求每對姐妹相鄰，有多少種不同站法？17 .可重復(fù)的排列求幕法：允許重復(fù)排列問題的特點(diǎn)是以元素為研究對象，元素不受位置的約束，可逐一安排元素的位置，一般地n

9、個(gè)不同元素排在m個(gè)不同位置的排列數(shù)有mn種方法.例17.把6名實(shí)習(xí)生分配到7個(gè)車間實(shí)習(xí)共有多少種不同方法？18 .復(fù)雜排列組合問題構(gòu)造模型法：例18.馬路上有編號為1,2,3，9九只路燈，現(xiàn)要關(guān)掉其中的三盞，但不能關(guān)掉相鄰的二盞或三盞，也不能關(guān)掉兩端的兩盞，求滿足條件的關(guān)燈方案有多少種？19 .元素個(gè)數(shù)較少的排列組合問題可以考慮枚舉法：例19.設(shè)有編號為1,2,3,4,5的五個(gè)球和編號為1,2,3,4,5的盒子現(xiàn)將這5個(gè)球投入5個(gè)盒子要求每個(gè)盒子放一個(gè)球，并且恰好有兩個(gè)球的號碼與盒子號碼相同，問有多少種不同的方法？20 .復(fù)雜的排列組合問題也可用分解與合成法：例20.(1)30030能被多少個(gè)

10、不同偶數(shù)整除？(2)正方體8個(gè)頂點(diǎn)可連成多少隊(duì)異面直線？21 .利用對應(yīng)思想轉(zhuǎn)化法：對應(yīng)思想是教材中滲透的一種重要的解題方法，它可以將復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為簡單問題處理.例21.(1)圓周上有10點(diǎn)，以這些點(diǎn)為端點(diǎn)的弦相交于圓內(nèi)的交點(diǎn)最多有多少個(gè)？(2)某城市的街區(qū)有12個(gè)全等的矩形組成，其中實(shí)線表示馬路，從A到B的最短路徑有多少種？答案1 .解析：把A,B視為一人，且B固定在A的右邊，則本題相當(dāng)于4人的全排列，A4=24種,答案：D.2 .解析：除甲乙外，其余5個(gè)排列數(shù)為慰種，再用甲乙去插6個(gè)空位有A2種，不同的排法種數(shù)是降A(chǔ)=3600種，選B.3 .解析：B在A的右邊與B在A的左邊排法數(shù)相同，所

11、以題設(shè)的排法只是5個(gè)元素全排列1數(shù)的一半，即A=60種，選B.24 .解析：先把1填入方格中，符合條件的有3種方法，第二步把被填入方格的對應(yīng)數(shù)字填入其它三個(gè)方格，又有三種方法；第三步填余下的兩個(gè)數(shù)字，只有一種填法，共有3X3X1=9種填法，選B.5 .解析：先從10人中選出2人承擔(dān)甲項(xiàng)任務(wù)，再從剩下的8人中選1人承擔(dān)乙項(xiàng)任務(wù)，第三步從另外的7人中選1人承擔(dān)丙項(xiàng)任務(wù)，不同的選法共有C2)C8c7=2520種，選C.6 .答案：A.7 .解析：把四名學(xué)生分成3組有C2種方法，再把三組學(xué)生分配到三所學(xué)校有內(nèi)種，故共有C2A3=36種方法.說明：分配的元素多于對象且每一對象都有元素分配時(shí)常用先分組再分

12、配.8 .答案：B.9 .解析：10個(gè)名額分到7個(gè)班級，就是把10個(gè)名額看成10個(gè)相同的小球分成7堆，每堆至少一個(gè)，可以在10個(gè)小球的9個(gè)空位中插入6塊木板，每一種插法對應(yīng)著一種分配方案，故共有不同的分配方案為C；=84種.10 .解析：因?yàn)榧滓矣邢拗茥l件，所以按照是否含有甲乙來分類，有以下四種情況：若甲乙都不參加，則有派遣方案A4種；若甲參加而乙不參加，先安排甲有3種方法，然后安排其余學(xué)生有A3方法，所以共有3A3；若乙參加而甲不參加同理也有3A3種；若甲乙都參加，則先安排甲乙，有7種方法，然后再安排其余8人到另外兩個(gè)城市有解種，共有7解方法.所以共有不同的派遣方法總數(shù)為A84+3A3+3屈

13、十7解=4088種.11 .解析：按題意，個(gè)位數(shù)字只可能是0、1、2、3和4共5種情況，分別有A；、A4A3A3、A2A3A3和A1A3個(gè),合并總計(jì)300個(gè),選B.12 .解析：被取的兩個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)能被7整除時(shí)，他們的乘積就能被7整除，將這100個(gè)數(shù)組成的集合視為全集I,能被7整除的數(shù)的集合記做A=7,14,21,|H98共有14個(gè)元素，不能被7整除的數(shù)組成的集合記做eA=1,2,3,4,用,100共有86個(gè)元素；由此可知，從A中任取2個(gè)元素的取法有C4,從A中任取一個(gè)，又從eiA中任取一個(gè)共有C114c；6,兩種情形共符合要求的取法有C：+C14C86=1295種.13 .解析：將I=1

14、,2,3|,100分成四個(gè)不相交的子集，能被4整除的數(shù)集A = '48,12,111100：;能被4除余1的數(shù)集B=1,5,9川|97,能被4除余2的數(shù)集C=2,6,111,98),能被4除余3的數(shù)集D=3,7,11,11199,易見這四個(gè)集合中每一個(gè)有25個(gè)元素；從A中任取兩個(gè)數(shù)符合要；從B,D中各取一個(gè)數(shù)也符合要求；從C中任取兩個(gè)數(shù)也符合要求；此外其它取法都不符合要求；所以符合要求的取法共有C25+C；5C；5十C25種.14,解析：設(shè)全集=6人中任取4人參賽的排列,A=甲跑第一棒的排列,B=乙跑第四棒的排列,根據(jù)求集合元素個(gè)數(shù)的公式得參賽方法共有：4332n(I)-n(A)n(B

15、)+n(AcB)=AA-A5+A4=252種.法;所以共有A1A=72#.16 .解析：前后兩排可看成一排的兩段，因此本題可看成6個(gè)不同的元素排成一排，共種，選C.17 .解析：看成一排，某2個(gè)元素在前半段四個(gè)位置中選排2個(gè)，有A2種，某1個(gè)元素排在后半段的四個(gè)位置中選一個(gè)有A4種，其余5個(gè)元素任排5個(gè)位置上有A5種，故共有A：解A5=5760種排法.18 .解析1:逆向思考，至少各一臺的反面就是分別只取一種型號，不取另一種型號的電視機(jī)，故不同的取法共有C；-C43-C3=70種,選.C解析2:至少要甲型和乙型電視機(jī)各一臺可分兩種情況：甲型1臺乙型2臺；甲型2臺乙型1臺；故不同的取法有C；C；

16、+C5C42=70臺，選C.19 .解析：“先取”四個(gè)球中二個(gè)為一組，另二組各一個(gè)球的方法有C2種，“冉排”在四個(gè)盒中每次排3個(gè)有A3種，故共有C2A3=144種.20 .解析：先取男女運(yùn)動員各2名，有C；2C：種，這四名運(yùn)動員混和雙打練習(xí)有人:中排法，故共有C；C2A2=120種.21 .解析：正方體8個(gè)頂點(diǎn)從中每次取四點(diǎn)，理論上可構(gòu)成C84四面體，但6個(gè)表面和6個(gè)對角面的四個(gè)頂點(diǎn)共面都不能構(gòu)成四面體，所以四面體實(shí)際共有C；-12=58j.22 .解析：10個(gè)點(diǎn)中任取4個(gè)點(diǎn)共有C2種，其中四點(diǎn)共面的有三種情況：在四面體的四個(gè)面上，每面內(nèi)四點(diǎn)共面的情況為C4,四個(gè)面共有4C4個(gè)；過空間四邊形各

17、邊中點(diǎn)的平行四邊形共3個(gè)；過棱上三點(diǎn)與對棱中點(diǎn)的三角形共6個(gè).所以四點(diǎn)不共面的情況的種數(shù)是C24C：36=141種.23 .解析：首先可讓5位姐姐站成一圈，屬圓排列有A4種，然后在讓插入其間，每位均可插入其姐姐的左邊和右邊，有2種方式，故不同的安排方式24M25=768種不同站法.說明：從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素作圓形排列共有2A；種不同排法.m24 .解析：完成此事共分6步，第一步；將第一名實(shí)習(xí)生分配到車間有7種不同方案，第二步：將第二名實(shí)習(xí)生分配到車間也有7種不同方案，依次類推，由分步計(jì)數(shù)原理知共有76種不同方案.25 .解析：把此問題當(dāng)作一個(gè)排對模型，在6盞亮燈的5個(gè)空隙中插入3盞不亮

18、的燈C3種方法，所以滿足條件白關(guān)燈方案有10種.說明：一些不易理解的排列組合題，如果能轉(zhuǎn)化為熟悉的模型如填空模型，排隊(duì)模型，裝盒模型可使問題容易解決.26 .解析：從5個(gè)球中取出2個(gè)與盒子對號有C2種，還剩下3個(gè)球與3個(gè)盒子序號不能對應(yīng)，利用枚舉法分析，如果剩下3,4,5號球與3,4,5號盒子時(shí)，3號球不能裝入3號盒子，當(dāng)3號球裝入4號盒子時(shí)，4,5號球只有1種裝法，3號球裝入5號盒子時(shí)，4,5號球也只有1種裝法，所以剩下三球只有2種裝法，因此總共裝法數(shù)為2c2=20種.27 .解析：先把30030分解成質(zhì)因數(shù)的形式：30030=2X3X5X7X11X13;依題意偶因數(shù)2必取，3,5,7,11,13這5個(gè)因數(shù)中任取若干個(gè)組成成積，所有的偶因數(shù)為C；+C；+C；+C；+C；+C；=32個(gè).28解析：因?yàn)樗拿骟w中僅有3對異面直線，可將問題分解成正方體的8個(gè)頂點(diǎn)可構(gòu)成多少個(gè)不同