5.3振動能量與共振

1、.§5.3 振動能量與共振 5. 31、簡諧振動中的能量以程度彈簧振子為例，彈簧振子的能量由振子的動能和彈簧的彈性勢能構(gòu)成，在振動過程中，振子的瞬時動能為：振子的瞬時彈性勢能為：振子的總能量為：圖5-3-1簡諧振動中，回復(fù)力與分開平衡位置的位移x的比值k以及振幅A都是恒量，即是恒量，因此振動過程中，系統(tǒng)的機械能守恒。如以豎直彈簧振子為例，那么彈簧振子的能量由振子的動能、重力勢能和彈簧的彈性勢能構(gòu)成，盡管振動過程中，系統(tǒng)的機械能守恒，但能量的研究仍比較復(fù)雜。由于此時回復(fù)力是由彈簧的彈力和重力共同提供的，而且是線性力如圖5-3-1，因此，回復(fù)力做的功圖中陰影部分的面積也就是系統(tǒng)瞬時彈性勢

2、能和重力勢能之和，所以類比程度彈簧振子瞬時彈性勢能表達式，式中x應(yīng)指振子分開平衡位置的位移，那么就是彈性勢能和重力勢能之和，不必分開研究。簡諧振動的能量還為我們提供了求振子頻率的另一種方法，這種方法不涉及振子所受的力，在力不易求得時較為方便，將勢能寫成位移的函數(shù)，即，。另有也可用總能量和振幅表示為532、阻尼振動圖5-3-2簡諧振動過程的機械能是守恒的，這類振動一旦開場，就永不停頓，是一種理想狀態(tài)。實際上由于摩擦等阻力不可完全防止，在沒有外來動力的條件下，振動總會逐漸減弱以致最后停息。這種振幅逐漸減小的振動，稱為阻尼振動。阻尼振動不是諧振動。振動模型與運動規(guī)律如圖5-3-2所示，為考慮阻尼影響

3、的振動模型，c為阻尼器，粘性阻尼時，阻力R=-cv，設(shè)m運動在任一x位置，由有分為 17圖5-3-31cmx圖5-3-4式中 這里參考圖方法不再適用，當(dāng) C 較小時，用微分方程可求出振體的運動規(guī)律，如圖4-22所示。阻尼對振動的影響由圖5-3-3可見，阻尼使振幅逐漸衰減，直至為零。同時也伴隨著振動系統(tǒng)的機械能逐漸衰減為零。此外，愈大，即阻尼愈大，振幅衰減愈快。而增大質(zhì)量m可使n減小。所以，為了減小阻尼，單擺的重球及彈簧振子往往選用重球。常量阻力下的振動例1、如圖5-3-4所示，倔強系數(shù)為250g/cm的彈簧一端固定，另端連結(jié)一質(zhì)量為30g的物塊，置于程度面上，摩擦系數(shù)，現(xiàn)將彈簧拉長1cm后靜止

4、釋放。試求：1物塊獲得的最大速度；2物塊經(jīng)過彈簧原長位置幾次后才停頓運動。解：振體在運動中所受摩擦阻力是與速度方向相反的常量力，并不斷耗散系統(tǒng)的機械能，故不能像重力作用下那樣，化為諧振動處理。1設(shè)首次回程中，物塊運動至彈簧拉力等于摩擦力的x位置時，達最大速度。由 ，再由能量守恒：代入數(shù)據(jù)得2設(shè)物體第一次回程中，彈簧的最大壓縮量為，那么再設(shè)物體第一次返回中，彈簧的最大拉伸量為，那么可見振體每經(jīng)過一次彈簧原長位置，振幅減小是一樣的，且均為而 故物體經(jīng)過16次彈簧原長位置后，停頓在該處右方。533 受迫振動在周期性籌劃外力作用下的振動。例如：揚聲器的發(fā)聲，機器及電機的運轉(zhuǎn)引起的振動。1、振動模型及運

5、動規(guī)律如圖5-3-5所示，為籌劃外力作用下的振動模型。其中，阻力R=-cv，為常見的粘性阻尼力?；I劃力F=Hcospt，為簡諧力時。圖5-3-5由，有化為標(biāo)準(zhǔn)標(biāo)式式中 ，由微分方程理論可求得振子的運動規(guī)律2受迫振動的特性在阻尼力較小的條件下，簡諧籌劃力引起的振動規(guī)律如圖5-3-6所示。在這個受迫振動過程由兩部分組成：一部分是按阻尼系統(tǒng)本身的固有頻率所作的衰減振動，稱為瞬態(tài)振動圖a；另一部分按籌劃力頻率所作的穩(wěn)定振動圖b。在實際問題中，瞬態(tài)振動很快消失，穩(wěn)態(tài)振動顯得更加重要。穩(wěn)態(tài)振動的頻率與系統(tǒng)本身的固有頻率無關(guān)，其振幅與初位相也不由初始條件確定，而與籌劃頻率p親密相關(guān)。534、共振當(dāng)籌劃力頻率p接近于系統(tǒng)的固有頻率時受迫振動振幅出現(xiàn)最大值的現(xiàn)象。如圖5-3-7所示的一組曲線，描繪了不同阻尼系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)振幅A隨籌劃力頻率p改圖5-3-7變而引起的變化規(guī)律。由圖可