三年高考(2014-2016)數(shù)學(xué)(理)真題分項(xiàng)版解析—— 專(zhuān)題14 推理與證明

1、三年高考（2014-2016）數(shù)學(xué)（理）試題分項(xiàng)版解析第十四章 推理與證明 一、選擇題1. 【2015高考廣東，理8】若空間中個(gè)不同的點(diǎn)兩兩距離都相等，則正整數(shù)的取值（ ） A大于5 B. 等于5 C. 至多等于4 D. 至多等于3【答案】【解析】顯然正三角形和正四面體的頂點(diǎn)是兩兩距離相等的，即或時(shí)命題成立，由此可排除、，故選【考點(diǎn)定位】空間想象能力，推理能力，含有量詞命題真假的判斷【名師點(diǎn)睛】本題主要考查學(xué)生的空間想象能力，推理求解能力和含有量詞命題真假的判斷，此題屬于中高檔題，如果直接正面解答比較困難，考慮到是選擇題及選項(xiàng)信息可以根據(jù)平時(shí)所積累的平面幾何、空間幾何知識(shí)進(jìn)行排除則不難得出正確

2、答案，由于時(shí)易知正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)是兩兩距離相等的從而可以排除、，又當(dāng)時(shí)易知正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)也是兩兩距離相等的從而可以排除2. 【2014福建,理10】用代表紅球，代表藍(lán)球，代表黑球，由加法原理及乘法原理，從1個(gè)紅球和1個(gè)籃球中取出若干個(gè)球的所有取法可由的展開(kāi)式表示出來(lái)，如：“1”表示一個(gè)球都不取、“”表示取出一個(gè)紅球，面“”用表示把紅球和籃球都取出來(lái).以此類(lèi)推，下列各式中，其展開(kāi)式可用來(lái)表示從5個(gè)無(wú)區(qū)別的紅球、5個(gè)無(wú)區(qū)別的藍(lán)球、5個(gè)有區(qū)別的黑球中取出若干個(gè)球，且所有的籃球都取出或都不取出的所有取法的是A. B.C. D.【答案】A考點(diǎn)：1.新定義.2.二項(xiàng)式展開(kāi)式.【名師點(diǎn)睛】解決本題的關(guān)

3、鍵是讀懂題意，盯住關(guān)鍵字眼，就可以快速破解，如5個(gè)無(wú)區(qū)別的籃球都取出或都不取出，有種不同取法，看選項(xiàng)沒(méi)有這一項(xiàng)的，直接排除，由此可排除B，C，D，故選A.3.【2014山東.理4】 用反證法證明命題“設(shè)為實(shí)數(shù)，則方程至少有一個(gè)實(shí)根”時(shí)，要做的假設(shè)是（ ）A. 方程沒(méi)有實(shí)根 B.方程至多有一個(gè)實(shí)根C.方程至多有兩個(gè)實(shí)根 D.方程恰好有兩個(gè)實(shí)根【答案】【名師點(diǎn)睛】本題考查反證法.解答本題關(guān)鍵是理解反證法的含義，明確至少有一個(gè)的反面是一個(gè)也沒(méi)有.本題屬于基礎(chǔ)題，難度較小.4.【2015高考浙江，理6】設(shè)，是有限集，定義，其中表示有限集A中的元素個(gè)數(shù)，命題：對(duì)任意有限集，“”是“ ”的充分必要條件；命

4、題：對(duì)任意有限集，（ ）A. 命題和命題都成立 B. 命題和命題都不成立 C. 命題成立，命題不成立 D. 命題不成立，命題成立 【答案】A.【解析】命題顯然正確，通過(guò)如下文氏圖亦可知表示的區(qū)域不大于的區(qū)域，故命題也正確，故選A.【考點(diǎn)定位】集合的性質(zhì)【名師點(diǎn)睛】本題是集合的閱讀材料題，屬于中檔題，在解題過(guò)程中需首先理解材料中相關(guān)概念與已知的集合相關(guān)知識(shí)點(diǎn)的結(jié)合，即可知命題正確，同時(shí)注重?cái)?shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用，若用韋恩圖表示三個(gè)集合，則可將問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化為比較集合區(qū)域的大小，即可確定集合中元素個(gè)數(shù)大小的比較.5. 【2014年.浙江卷.理8】記，設(shè)為平面向量，則（ ） A. B. C. D.答案：考

5、點(diǎn)：向量運(yùn)算的幾何意義.【名師點(diǎn)睛】本題在處理時(shí)要結(jié)合著向量加減法的幾何意義，將 放在同一個(gè)平行四邊形中進(jìn)行比較判斷，在具體解題時(shí)，本題采用了排除法，對(duì)錯(cuò)誤選項(xiàng)進(jìn)行舉反例說(shuō)明，這是高考中做選擇題的常用方法，也不失為一種快速有效的方法，在高考選擇題的處理上，未必每一題都要寫(xiě)出具體解答步驟，針對(duì)選擇題的特點(diǎn)，有時(shí)“排除法”，“確定法”，“特殊值”代入法等也許是一種更快速，更有有效的方法.6. 【2014高考北京理第8題】學(xué)生的語(yǔ)文、數(shù)學(xué)成績(jī)均被評(píng)為三個(gè)等級(jí)，依次為“優(yōu)秀”“合格”“不合格”.若學(xué)生甲的語(yǔ)文、數(shù)學(xué)成績(jī)都不低于學(xué)生乙，且其中至少有一門(mén)成績(jī)高于乙，則稱(chēng)“學(xué)生甲比學(xué)生乙成績(jī)好”.如果一組學(xué)

6、生中沒(méi)有哪位學(xué)生比另一位學(xué)生成績(jī)好，并且不存在語(yǔ)文成績(jī)相同、數(shù)學(xué)成績(jī)也相同的兩位學(xué)生，那么這組學(xué)生最多有（ ）A2人 B3人 C4人 D5人【答案】B【解析】試題分析：用、分別表示優(yōu)秀、及格和不及格，依題意，事件、中都最多只有一個(gè)元素，所以只有，滿(mǎn)足條件，故選B.考點(diǎn)：合情推理，中等題.【名師點(diǎn)睛】本題考查計(jì)數(shù)問(wèn)題，本題屬于基礎(chǔ)題，但要求學(xué)生對(duì)題目中“學(xué)生甲比學(xué)生乙成績(jī)好”這個(gè)定義要讀懂，還考查學(xué)生的分析問(wèn)題的能力.7. 【2015高考北京，理8】汽車(chē)的“燃油效率”是指汽車(chē)每消耗1升汽油行駛的里程，下圖描述了甲、乙、丙三輛汽車(chē)在不同速度下的燃油效率情況. 下列敘述中正確的是（ ）A消耗1升汽油

7、，乙車(chē)最多可行駛5千米B以相同速度行駛相同路程，三輛車(chē)中，甲車(chē)消耗汽油最多C甲車(chē)以80千米/小時(shí)的速度行駛1小時(shí)，消耗10升汽油D某城市機(jī)動(dòng)車(chē)最高限速80千米/小時(shí). 相同條件下，在該市用丙車(chē)比用乙車(chē)更省油【答案】D【解析】“燃油效率”是指汽車(chē)每消耗1升汽油行駛的里程，A中乙車(chē)消耗1升汽油，最多行駛的路程為乙車(chē)圖象最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)值，A錯(cuò)誤；B中以相同速度行駛相同路程，甲燃油效率最高，所以甲最省油，B錯(cuò)誤，C中甲車(chē)以80千米/小時(shí)的速度行駛1小時(shí)，甲車(chē)每消耗1升汽油行駛的里程10km,行駛80km，消耗8升汽油，C錯(cuò)誤，D中某城市機(jī)動(dòng)車(chē)最高限速80千米/小時(shí). 由于丙比乙的燃油效率高，相同條件下

8、，在該市用丙車(chē)比用乙車(chē)更省油,選D.考點(diǎn)：本題考點(diǎn)定位為函數(shù)應(yīng)用問(wèn)題，考查學(xué)生對(duì)新定義“燃油效率”的理解和對(duì)函數(shù)圖象的理解.【名師點(diǎn)睛】本題考查對(duì)新定義“燃油效率”的理解和讀圖能力，本題屬于中等題，有能力要求，貼近學(xué)生生活，要求按照“燃油效率”的定義，汽車(chē)每消耗1升汽油行駛的里程，可以斷定“燃油效率”高的車(chē)省油，相同的速度條件下，“燃油效率”高的汽車(chē)，每消耗1升汽油行駛的里程必然大，需要學(xué)生針對(duì)四個(gè)選擇只做出正確判斷.8.【2014年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試湖北卷6】若函數(shù)、滿(mǎn)足，則稱(chēng)、在區(qū)間上的一組正交函數(shù)，給出三組函數(shù)：；.其中為區(qū)間的正交函數(shù)的組數(shù)是（ ）A.0 B.1 C.2 D.

9、3【答案】C考點(diǎn)：新定義題型，微積分基本定理的運(yùn)用，容易題.【名師點(diǎn)睛】以高等數(shù)學(xué)中的正交函數(shù)為載體，重點(diǎn)考查微積分基本定理的應(yīng)用，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的應(yīng)用能力，能較好的考查學(xué)生識(shí)記和理解數(shù)學(xué)基本概念的能力、基礎(chǔ)知識(shí)在實(shí)際問(wèn)題中的運(yùn)用能力以及較強(qiáng)的數(shù)學(xué)計(jì)算能力.9. 【2014年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試湖北卷8】算數(shù)書(shū)竹簡(jiǎn)于上世紀(jì)八十年代在湖北省江陵縣張家山出土，這是我國(guó)現(xiàn)存最早的有系統(tǒng)的數(shù)學(xué)典籍，其中記載有求“囷蓋”的術(shù)：置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一.該術(shù)相當(dāng)于給出了由圓錐的底面周長(zhǎng)與高，計(jì)算其體積的近似公式它實(shí)際上是將圓錐體積公式中的圓周率近似取為3.那么近似公式相當(dāng)

10、于將圓錐體積公式中的近似取為（ ）A. B. C. D.【答案】B【解析】試題分析：設(shè)圓錐底面圓的半徑為，高為，依題意，所以，即的近似值為，故選B.考點(diǎn)：算數(shù)書(shū)中的近似計(jì)算，容易題.【名師點(diǎn)睛】以數(shù)學(xué)史為背景，重點(diǎn)考查圓錐的體積計(jì)算問(wèn)題，其解題的關(guān)鍵是讀懂文字材料，正確理解題意，建立方程關(guān)系.充分體現(xiàn)了方程思想在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，能較好的考查學(xué)生運(yùn)用基礎(chǔ)知識(shí)的能力和簡(jiǎn)單近似計(jì)算能力.10. 【2015高考湖北，理9】已知集合，定義集合，則中元素的個(gè)數(shù)為（ ）A77 B49 C45 D30【答案】C【考點(diǎn)定位】1.集合的相關(guān)知識(shí)，2.新定義題型.【名師點(diǎn)睛】新定義題型的特點(diǎn)是：通過(guò)給出一個(gè)新概念

11、，或約定一種新運(yùn)算，或給出幾個(gè)新模型來(lái)創(chuàng)設(shè)全新的問(wèn)題情景，要求考生在閱讀理解的基礎(chǔ)上，依據(jù)題目提供的信息，聯(lián)系所學(xué)的知識(shí)和方法，實(shí)現(xiàn)信息的遷移，達(dá)到靈活解題的目的.二、填空題1. 【2014課標(biāo)，理14】甲、乙、丙三位同學(xué)被問(wèn)到是否去過(guò)三個(gè)城市時(shí)， 甲說(shuō)：我去過(guò)的城市比乙多，但沒(méi)去過(guò)城市； 乙說(shuō)：我沒(méi)去過(guò)城市. 丙說(shuō)：我們?nèi)齻€(gè)去過(guò)同一城市. 由此可判斷乙去過(guò)的城市為_(kāi)【答案】A【解析】由丙說(shuō)可知，乙至少去過(guò)A,B,C中的一個(gè)城市，由甲說(shuō)可知，甲去過(guò)A,C且比乙去過(guò)的城市多，故乙只去過(guò)一個(gè)城市，且沒(méi)去過(guò)C城市，故乙只去過(guò)A城市【考點(diǎn)定位】推理【名師點(diǎn)睛】本題主要考查了命題的邏輯分析、簡(jiǎn)單的合情推

12、理, 題目設(shè)計(jì)巧妙，解題時(shí)要抓住關(guān)鍵,逐步推斷,本題主要考查考生分析問(wèn)題，解決問(wèn)題的能力.2. 【2014山東.理15】已知函數(shù)，對(duì)函數(shù),定義關(guān)于的對(duì)稱(chēng)函數(shù)為函數(shù)，滿(mǎn)足：對(duì)于任意，兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，若是關(guān)于的“對(duì)稱(chēng)函數(shù)”，且恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_.【答案】【名師點(diǎn)睛】本題考查閱讀理解能力、學(xué)習(xí)能力、運(yùn)算能力、直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系.解答本題的關(guān)鍵，是理解新定義運(yùn)算，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成恒成立，利用數(shù)形結(jié)合思想，再將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系問(wèn)題.本題屬于新定義問(wèn)題，是一道創(chuàng)新能力題，中等難度之上.在考查閱讀理解能力、學(xué)習(xí)能力、運(yùn)算能力、直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系等的同時(shí)，考查轉(zhuǎn)化與化歸思想及數(shù)形結(jié)合思想.

13、3. 【2015高考山東，理11】觀察下列各式： 照此規(guī)律，當(dāng)nN時(shí)， .【答案】 【考點(diǎn)定位】1、合情推理；2、組合數(shù).【名師點(diǎn)睛】本題考查了合情推理與組合數(shù)，重點(diǎn)考查了學(xué)生對(duì)歸納推理的理解與運(yùn)用，意在考查學(xué)生觀察、分析、歸納、推理判斷的能力，關(guān)鍵是能從前三個(gè)特殊的等式中觀察、歸納、總結(jié)出一般的規(guī)律，從而得到結(jié)論.此題屬基礎(chǔ)題.4. 【2016高考新課標(biāo)2理數(shù)】有三張卡片，分別寫(xiě)有1和2，1和3，2和3甲，乙，丙三人各取走一張卡片，甲看了乙的卡片后說(shuō)：“我與乙的卡片上相同的數(shù)字不是2”，乙看了丙的卡片后說(shuō)：“我與丙的卡片上相同的數(shù)字不是1”，丙說(shuō)：“我的卡片上的數(shù)字之和不是5”，則甲的卡片上

14、的數(shù)字是 【答案】1和3【解析】試題分析：由題意分析可知甲的卡片上數(shù)字為1和3，乙的卡片上數(shù)字為2和3，丙卡片上數(shù)字為1和2.考點(diǎn)： 邏輯推理.【名師點(diǎn)睛】邏輯推理即演繹推理，就是從一般性的前提出發(fā)，通過(guò)推導(dǎo)即“演繹”，得出具體陳述或個(gè)別結(jié)論的過(guò)程.演繹推理的邏輯形式對(duì)于理性的重要意義在于，它對(duì)人的思維保持嚴(yán)密性、一貫性有著不可替代的校正作用.邏輯推理包括演繹、歸納和溯因三種方式.5. 【2014高考陜西版理第14題】觀察分析下表中的數(shù)據(jù)： 多面體 面數(shù)（） 頂點(diǎn)數(shù)（) 棱數(shù)（) 三棱錐 5 6 9 五棱錐 6 6 10 立方體 6 8 12猜想一般凸多面體中，所滿(mǎn)足的等式是_.【答案】考點(diǎn)：

15、歸納推理.【名師點(diǎn)晴】本題主要考查的是歸納推理，屬于中檔題，解題時(shí)注意觀察，歸納三棱錐、五棱錐、立方體等幾何體面數(shù)（）、頂點(diǎn)數(shù)（)、棱數(shù)（)之間的關(guān)系，歸納猜想一般凸多面體中，所滿(mǎn)足的等式.當(dāng)然，如果平時(shí)能夠記憶這個(gè)關(guān)系，則可以得到事半功倍的效果6.【2014四川，理15】以表示值域?yàn)镽的函數(shù)組成的集合，表示具有如下性質(zhì)的函數(shù)組成的集合：對(duì)于函數(shù)，存在一個(gè)正數(shù)，使得函數(shù)的值域包含于區(qū)間.例如，當(dāng)，時(shí)，.現(xiàn)有如下命題：設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t“”的充要條件是“，”；函數(shù)的充要條件是有最大值和最小值；若函數(shù)，的定義域相同，且，則；若函數(shù)（，）有最大值，則.其中的真命題有 .（寫(xiě)出所有真命題的序號(hào)）【答

16、案】【考點(diǎn)定位】1、新定義；2、函數(shù)的定義域值域.【名師點(diǎn)睛】新定義問(wèn)題一般先考察對(duì)定義的理解，這時(shí)只需一一驗(yàn)證定義中各個(gè)條件即可.二是考查滿(mǎn)足新定義的函數(shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用，如在某些條件下，滿(mǎn)足新定義的函數(shù)有某些新的性質(zhì)，這也是在新環(huán)境下研究“舊”性質(zhì)，此時(shí)需結(jié)合新函數(shù)的新性質(zhì)，探究“舊”性質(zhì).三是考查綜合分析能力，主要將新性質(zhì)有機(jī)應(yīng)用在“舊”性質(zhì)，創(chuàng)造性證明更新的性質(zhì).7. 【2014年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試湖北卷14】設(shè)是定義在上的函數(shù)，且，對(duì)任意，若經(jīng)過(guò)點(diǎn)，的直線(xiàn)與軸的交點(diǎn)為，則稱(chēng)為關(guān)于函數(shù)的平均數(shù)，記為，例如，當(dāng)時(shí)，可得，即為的算術(shù)平均數(shù).（1） 當(dāng)時(shí)，為的幾何平均數(shù)；（2） 當(dāng)時(shí)，為

17、的調(diào)和平均數(shù)；（以上兩空各只需寫(xiě)出一個(gè)符合要求的函數(shù)即可）【答案】（1）；（2）.考點(diǎn)：兩個(gè)數(shù)的幾何平均數(shù)與調(diào)和平均數(shù)，難度中等.新定義型試題是高考的熱點(diǎn)試題，考生錯(cuò)誤往往有二，其一為不能正確理解題意，將新問(wèn)題轉(zhuǎn)化為所熟悉的數(shù)學(xué)問(wèn)題；其二，不具備歸納、猜想、推理、傳化等數(shù)學(xué)能力.但縱觀湖北近四年高考試題，新定義型試題是必考試題，在專(zhuān)題復(fù)習(xí)中應(yīng)加強(qiáng)訓(xùn)練.【名師點(diǎn)睛】以新定義為背景，以函數(shù)為依托，重點(diǎn)考查兩個(gè)數(shù)的幾何平均數(shù)與調(diào)和平均數(shù)，涉及構(gòu)造函數(shù)，充分體現(xiàn)了函數(shù)思想在高中數(shù)學(xué)中的重要地位，其易錯(cuò)點(diǎn)有二，其一為不能正確理解題意，將新問(wèn)題轉(zhuǎn)化為所熟悉的數(shù)學(xué)問(wèn)題；其二，不具備歸納、猜想、推理、傳化等數(shù)

18、學(xué)能力.8.【2015高考福建，理15】一個(gè)二元碼是由0和1組成的數(shù)字串 ，其中 稱(chēng)為第位碼元，二元碼是通信中常用的碼，但在通信過(guò)程中有時(shí)會(huì)發(fā)生碼元錯(cuò)誤（即碼元由0變?yōu)?，或者由1變?yōu)?），已知某種二元碼 的碼元滿(mǎn)足如下校驗(yàn)方程組： 其中運(yùn)算 定義為：現(xiàn)已知一個(gè)這種二元碼在通信過(guò)程中僅在第 位發(fā)生碼元錯(cuò)誤后變成了1101101，那么利用上述校驗(yàn)方程組可判定 等于 【答案】【解析】由題意得相同數(shù)字經(jīng)過(guò)運(yùn)算后為，不同數(shù)字運(yùn)算后為由可判斷后個(gè)數(shù)字出錯(cuò)；由可判斷后個(gè)數(shù)字沒(méi)錯(cuò)，即出錯(cuò)的是第個(gè)或第個(gè)；由可判斷出錯(cuò)的是第個(gè)，綜上，第位發(fā)生碼元錯(cuò)誤【考點(diǎn)定位】推理證明和新定義【名師點(diǎn)睛】本題以二元碼為背景考查

19、新定義問(wèn)題，解決時(shí)候要耐心讀題，并分析新定義的特點(diǎn)，按照所給的數(shù)學(xué)規(guī)則和要求進(jìn)行邏輯推理和計(jì)算等，從而達(dá)到解決問(wèn)題的目的，三、解答題1. 【2014高考北京理第20題】（本小題滿(mǎn)分13分）對(duì)于數(shù)對(duì)序列，記，其中表示和兩個(gè)數(shù)中最大的數(shù).（1）對(duì)于數(shù)對(duì)序列，求的值；（2）記為，四個(gè)數(shù)中最小的數(shù)，對(duì)于由兩個(gè)數(shù)對(duì)組成的數(shù)對(duì)序列和，試分別對(duì)和兩種情況比較和的大??；（3）在由五個(gè)數(shù)對(duì)組成的所有數(shù)對(duì)序列中，寫(xiě)出一個(gè)數(shù)對(duì)序列使最小，并寫(xiě)出的值.(只需寫(xiě)出結(jié)論).【答案】（1）7,8；（2）無(wú)論還是，都有成立；（3），.【解析】試題分析：根據(jù)條件中的定義，對(duì)于數(shù)對(duì)序列，記，其中表示和兩個(gè)數(shù)中最大的數(shù)，求解.試題

20、解析：依題意，.（3）數(shù)對(duì)序列：（4,6），（11,11），（16,11），（11,8），（5,2）的值最小.，.考點(diǎn)：新定義題型.【名師點(diǎn)睛】近年北京卷理科壓軸題一直為新信息題，本題考查學(xué)生對(duì)新定義的理解能力和使用能力，本題屬于偏難問(wèn)題，反映出學(xué)生對(duì)于新的信息的的理解和接受能力，題目給出新的定義：并對(duì)定義中maxTk1(P)，a1a2ak做出解釋?zhuān)谝徊絿L試對(duì)于數(shù)對(duì)序列P：(2,5)，(4,1)使用定義，求得T1(P)，T2(P)，初步使用定義，加深對(duì)定義的理解，第二步中的比較大小及第三步中的求最值就是在第一步的基礎(chǔ)上的深化研究，畢竟是一個(gè)新的信息題，在一個(gè)全新的環(huán)境下進(jìn)行思維，所以學(xué)生做起來(lái)還是很費(fèi)力的.2. 【2015高考北京，理20】已知數(shù)列滿(mǎn)足：，且記集合（）若，寫(xiě)出集合的所有元素；（）若集合存在一個(gè)元素是3的倍數(shù)，證明：的所有元素都是3的倍數(shù)；（）求集合的元素個(gè)數(shù)的最大值【答案】（1），（2）證明見(jiàn)解析，（3）8（）由于中的元素都不超過(guò)36，由，易得，類(lèi)似可得，其次中的元素個(gè)數(shù)最多除了前面兩個(gè)數(shù)外，都是4的倍數(shù)，因?yàn)榈诙€(gè)數(shù)必定為偶數(shù)，由的定義可知，第三個(gè)數(shù)及后面的數(shù)必定是4的倍數(shù)，另外，M中的數(shù)除以9的余數(shù),由定義可知，和除以9的余數(shù)一樣，若中有3的倍數(shù)，由（2）知