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1、求點(diǎn)的軌跡方程的教學(xué)實(shí)踐與反思新課程理念下的一堂高三復(fù)習(xí)課高三復(fù)習(xí)中,如何在新的課改理念的指導(dǎo)下,更新觀念,轉(zhuǎn)換角色,調(diào)整教學(xué)策略,提高課堂教學(xué)的有效性,全面發(fā)展學(xué)生能力,是我們每個(gè)教師應(yīng)關(guān)注的問(wèn)題,本人就求點(diǎn)的軌跡方程一課,在課堂教學(xué)中如何落實(shí)雙基與發(fā)展學(xué)生的能力作了一些嘗試。課前設(shè)計(jì):教學(xué)目標(biāo):知識(shí)與技能:1 .能從課前練習(xí)中歸納求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程的四種常用方法:直接法、定義法、相 關(guān)點(diǎn)代入法、參數(shù)法;2 .注意求軌跡方程問(wèn)題中的易出錯(cuò)誤,注意方程的純粹性和完備性;3 .能選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄇ筌壽E方程。過(guò)程與方法:1 .進(jìn)一步強(qiáng)化類比聯(lián)想的方法,領(lǐng)會(huì)方程,數(shù)形結(jié)合,分類討論等數(shù)學(xué)思想;2 .培養(yǎng)
2、思維的靈活性和嚴(yán)密性;3 .學(xué)會(huì)在求軌跡時(shí),如何思考問(wèn)題。情感態(tài)度價(jià)值觀:1 .感受動(dòng)點(diǎn)軌跡的動(dòng)態(tài)美、和諧美、對(duì)稱美;2 .樹(shù)立自信心,激發(fā)提出問(wèn)題和解決問(wèn)題的勇氣。 教學(xué)重點(diǎn):1 .求曲線方程的四種方法:直接法、定義法、相關(guān)點(diǎn)代入法、參數(shù)法;2 .注意求曲線方程的純粹性和完備性教學(xué)難點(diǎn):靈活運(yùn)用求曲線方程的幾何法,代入法。教學(xué)程序與策略:一.問(wèn)題引入:練習(xí):1.已知向量OP與OQ關(guān)于y軸對(duì)稱,且20Pod=1,則點(diǎn)P(x,y)的軌跡方程是 2.AABC中,已知B、C的坐標(biāo)分別為(一3, 0)和(3, 0),且的周長(zhǎng)為16,則頂點(diǎn)A的 軌跡方程為.223.已知點(diǎn)P(x, y)滿足x + y =
3、 4 ,過(guò)P作PF垂直x軸于F點(diǎn),則PF的中點(diǎn)M的軌跡萬(wàn) 程為.224.已知點(diǎn)P(x, y)滿足x +y =4,則點(diǎn)Q(xy, x + y)的軌跡方程為 .學(xué)生解決問(wèn)題,教師巡視,學(xué)生口答并歸納求率喲然四種方法。設(shè)計(jì)意圖:設(shè)置問(wèn)題情境,學(xué)生思考,練習(xí),能理解和掌握求曲線方程的四種常用方法,并 能自我小結(jié),歸納出求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的四種常用高度計(jì)的規(guī)律。二.探索研究:?jiǎn)栴}1:如圖,在AABC中,BC =6若AABC的內(nèi)切圓切BC邊于D點(diǎn)且BD CD = 4 ,建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系,求頂點(diǎn)A的軌跡方程。通過(guò)師生共同分析,掌握問(wèn)題1的解法。設(shè)計(jì)意圖:利用變式教學(xué)根據(jù)約束動(dòng)點(diǎn)變動(dòng)的幾 何條件,利用圓錐曲線
4、的定義得出動(dòng)點(diǎn)軌跡方程, 并注意方程的純粹性。O'點(diǎn)F的直線交拋物線于心G的軌跡方程(其中A、B兩點(diǎn),求AABC重O為坐標(biāo)原點(diǎn))。F問(wèn)題2:如圖,過(guò)拋物線C : y2 =4x (x#0)的焦師生分析尋求解決問(wèn)題的多種方法。設(shè)計(jì)意圖:如果沒(méi)有找到約束動(dòng)點(diǎn)變化的幾何條件,則解決問(wèn)題的關(guān)鍵是尋找引起變化的原因。三.歸納小結(jié):指導(dǎo)并由學(xué)生自我小結(jié)。求曲線方程的步驟。求曲線方程的常用方法。本節(jié)課滲透的數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)實(shí)錄:出示練習(xí)并由學(xué)生單獨(dú)完成,并請(qǐng)一位同學(xué)口答O O 1生 1:練 1: y - x2 =222練 2: x +匕=125162練 3: + y2 =14師:有沒(méi)有同學(xué)需要補(bǔ)充?生
5、2: 1, 3兩題答案是對(duì)的,2, 4兩題的答案不完整,結(jié)論中少了限制條件。練 2應(yīng)該加上y ¥0,練4要加上2 MX M2。師:為什么要加上這些限制條件?生2:練4中,因?yàn)辄c(diǎn)P在圓上,所以應(yīng)該有 2 < X<2這個(gè)限制條件。練 2中,因?yàn)楫?dāng)A、B、C共線時(shí),不能構(gòu)成三角形,所以應(yīng)該有y¥0這個(gè)條件。師:我再提個(gè)問(wèn)題,這4個(gè)練習(xí)分別用了求軌跡方程中的什么方法,求軌跡方程的步驟是什么?生3:求軌跡方程的過(guò)程,應(yīng)體現(xiàn)五個(gè)步驟,它們是:建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系,設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo);有根據(jù)限制條件寫(xiě)出動(dòng)點(diǎn)的集合坐標(biāo)代入;化簡(jiǎn)方程;說(shuō)明坐標(biāo)滿足方程的點(diǎn)在曲線上。4個(gè)練習(xí)中,1是直接法
6、,2是定義法,3是相關(guān)點(diǎn)代入法,4是參數(shù)法。師:口答得很好,在這 5個(gè)步驟中你們認(rèn)為最關(guān)鍵的是哪一步?生4:是第2步,寫(xiě)出約束動(dòng)點(diǎn)變化的限制條件,將此條件轉(zhuǎn)化為代數(shù)形式,就可以得出動(dòng) 點(diǎn)的軌跡方程了。師:很好,找出約束動(dòng)點(diǎn)變化的限制條件是求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的關(guān)鍵!在求解此類問(wèn)題時(shí)要有找“限制條件的意識(shí)”。教師把練2中的條件改變一下,接著提問(wèn)題。出示問(wèn)題1,學(xué)生思考,解答,教師巡視。學(xué)生解答過(guò)程用多媒體展示,現(xiàn)摘錄其一。生5:以BC所在直線為X軸,以BC的中垂線為y軸建立如圖所示直角坐標(biāo)系。B(-3,0).C(3,0)丁 BD - CD = 4 ,二 AB - AC = 4,二動(dòng)點(diǎn)A的軌跡是B、C以
7、為焦點(diǎn)的雙曲線 的右支,22二方程為+=1(X >2)。45師:你是如何得出 ,AB - AC =4?生5:設(shè)D、E、F是。'與相切的切點(diǎn),BD = BE , CD =|CF , AE =|AF ,:.AB - AC = BE - CF = BD CD c師:動(dòng)點(diǎn)A的軌跡為什么不是整支雙曲線?生5:這個(gè)約束條件不是雙曲線的定義,是雙曲線的一個(gè)分支。師:回答得很好。如果限制條件符合自己已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)的曲線定義,則可以比較容易地寫(xiě)出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程,如果限制條件不符合圓錐曲線的定義,又如何解決這類問(wèn)題呢?繼續(xù)出示問(wèn)題2,請(qǐng)同學(xué)思考,請(qǐng)一個(gè)學(xué)生回答。生6:設(shè)直線AB的方程為y = k(x1)
8、,設(shè) A(xi, yi), B(X2, y2),G(x, y)。y = k(x -1)、y2 = 4x2 2_ 22.k x -(2k4)x k =0 ;-4x1 x2 =2 k2又丁 G是AABC的重心,x=x乂2 二3.yiy243k消去k ,得點(diǎn)G的軌跡方程是4x 8一 o393師:解法對(duì)嗎?大家說(shuō)說(shuō)看。生7:直線AB可以垂直x軸,這個(gè)問(wèn)題有一定難度,問(wèn)兩條動(dòng)直線的交點(diǎn)的軌跡。教師借助幾何畫(huà)板的演示,所以k有可能不存在。解題時(shí)要分為兩種情況。當(dāng) k不存在2 c時(shí)AB: x =1 ,二G(g,0)滿足所求方程。生8:設(shè)直線AB的方程為:x = my +1,則可以避免對(duì)直線 AB的斜率的討論
9、,結(jié)論和方法都不會(huì)改變。師;你真聰明。本題與問(wèn)1的題設(shè)條件不一樣,不易寫(xiě)出動(dòng)點(diǎn)G在變動(dòng)時(shí)所滿足的幾何條件, 但卻容易看出,直線繞焦點(diǎn)F轉(zhuǎn)動(dòng)是引起點(diǎn) G變動(dòng)的原因。因些,我們可以用直線的斜率過(guò)渡,建立起 G橫、縱坐標(biāo)之間的聯(lián)系,也就是動(dòng)點(diǎn)G的軌跡方程。接下來(lái),教師繼續(xù)改變問(wèn)題。22問(wèn)題3:已知橢圓工+1=1的一動(dòng)弦pp2與長(zhǎng)軸AB垂直,且AR與BP2相交于點(diǎn)Q,25 16求點(diǎn)Q的軌跡方程。2是直線AB繞F點(diǎn)旋轉(zhuǎn)引起變化,現(xiàn)在是動(dòng)直線 P1P2平移,求讓學(xué)生觀察、討論,尋求解題途徑,幾分鐘后,有學(xué)生舉手回答。生 9:設(shè) Q(x, y), P1(xo, yo), P2(xo,-yo) 則APi的方程
10、為:y =y(x+5);X05 y0BP2 的方程為:y="一(x5)5 -'xo225x0 =兩直線的交點(diǎn)為 Q(x,y),聯(lián)立方程組,解得x5yyo =L.x22x y又一點(diǎn)Pi在橢圓上,一代入橢圓方程得 =12516師:為什么先設(shè) PnPz點(diǎn)的坐標(biāo)呢?生9:因?yàn)橹本€P1P2是引起動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的原因。師:這樣說(shuō)來(lái),尋找到了引起動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的原因是解決問(wèn)題的關(guān)鍵。很好。如果把橢圓2222二十匕=1改為與+ L =1(a Ab A0),其余條件不變,則 Q點(diǎn)的軌跡方程是什么?25 16a2 b222若將橢圓類比到雙曲線 x-匕=1,試寫(xiě)出類似的結(jié)論。25 162222生10:在與+
11、y2=1(a Ab >0)的條件下,軌跡方程為 三一4=1, a ba b22類比為雙曲線,則軌跡方程為 3+匕=1。25 16教師用幾何畫(huà)板演示,驗(yàn)證結(jié)論的正確性。師:現(xiàn)在我們回顧剛才幾個(gè)問(wèn)題的解題過(guò)程,當(dāng)你在遇到求點(diǎn)的軌跡方程問(wèn)題時(shí),你該從何思考?生11:首先應(yīng)該看一看,根據(jù)題意是否能找出約束動(dòng)點(diǎn)變動(dòng)的限制條件,如果有,則可以直接把幾何條件用代數(shù)形式表示出來(lái),如果限制條件是我們熟悉的曲線形狀,就可以直接根據(jù)定義寫(xiě)出它的方程。生12:尋找約束動(dòng)點(diǎn)的限制條件是關(guān)鍵,如果題中沒(méi)有約束動(dòng)點(diǎn)變化的限制條件,我們就 要尋找動(dòng)因。師:大家都談得很好,我們?cè)谇簏c(diǎn)的軌跡方程問(wèn)題時(shí),通??梢詮南旅鎯蓷l思
12、路來(lái)思考。一是題中是否可以找到約束動(dòng)點(diǎn)變化的限制條件,如果有,而且曲線形狀還是我們熟悉的,我們就可以直接寫(xiě)出方程。 如果有,但曲線形狀是未知的, 我們就可以利用求軌跡方程的五 個(gè)步驟去探求。二是尋找引起動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的原因。如果動(dòng)因找到了,我們就可以將動(dòng)因與所求動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)建立起 聯(lián)系,從而解決問(wèn)題。 教后反思: 一強(qiáng)調(diào)基礎(chǔ)知識(shí)這節(jié)課是一堂高三復(fù)習(xí)課, 學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了曲線方程的概念, 求曲線的方程的步驟等基礎(chǔ)知識(shí), 設(shè)計(jì)中我以 4 個(gè)填空題作為基本問(wèn)題, 學(xué)生通過(guò)對(duì)4 個(gè)填空題的分析解答, 找到求點(diǎn)的軌跡方程的 4 種方法。 一方面加深了對(duì)曲線和方程概念的理解、 記憶和運(yùn)用基礎(chǔ)知識(shí)的目的,另一方面也鞏固
13、了求曲線方程的基本方法。二重視基本技能訓(xùn)練在課堂教學(xué)中要落實(shí)雙基教學(xué), 讓學(xué)生熟練地掌握基本技能, 必須將基本技能由淺入深、由低到高、 由簡(jiǎn)單到復(fù)雜, 形成系列, 先讓學(xué)生運(yùn)用基礎(chǔ)知識(shí)和基本熱能解決一些簡(jiǎn)單的基本問(wèn)題, 最后綜合和靈活運(yùn)用它們解決一些較復(fù)雜的問(wèn)題, 本節(jié)課中, 求曲線的軌跡方程的熱能訓(xùn)練有三個(gè)層次:1. 運(yùn)用求點(diǎn)的軌跡方程的常用方法解決簡(jiǎn)單的基本問(wèn)題(如練習(xí))2. 運(yùn)用求點(diǎn)的軌跡方程的常用方法解決一般的軌跡問(wèn)題(如問(wèn) 1 )3. 靈活運(yùn)用點(diǎn)的軌跡方程的方法解決較復(fù)雜的軌跡問(wèn)題三教學(xué)生“學(xué)會(huì)思考”在高三階段,相對(duì)來(lái)說(shuō),學(xué)生缺少的主要是“能力”一一知識(shí)運(yùn)用的能力、分析問(wèn)題的能力、
14、解決問(wèn)題的能力。 所以, 我們要始終把對(duì)學(xué)生能力的培養(yǎng)、 提高放在十分重要的位置,因此在本堂課的設(shè)計(jì)中, 把求軌跡問(wèn)題思考的出發(fā)點(diǎn)作為本課的核心內(nèi)容。 通過(guò)本課的復(fù)習(xí),力求使學(xué)生在遇到求軌跡問(wèn)題時(shí), 學(xué)會(huì)自己思考問(wèn)題, 知道自己該如何下手, 而不是利用各種方法進(jìn)行簡(jiǎn)單機(jī)械地操作, 設(shè)計(jì)問(wèn) 1 力求培養(yǎng)學(xué)生縱向思維和橫向思維, 提升學(xué)生分析問(wèn)題,解決問(wèn)題的能力。問(wèn) 3 中設(shè)計(jì)了研究性問(wèn)題, 使得學(xué)生不僅要復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí),還需要通過(guò)復(fù)習(xí)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題進(jìn)而解決問(wèn)題, 著重培養(yǎng)學(xué)生類比、 推廣等探究能力, 整堂課強(qiáng)調(diào)過(guò)程教學(xué)、啟發(fā)思維,調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性,讓學(xué)生真正參與其中。四如何實(shí)施解題教學(xué)解題教學(xué)在高三總復(fù)習(xí)中占有相當(dāng)?shù)谋戎亍?在解題教學(xué)中, 必須讓學(xué)生養(yǎng)成良好的習(xí)慣,強(qiáng)調(diào)表達(dá)規(guī)范。這里包括審題規(guī)范、語(yǔ)言表達(dá)規(guī)范、答案規(guī)范,因
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