二次函數(shù)壓軸題解題技巧

1、與二次函數(shù)有關(guān)壓軸題解題技巧練習(xí)一、 動態(tài)：動點、動線套路：化動為靜，建立所求量和動點的關(guān)系1.如圖，拋物線與 x軸交于A(X1, 0)、B(X2, 0)兩點，且XiX2,與y軸交于點C(0, 4),其中x1、x?是方程 x2-2x-8=0的兩個根.(1)求這條拋物線的解析式；(2)點P是線段AB上的動點，過點P作PE /AC,交BC于點E,連接CP,當(dāng)4CPE的面積最大時，求點P的坐標(biāo);(3)探究：若點Q是拋物線對稱軸上的點，是否存在這樣的點Q,使4QBC成為等腰三角形？若存在，請直接寫出所有符合條件的點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.22.如圖，已知拋物線 y=ax +bx+c(a # 0

2、)的頂點坐標(biāo)為 Q(2,-1 ),且與y軸交于點C(0,3),與x軸交于A、B兩點(點A在點B的右側(cè))，點P是該拋物線上一動點，從點C沿拋物線向點A運(yùn)動(點P與A不重合)，過點P作PD/ y軸，交AC于點D.(1)求該拋物線的函數(shù)關(guān)系式；V(2)當(dāng)那DP是直角三角形時，求點 P的坐標(biāo)；N/在問題(2)的結(jié)論下，若點 E在x軸上，點F在拋物線上，問是否存在以 A、P、E、F 為頂點的平行四邊形？若存在，求點F的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.1 3 .如圖，RtAABC中，/ C=90, BC=6, AC=8.點P, Q都是斜邊 AB上的動點，點 P從B向A運(yùn)動(不與點 B 重合)，點 Q從A向B運(yùn)

3、動，BP=AQ.點D, E分別是點 A, B以Q, P為對稱中心的對稱點，HQLAB于Q,交AC于點H.當(dāng)點E到達(dá)頂點A時，P, Q同時停止運(yùn)動.設(shè) BP的長為x, AHDE的面積為y.(1)求證：DHQsabc；(2)求y關(guān)于x的函數(shù)解析式并求 y的最大值;(3)當(dāng)x為何值時，4HDE為等腰三角形?4 .如圖1,已知矩形ABCD的頂點A與點O重合，AD、AB分別在x軸、y軸上，且AD= 2, AB= 3;拋物線y = -x2 +bx + c 經(jīng)過坐標(biāo)原點 。和x軸上另一點E (4,0)(1)當(dāng)x取何值時，該拋物線的最大值是多少？(2)將矩形ABCD以每秒1個單位長度的速度從圖 1所示的位置沿

4、x軸的正方向勻速平行移動，同時一動點P也以相同的速度從點 A出發(fā)向B勻速移動.設(shè)它們運(yùn)動的時間為t秒(0qw$ ,直線AB與該拋物線的交 點為N (如圖2所示).11 當(dāng)t時，判斷點P是否在直線 ME上，并說明理由；以P、N、C、D為頂點的多邊形面積是否可能為5,若有可能，求出此時 N點的坐標(biāo)；若無可能，請說明理由.15ABCD是菱形時，試判斷點 C和點D是否在該拋M作MN平行于y軸交CD于點N.設(shè)點M的5.如圖，Rt區(qū)BO的兩直角邊 OA、OB分別在x軸的負(fù)半軸和y軸的正半軸上，O為坐標(biāo)原點，A、B兩點的坐標(biāo)2 o5分別為(3,0)、( 0, 4),拋物線y =-x2 +bx+c經(jīng)過B點，且

5、頂點在直線 x=-.3 2(1)求拋物線對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式;(2)若4DCE是由BO沿x軸向右平移得到的，當(dāng)四邊形 物線上，并說明理由；(3)若M點是CD所在直線下方該拋物線上的一個動點，過點橫坐標(biāo)為t, MN的長度為l.求l與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并求6.已知二次函數(shù) y =ax2 +bx+c的圖象經(jīng)過點 A(3, 0), B(2, -3), C(0, -3).(1)求此函數(shù)的解析式及圖象的對稱軸;(2)點P從B點出發(fā)以每秒0.1個單位的速度沿線段 BC向C點運(yùn)動，點Q從O點出發(fā)以相同的速度沿線段OA向A點運(yùn)動，其中一個動點到達(dá)端點時，另一個也隨之停止運(yùn)動.設(shè)運(yùn)動時間為t秒.當(dāng)t為何值時，四邊形

6、 ABPQ為等腰梯形；設(shè)PQ與對稱軸的交點為 M,過M點作x軸的平行線交 AB于點N,設(shè)四邊形 ANPQ的面積為S,求面積S關(guān)于時間t的函數(shù)解析式，并指出 t的取值范圍；當(dāng)t為何值時，S有最大值或最小值.7.已知：把RtAABC和RtDEF按如圖(1)擺放(點 C與點E重合)，點 B、C (E)、F在同一條直線上./ACB = / EDF = 90, /DEF = 45 , AC = 8 cm , BC = 6 cm , EF = 9 cm .如圖(2) , ADEF從圖(1)的位置出發(fā)，以 1 cm/s的速度沿CB向祥BC勻速移動，在 4DEF移動的同時， 點P從那BC的頂點B出發(fā)，以2 c

7、m/s的速度沿BA向點A勻速移動.當(dāng)4DEF的頂點D移動到AC邊上時，ADEF 停止移動，點P也隨之停止移動.DE與AC相交于點Q,連接PQ,設(shè)移動時間為t (s) (0Vt4.5).解答下列 問題：(1)當(dāng)t為何值時，點A在線段PQ的垂直平分線上？(2)連接PE,設(shè)四邊形APEC的面積為y (cm2),求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式；是否存在某一時刻t,使面積y最?。咳舸嬖?，求出 y的最小值；若不存在，說明理由.(3)是否存在某一時刻t,使P、Q、F三點在同一條直線上？若存在，求出此時t的值；若不存在，說明理由.二、比例比值取值范圍套路：化比例為等量關(guān)系，列式求解28 .如圖是二次函數(shù) y = (

8、x+m) +k的圖象，其頂點坐標(biāo)為 M(1,-4).(1)求出圖象與x軸的交點A,B的坐標(biāo)；5(2)在一次函數(shù)的圖象上是否存在點P,使S4AB =5SwA3 ,若存在，求出P點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由;(3)將二次函數(shù)的圖象在 x軸下方的部分沿x軸翻折，圖象的其余部分保持不變，得到一個新的圖象，請你結(jié)合這個新的圖象回答：當(dāng)直線y =x + b(b 1)與此圖象有兩個公共點時，b的取值范圍.29 .在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，拋物線y = ax +bx+c與x軸父于 A B兩點(點A在點B的左側(cè))，與y軸父于點C,點A的坐標(biāo)為(7Q),若將經(jīng)過A、C兩點的直線y=kx+b沿y軸向下平移3個單

9、位后恰好經(jīng)過原點，且拋物線的對稱軸是直線 x = -2 .(1)求直線AC及拋物線的函數(shù)表達(dá)式； 如果P是線段AC上一點，設(shè) MBP、ABPC的面積分別為S&BP、S作PC ,且S&BP ： S揩PC =2:3，求 點P的坐標(biāo)；(3)設(shè)LQ的半徑為1,圓心Q在拋物線上運(yùn)動，則在運(yùn)動過程中是否存在 L Q與坐標(biāo)軸相切的情況？若存在，求出圓心Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.并探究：若設(shè)。Q的半徑為r ,圓心Q在拋物線上運(yùn)動，則當(dāng) r取何值時，O Q與兩坐軸同時相切？10 .如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形 OABC的兩邊分別在x軸和y軸上，OA = 8/2 cm, OC=8cm,現(xiàn)有兩動點 P、Q分

10、別從O、C同時出發(fā)，P在線段OA上沿OA方向以每秒 J2 cm的速度勻速運(yùn)動，Q在線段CO上沿 CO方向以每秒1 cm的速度勻速運(yùn)動.設(shè)運(yùn)動時間為t秒.(1)用t的式子表示4OPQ的面積S;(2)求證：四邊形 OPBQ的面積是一個定值，并求出這個定值；(3)當(dāng)4OPQ與APAB和AQPB相似時，拋物線y=lX2+bX + C經(jīng)過B、P兩點，過線段BP上一動點M作y軸 4的平行線交拋物線于 N,當(dāng)線段MN的長取最大值時，求直線 MN把四邊形OPBQ分成兩部分的面積之比.11 .如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A的坐標(biāo)為(1, J3) , AAOB的面積是 石.(1)求點B的坐標(biāo)；(2)求過點A、0、

11、B的拋物線的解析式；(3)在(2)中拋物線的對稱軸上是否存在點C,使90C的周長最??？若存在，求出點 C的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；(4)在(2)中，X軸下方的拋物線上是否存在一點P,過點P作X軸的垂線，交直線AB于點D,線段0D把90B分成兩個三角形.使其中一個三角形面積與四邊形BPOD面積比為2: 3 ?若存在，求出點 P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.12 .如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y =ax2 +bx+c交x軸于A(2,0), B(6,0)兩點，交y軸于點C(0,23).(1)求此拋物線的解析式;(2)若此拋物線的對稱軸與直線 y =2x交于點D,作OD與x軸相切，交y軸于

12、點E、F兩點，求劣弧 EF的長；(3) P為此拋物線在第二象限圖像上的一點， PG垂直 于x軸，垂足為點 G,試確定P點的位置，使得 APGA 的面積被直線 AC分為1 : 2兩部分.三、 探究型套路：分類討論，不重復(fù)，不遺漏。13 .如圖，直線y =3*+3交*軸于A點，交y軸于B點，過A、B兩點的拋物線交x軸于另一點C (3,0)求拋物線的解析式； 在拋物線的對稱軸上是否存在點 Q,使那BQ是等腰三角形?若存在，求出符合條件的 Q點坐標(biāo)；若不存在，請說明理由 .14 .如圖，點A在x軸上，OA=4,將線段OA繞點O順時針旋轉(zhuǎn)120 至OB的位置.(1)求點B的坐標(biāo)；(2)求經(jīng)過點A、O、B

13、的拋物線的解析式；(3)在此拋物線的對稱軸上，是否存在點P,使得以點P、O、B為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，求點P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.15 .在平面直角坐標(biāo)系中，現(xiàn)將一塊等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在兩坐標(biāo)軸上，且點 A (0, 2),點C(-1, 0),如圖所示：拋物線 y=ax2+ax-2經(jīng)過點B.(1)求點B的坐標(biāo)；(2)求拋物線的解析式；(3)在拋物線上是否還存在點P (點B除外)，使9CP仍然是以AC為直角邊的等腰直角三角形？若存在，求所有點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.16 .已知：如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，矩形OABC的邊OA在y軸的正半軸上，OC

14、在x軸的正半軸上，OA =2, OC = 3.過原點 O作/ AOC的平分線交 AB于點D,連接DC,過點D作DE，DC,交OA于點E.(1)求過點E、D、C的拋物線的解析式；(2)將/ EDC繞點D按順時針方向旋轉(zhuǎn)后， 角的一邊與y軸的正半軸交于點 F ,另一邊與線段 OC交于點G.如 果DF與(1)中的拋物線交于另一點 M,點M的橫坐標(biāo)為6 ,那么EF = 2GO是否成立？若成立，請給予5證明；若不成立，請說明理由；(3)對于(2)中的點G,在位于第一象限內(nèi)的該拋物線上是否存在點Q,使得直線GQ與AB的交點P與點C、G構(gòu)成的APCG是等腰三角形？若存在，請求出點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理

15、由.1 217 .如圖，已知拋物線y = x2+bx + c與y軸相父于C,與X軸相父于A、B,點A的坐標(biāo)為(2, 0),點C的坐 2標(biāo)為(0, -1).(1)求拋物線的解析式；(2)點E是線段AC上一動點，過點 E作DE，x軸于點D,連結(jié)DC,當(dāng)4DCE的面積最大時，求點 D的坐標(biāo)；(3)在直線BC上是否存在一點 P,使9CP為等腰三角形，若存在，求點 P的坐標(biāo)，若不存在，說明理由.18 .已知：如圖一次函數(shù)y= 2 x+ 1的圖象與x軸交于點A,與y軸交于點B;二次函數(shù)y= J x2+bx+c的圖象與一次函數(shù)y=x+1的圖象交于B、C兩點，與x軸交于D、E兩點且D點坐標(biāo)為(1, 0)(1)

16、求二次函數(shù)的解析式；(2)求四邊形BDEC的面積S;(3)在x軸上是否存在點 P,使得APBC是以P為直角頂點的直角三角形？若存在，求出所有的點P,若不存在，請說明理由.19 .如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=x2+mx+n經(jīng)過點A (3, 0)、B (0,-3),點P是直線AB上的動點，過點 P作x軸的垂線交拋物線于點M,設(shè)點P的橫坐標(biāo)為t.(1)分別求出直線 AB和這條拋物線的解析式.(2)若點P在第四象限，連接 AM、BM,當(dāng)線段PM最長時，求 那BM的面積.P的橫(3)是否存在這樣的點 P,使得以點P、M、B、。為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，請直接寫出點坐標(biāo)；若不存在，請說明

17、理由.20 .如圖，在平面直角坐標(biāo)系中放置一直角三角板，其頂點為A (0, 1), B (2, 0), O (0, 0),將此三角板繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)90,得到AABO.(1) 一拋物線經(jīng)過點 A、B、B,求該拋物線的解析式；(2)設(shè)點P是在第一象限內(nèi)拋物線上的一動點，是否存在點P,使四邊形PBAB的面積是那BO面積4倍？若存 在，請求出P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.PB AB的兩條性質(zhì).(3)在(2)的條件下，試指出四邊形 PB AB是哪種形狀的四邊形？并寫出四邊形21 .如圖，拋物線 y=x2-2x+c的頂點 A在直線l： y=x-5上.(1)求拋物線頂點 A的坐標(biāo)；(2)設(shè)拋物線與y軸

18、交于點B,與x軸交于點C、D (C點在D點的左側(cè))，試判斷 那BD的形狀；(3)在直線l上是否存在一點 P,使以點P、A、B、D為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求點 P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.四、 最值類套路：建立所求量和未知量的函數(shù)關(guān)系，配方得最值22 .如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y = x2+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點，A點在原點的左側(cè),點的坐標(biāo)為(3, 0),與y軸交于C (0,-3)點，點P是直線BC下方的拋物線上一動點(1)求這個二次函數(shù)的表達(dá)式. 連結(jié)PO、PC,并把APOC沿CO翻折，得到四邊形 POP / C,那么 是否存在點P,使四邊形POP /C為菱形？若存在，請求出此時點 P的坐標(biāo)； 若不存在，請說明理由.(3)當(dāng)點P運(yùn)動到什么位置時， 四邊形ABPC的面積最大并求出此時 P點 的坐標(biāo)和四邊形 ABPC的最大面積.23 .如圖，拋物線 y=-x2+bx- 2與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，且A ( 1, 0) 2求拋物線的解析式及頂點D的坐標(biāo)；判斷3BC的形狀，證明你的結(jié)論；點M(m, 0)是x軸上的一個動點，當(dāng) CM + DM的值最小時，求m的值.24 .如圖，拋物線y=ax2+bx+c (aO