真值原碼反碼補碼詳解和習題

1、原碼、反碼和補碼的概念本節(jié)要求掌握原碼、反碼、補碼的概念知識精講數(shù)值型數(shù)據(jù)的表示按小數(shù)點的處理可分為定點數(shù)和浮點數(shù)；按符號位有原碼、反碼和補碼三種形式的機器數(shù)。一計算機中數(shù)據(jù)的表示方法1、數(shù)的定點與浮點表示在計算機內(nèi)部，通常用兩種方法來表示帶小數(shù)點的數(shù)，即所謂的定點數(shù)和浮點數(shù)。 定點數(shù)：是小數(shù)點在數(shù)中的位置是固定不變的數(shù)，數(shù)的最高位為符號位，小數(shù)點可在符號位之后，也可在數(shù)的末尾，小數(shù)點本身不需要表示出來，它是隱含的。 缺點：只有純小數(shù)或整數(shù)才能用定點數(shù)表示； 浮點數(shù)：小數(shù)點在數(shù)中的位置是浮動的、不固定的數(shù)。一般浮點數(shù)既有整數(shù)部分又有小數(shù)部分，通常對于任何一個二進行制數(shù)，總可以表示成： 

2、7;P×S 、均為二進制數(shù)，為的階碼，一般為定點整數(shù),常用補碼表示，階碼指明小數(shù)點在數(shù)據(jù)中的位置，它決定浮點的表示范圍為N的尾數(shù)，一般為定點小數(shù),常用補碼或原碼表示，尾數(shù)部分給出了浮點數(shù)的有效數(shù)字位數(shù)，它決定了浮點數(shù)的精度，且規(guī)格化浮點數(shù)0.5|S|<；0.1B=( 1/2 )D =( 2-1 )D0.11B=(1/2 + 1/4 )D =( 2-1 + 2-2 )D0.111B=(1/2 + 1/4 + 1/8 )D =( 2-1 + 2-2 + 2-3)D -在計算機中表示一個浮點數(shù)其結(jié)構(gòu)為： 階碼部分 尾數(shù)部分階符階數(shù)尾符尾數(shù)EfE1E2EmSfS1S2Sn假設用八個二進

3、制位來表示一個浮點數(shù)，且階碼部分占4位，其中階符占一位；尾數(shù)部分占4位，尾符也占一位。若現(xiàn)有一個二進制數(shù)N（101100）2可表示為：110×0.1011，則該數(shù)在機器內(nèi)的表示形式為：101100B= 10110B * (21)D101100B= 1011B * (22)D101100B= 101.1B * (23)D101100B= 10.11B * (24)D101100B= 1.011B * (25)D101100B= 0.1011B * (26)D=0.1011B * (2110)B011001101一個浮點形式的尾數(shù)S若滿足0.5|S|1，且尾數(shù)的最高位數(shù)為1，無無效的0，

4、則該浮點數(shù)稱為規(guī)格化數(shù)；規(guī)格化數(shù)可以提高運算的精度。 S為原碼表示，則 S=1規(guī)格化數(shù) S為補碼表示 N為正數(shù)，則S1 N為負數(shù)，則S1 二、原碼、反碼和補碼1、機器數(shù)與真值機器數(shù)：在計算機中數(shù)據(jù)和符號全部數(shù)字化，最高位為符號位，且用0表示正、1表示負，那么把包括符號在內(nèi)的一個二進制數(shù)我們稱為機器數(shù)，機器數(shù)： 有原碼、反碼和補碼三種表示方法。比如，十進制中的數(shù) +3 ，計算機字長為8位，轉(zhuǎn)換成二進制就是00000011。如果是 -3 ，就是 10000011 。 那么，這里的 00000011 和

5、0;10000011 就是機器數(shù)。真值：用“+”、“”號表示的二進制數(shù)。機器數(shù)因為第一位是符號位，所以機器數(shù)的形式值就不等于真正的數(shù)值。例如上面的有符號數(shù) 10000011，其最高位1代表負，其真正數(shù)值是 -3 而不是形式值131（10000011轉(zhuǎn)換成十進制等于131）。所以，為區(qū)別起見，將帶符號位的機器數(shù)對應的真正數(shù)值稱為機器數(shù)的真值。 例：0000 0001的真值 =  +000 0001 = +1， 1000 0001的真值 =  -000

6、0;0001 = -1 2、原碼、反碼和補碼的概念1）概念機器數(shù)： 有原碼、反碼和補碼三種表示方法。原碼：是最簡單的機器數(shù)表示法。其數(shù)符位用0表示正，1表示負，其余各位表示真值本身。 即用第一位表示符號， 其余位表示值，比如如果是8位二進制： 1的原碼是00000001， 1的原碼是10000001。反碼：正數(shù)的反碼同原碼， 負數(shù)的反碼為除符號位外，其它各位按位取反。 正數(shù)的反碼是其本身， 負數(shù)的反碼是在其原碼的基礎上，符號位不變，其余各個位取反 1的反碼是00000001， 1的反碼是11111110。補碼：正數(shù)的補碼同原碼，負數(shù)的補碼為反碼加1。 負數(shù)的補碼是

7、在其原碼的基礎上, 符號位不變, 其余各位取反, 最后+1 1的補碼是00000001， 1的補碼是11111110。2）轉(zhuǎn)換方法當真值為正數(shù)時，原碼、反碼、補碼 3種機器數(shù)的最高位均為0當真值為負數(shù)時，原碼、反碼、補碼 3種機器數(shù)的最高位均為1機器數(shù)的最高位為符號位，其它位稱為數(shù)值位。當真值為正數(shù)時，原碼=反碼=補碼；當真值為負數(shù)時，三種機器數(shù)的符號位相同，均為1，原碼的數(shù)值位保持“原”樣，反碼的數(shù)值位是原碼數(shù)值位的“按位取反”，補碼的數(shù)值位是原碼的數(shù)值位的“按位取反”后再加1，簡稱“取反加1”。當真值為負數(shù)時：補碼 = 反碼+1當真值為負數(shù)時：原碼 = 補碼取

8、補 補碼 = 原碼取補 -x補=模 - x補 x補=模 - -x補 比如8bit，模= 28=1_0000_0000 例如：（1）假設碼長為8位，寫出下列數(shù)的原碼、反碼和補碼。根據(jù)本題可得到結(jié)論：0的原碼、反碼各有兩種表示方法，而補碼是唯一的全0表示。真值+0-0+1-1+127-127-128原碼000000001000000000000001100000010111111111111111溢出反碼000000001111111100000001111111100111111110000000溢出補碼0000000000000000000000011111111101111111100000

9、0110000000 （2）假設碼長為8位，寫出原碼、反碼和補碼所能表示定點整數(shù)和定點小數(shù)的范圍。二進制定點整數(shù)十進制定點整數(shù)n位可表示的個數(shù)二進制定點小數(shù)十進制定點小數(shù)原碼1111111101111111-127+1272n-1個1.11111110.1111111-127/128+127/128反碼1000000001111111-127+1272n-1個1.11111110.1111111-127/128+127/128補碼1000000001111111-128+127(-128)代替了(-0)2n個1.11111110.1111111-1-127/128由此可見：n位的二進制數(shù)用原碼

10、表示，則可表示的數(shù)的個數(shù)為2n-1個；n位的二進制數(shù)用反碼表示，則可表示的數(shù)的個數(shù)為2n1個；n位的二進制數(shù)用補碼表示，則可表示的數(shù)的個數(shù)為n個。比如：補碼中用(-128)代替了(-0)編程中常用到的32位int類型，可以表示范圍是： -231 231 -1 因為第一位表示的是符號位.而使用補碼表示時又可以多保存一個最小值 -2G 2G -13、算術(shù)運算計算機中的算術(shù)運算一般可采用補碼進行，用補碼表示的兩個操作數(shù)進行算術(shù)運算，符號位可直接參加運算，結(jié)果仍為補碼。定點補碼加法運算運算規(guī)則：x+y補x取補y補定點補碼減法運算運算規(guī)則：xy補x+(-y)補x補y補y補的求法是將y

11、補的各位（包括符號位）全取反，最末位加。即將y補連同符號位一起取反加1便可得到y(tǒng)補。 -x補=模 - x補 x補=模 - -x補 比如8bit，模= 28如：y補=10001010，則y補=01110110； -1補=28 - 1補=1_0000_0000 - 0000_0001 = 1111_1111y補=0100，則y補=1100； -(-1)補=28 - -1補=1_0000_0000 - 1111_1111 = 0000_0001 注意：在進行運算時有時會發(fā)生溢出。 定點補碼運算的溢出處理采用補碼運算時若結(jié)果的數(shù)值超出了補碼所能表示的范圍，則此種情況稱為溢出。若計算結(jié)果比能表示的最大數(shù)

12、還大則稱為上溢，上溢時一般作溢出中斷處理；若計算結(jié)果比能表示的最小數(shù)還小則稱為下溢，下溢時一般作機器零處理。下面介紹用雙符號判斷溢出方法：引入兩個符號位Cs+1、CsCs+1用來表示兩個符號位向更高位進位時的狀態(tài)，有進位時Cs+1=1，無進位時Cs+1=0；Cs用來表示兩數(shù)值的最高位向符號位進位時的狀態(tài)，有進位時Cs=1，無進位時Cs=0；當Cs+1Cs=00或11時，無溢出；當Cs+1Cs=01或10時，有溢出，當雙符號位為01時正溢出，當雙符號位為10時負溢出；例如：x補=10011100，y 補=10011000，則x+y補= 。溢出，因為Cs+1Cs=10。故溢出邏輯表達式為VCs+1

13、Cs無符號數(shù)的運算無符號數(shù)的運算實際上是指參加運算的操作數(shù)X、Y均為正數(shù)，且整個字長全部用于表示數(shù)值部分。當兩個無符號數(shù)相加時，其值在字長表示的范圍內(nèi)，其結(jié)果為正數(shù)。當兩個無符號數(shù)相減時，其值的符號位取決于兩數(shù)絕對值的大小。另外，地址在計算機中用無符號數(shù)表示。四原碼, 反碼, 補碼再深入 計算機巧妙地把符號位參與運算, 并且將減法變成了加法, 背后蘊含了怎樣的數(shù)學原理呢?將鐘表想象成是一個1位的12進制數(shù). 如果當前時間是6點, 我希望將時間設置成4點, 我們可以: 1. 往回撥2個小時:

14、60;6 - 2 = 4 2. 往前撥10個小時: (6 + 10) mod 12 = 4 3. 往前撥10+12=22個小時: (6+22) mod 12 =4 2,3方法中的mod是指取模操作, 16 mod 12 =4 即用16除以12后的余數(shù)是4. 所以鐘表往回撥(減法)的結(jié)果可以用往前撥(加法)替代! 現(xiàn)在的焦點就落在

15、了如何用一個正數(shù), 來替代一個負數(shù). 上面的例子我們能感覺出來一些端倪, 發(fā)現(xiàn)一些規(guī)律. 但是數(shù)學是嚴謹?shù)? 不能靠感覺. 首先介紹一個數(shù)學中相關(guān)的概念: 同余“?！笔侵敢粋€計量系統(tǒng)的計數(shù)范圍例如：時鐘的計量范圍是011，模=12。表示n位的計算機計量范圍是02n -1，模=2n“?！睂嵸|(zhì)上是計量器產(chǎn)生“溢出”的量，它的值在計量器上表示不出來，計量器上只能表示出模的余數(shù)。任何有模的計量器，均可化減法為加法運算。比如：時鐘（模=12）中，加8和減4效果是一樣的，因此凡是減4運算，都可以用加8來代替對時鐘（模=12）而言，8和4

16、互為補數(shù)。以12模的系統(tǒng)中，11和1；10和2；9和3；7和5；6和6都互為補數(shù)。共同的特點是兩者相加等于模對于計算機，其概念和方法完全一樣。n位計算機，設n=8， 所能表示的最大數(shù)是11111111，若再加1稱為100000000(9位)但因只有8位，最高位1自然丟失。又回了00000000，所以8位二進制系統(tǒng)的模為28。在這樣的系統(tǒng)中減法問題也可以化成加法問題，只需把減數(shù)用相應的補數(shù)表示就可以了。-x補=模 - x補 x補=模 - -x補 比如8bit，模= 28 -1補=28 - 1補=1_0000_0000 - 0000_0001 = 1111_1111 -(-1)補=28 - -1補

17、=1_0000_0000 - 1111_1111 = 0000_0001 把補數(shù)用到計算機對數(shù)的處理上，就是補碼。負數(shù)取模x mod y = x - y*int( x / y ) int( x / y ) VB語法表示：不大于(x/y)的最大整數(shù)，即向下取整 int(-1.5)=-2 Fix(-1.5)=-1舉例: -3 mod 2 = -3 - 2*int(-3/2) =&#

18、160;-3 - 2*(-2) = -3 - 2x(-2)=1同余的概念兩個整數(shù)a，b，若它們除以整數(shù)m所得的余數(shù)相等，則稱a，b對于模m同余記作 a  b (mod m) 讀作 a 與 b 對于模 m 同余舉例說明: 4 mod 12 = 4 ； 16 mod 12 = 4 ； 28 mod

19、60;12 = 4 所以4, 16, 28對于模 12 同余.兩個定理: 1、反身性: a  a (mod m) 自己和自己 對于模m同余2、 線性運算定理:如果a b (mod m)，c d (mod m) 那么: (1) a ± c  b ± d (mod m)(2) a * c  b * d (mod&

20、#160;m) 3、 傳遞性：若ab (mod m)，bc (mod m)，則ac (mod m)典型例題一、 選擇題1、一個四位二進制補碼的表示范圍是（ ）A、015 B、-87 C、-77 D、-782、（10題）十進制數(shù)-48用補碼表示為（ ） A、10110000 B、11010000 C、11110000 D、11001111分析：求某個負數(shù)的補碼，可利用模的定義，所以求-48的補碼，只需求-80的原碼即可，因為-48+（-80）=-128，而-80原=11010000，故選B，注，傳統(tǒng)做法是在原碼的基礎上“取反加1”。答案：B3、（09年鎮(zhèn)江三模）如果X為負數(shù)，由x補求-

21、x補是將（ ）A、x補各值保持不變 B、x補符號位變反，其他各位不變C、x補除符號位外，各位變反，末位加1 D、x補連同符號位一起各位變反，末位加1分析：不論X是正數(shù)還是負數(shù)，由X補求-X補的方法是對X補求補，即連同符號位一起按位取反，末位加。答案：D二、 判斷題1計算機中一個浮點數(shù)N可用±P×S表示，那么用規(guī)格化數(shù)表示，則尾數(shù)S必須滿足0.5|S|1。【答案】對【解題指導】一個浮點形式的尾數(shù)S若滿足0.5|S|1，且尾數(shù)的最高位數(shù)為1，無無效的0，則該浮點數(shù)稱為規(guī)格化數(shù)；規(guī)格化數(shù)可以提高運算的精度。三、 填空題1二進制數(shù).011011的規(guī)格化數(shù)為，二進制數(shù)11011的規(guī)格

22、化數(shù)為。（尾數(shù)、階碼均用8位二進制補碼表示）分析：.011011可表示為.11011×2-1，即規(guī)格化數(shù)為.11011×2-1 11011可表示為.11011×25，即規(guī)格化數(shù)為.11011×21012、已知X、Y為兩個有符號數(shù)的定點整數(shù)，它們的補碼為：x補=00010011B，y補=11111001B，則X+Y補 B。分析：X+Y補X補Y補，X為正數(shù)，Y為負數(shù)，故列式結(jié)果不溢出為00001100。答案：00001100原碼、反碼和補碼的概念當堂練習一、選擇題（ ）1、機器數(shù)80H所表示的真值是-128，則該機器數(shù)為 形式的表示。A、原碼 B、反碼 C、

23、補碼 D、移碼（ ）2、在浮點數(shù)中，階碼、尾數(shù)的表示格式是 。 A、階碼定點整數(shù)，尾數(shù)定點小數(shù) B、階碼定點整數(shù)，尾數(shù)定點整數(shù)C、階碼定點小數(shù)，尾數(shù)定點整數(shù) D、階碼定點小數(shù)，尾數(shù)定點小數(shù)（ ）3、已知x補=10110111，y補=01001010，則xy補的結(jié)果是 。 A、溢出 B、01101010 C、01001010 D、11001010（ ）4、某機字長8位，含一位數(shù)符，采用原碼表示，則定點小數(shù)所能表示的非零最小正數(shù)為 。 A、2-9 B、2-8 C、-1 D、2-7（ ）5、（08年）下列數(shù)中最小的數(shù)是_C_。A10010101原B10010101反C10010101補D100101

24、012（ ）6、（12年）8位補碼表示的定點整數(shù)的范圍是 B 。 A、-128+128 B、-128+127 C、-127+128 D、-127+127（ ）7、（11年鹽城二模）已知X的補碼為10110100，Y的補碼為01101010，則X-Y的補碼為 。A） 01101010 B） 01001010 C） 11001010 D） 溢出（ ）8、將-33以單符號位補碼形式存入8位寄存器中，寄存器中的內(nèi)容為（ ）。ADFH BA1H C5FH DDEH（ ）9、在機器數(shù)的三種表示形式中，符號位可以和數(shù)值位一起參加運算的是( )A）原碼 B）補碼 C）反碼 D）反碼、補碼二、判斷題（ ）1、1

25、6位的補碼表示的定點整數(shù)的最小值是-32768。（ ）2、（10年南京二模）一個數(shù)在計算機中分別用原碼、反碼、補碼表示時一定各不相同。（ ）3、（10年常州三模）字長相同,定點法表示數(shù)的范圍比浮點法小。（ ）4若用八位二進制數(shù)來表示一個有符號數(shù)，則原碼、反碼和補碼表示的數(shù)的個數(shù)與范圍均相同。三、填空題1、十進制數(shù)-27對應的8位二進制補碼為 。2、（11年）已知X、Y為兩個帶符號的定點整數(shù)，它們的補碼為：X補=00010011B，Y補=11111001B，則X+Y補 = 00001100 B。3、數(shù)x的真值為-0.1011B，其原碼表示為 ，補碼表示為 。4、八位定點整數(shù)，采用二進制補碼表示時

26、，所能表示真值的十進制數(shù)的范圍是 。 5、(09年)已知X補=01110111B,Y補=01100010B,則X-Y 補=_00010101_。6、（11年）一個含有6個“1”、2個“0”的八位二進制整數(shù)原碼，可表示的最大數(shù)為 7EH 。（用十六進制表示）7、（12年）已知X補=10000000B，則X= -10000000 B。8、（10年鹽城二模）二進制數(shù)10110000，若看成純小數(shù)，且為補碼，則其對應真值的十進制數(shù)是_。原碼、反碼和補碼的概念課后練習一、選擇題（ ）1、（10年鹽城二模）“溢出”一般是指計算機在運算過程是產(chǎn)生的 _ 。A、數(shù)據(jù)量超過內(nèi)存容量 B、文件個數(shù)超過磁盤目錄區(qū)規(guī)定的范圍C、數(shù)據(jù)超過了機器的位所能表示的范圍 D、數(shù)據(jù)超過了變量的表示范圍（ ）2、設有二進制數(shù)X=-1101110，若采用8位二進制數(shù)表示，則X補的結(jié)果是 。 A、11101101 B、10010011 C、00010011 D、10010010 。 A、-55510 B、-23368 C、-18762 D、5