用線性規(guī)劃求解捕魚(yú)問(wèn)題

1、用線性規(guī)劃求解捕魚(yú)問(wèn)題張亞琴，周佳，邢秀秀摘要本文討論了水庫(kù)承包商捕魚(yú)的經(jīng)濟(jì)效益問(wèn)題，屬于優(yōu)化問(wèn)題。根據(jù)給定數(shù)據(jù)利用matlab軟件進(jìn)行求解分析，制定最優(yōu)捕魚(yú)計(jì)劃。除去考慮每天捕撈草魚(yú)量之外，還需考慮隨著放水清庫(kù)時(shí)草魚(yú)的死亡量，以及每天銷售草魚(yú)所獲得的收益。若捕撈過(guò)多，草魚(yú)銷售單價(jià)過(guò)少，承包商的利益降低；若捕撈過(guò)少，則會(huì)隨著水庫(kù)水量減少造成草魚(yú)大量死亡，使得承包商虧本。因此在研究草魚(yú)捕撈量的問(wèn)題上，采用線性規(guī)劃模型對(duì)草魚(yú)捕撈量進(jìn)行優(yōu)化，以期達(dá)到最佳的經(jīng)濟(jì)效益。建立線性規(guī)劃模型，編寫(xiě)matlab程序，得出最優(yōu)解：第1至18天每天捕撈1000kg，第19天為233kg，第20天為0kg。所獲得最大

2、利潤(rùn)為367650元，共損失草魚(yú)6785.2kg。關(guān)鍵詞：0-1規(guī)劃；matlab一、問(wèn)題分析本問(wèn)題是求解最優(yōu)值問(wèn)題，目標(biāo)函數(shù)為，即使收益和成本的差達(dá)到最大值。 首先對(duì)影響收益的主要因素進(jìn)行了分析，可知收益與捕撈量成分段函數(shù)，草魚(yú)捕撈的成本費(fèi)是隨著水位的降低而減少的，隨著水位的不斷下降，草魚(yú)死亡量造成的損失增加，假設(shè)成本費(fèi)與草魚(yú)損失均與水位呈線性關(guān)系，建立方程即可得第天的收益，約束條件為第天草魚(yú)的存活量。使每天的收益達(dá)到最大值，從而使得20天的總收益最高。二、問(wèn)題重述一個(gè)水庫(kù)的承包商為了提高經(jīng)濟(jì)效益，保證優(yōu)質(zhì)魚(yú)類有良好的生活環(huán)境，要對(duì)水庫(kù)的雜魚(yú)做一次徹底清理，因此經(jīng)營(yíng)商打算放水清庫(kù)，同時(shí)為使捕

3、撈鮮活草魚(yú)投放市場(chǎng)時(shí)，獲得最佳效益。經(jīng)多方調(diào)查知：(1)水庫(kù)排水在20天排完，并且從現(xiàn)有水位平均15米，每天水位降低0.5米，最低降至5米，按天數(shù)線性減少；(2)據(jù)估計(jì)水庫(kù)內(nèi)尚有草魚(yú)25000余公斤；(3)若日供應(yīng)量在500公斤以下，其價(jià)格為30元/公斤；日供應(yīng)量在5001000公斤，其價(jià)格降至25元/公斤，日供應(yīng)量超過(guò)1000公斤時(shí)，價(jià)格降至20元/公斤以下，日供應(yīng)量到1500公斤，處于飽和；(4)捕撈過(guò)程中的成本隨水位的降低不斷減少：捕撈草魚(yú)的成本水位于15米時(shí)，每公斤6元；當(dāng)水位降至5米時(shí)，為3元/公斤；(5)同時(shí)隨著水位的下降草魚(yú)死亡和捕撈造成損失增加，在15米時(shí)損失率為0，至最低水位

4、5米時(shí)損失率為10%。建立模型，確定捕撈鮮活草魚(yú)投放市場(chǎng)的最佳效益方案。三、模型假設(shè)與符號(hào)說(shuō)明2.1 模型的假設(shè)(1) 在整個(gè)售魚(yú)的過(guò)程中，顧客都只到該承包商處購(gòu)魚(yú)。即此承包商的最大供應(yīng)量到1500公斤；(2) 水位的變化除了每天的自然放水，不考慮蒸發(fā)等其他的情況；(3) 每日售出的草魚(yú)數(shù)量即為當(dāng)天捕撈的草魚(yú)，不出現(xiàn)有當(dāng)天捕撈的魚(yú)留到第二天賣(mài)的情況；(4) 假設(shè)在放水清庫(kù)的過(guò)程中，隨著水位的下降,捕撈成本與水位呈線性關(guān)系；(5) 假設(shè)在放水清庫(kù)的過(guò)程中，隨著水位的下降,損失率與水位呈線性關(guān)系。2.2 符號(hào)的說(shuō)明C：草魚(yú)的總量()；x：草魚(yú)每天銷售量；h：水庫(kù)水位()；y：草魚(yú)每公斤銷售價(jià)錢(qián)；s

5、：承包商總收益；Z：捕撈所有草魚(yú)的成本；：第i天的魚(yú)的死亡率；：表示0-1規(guī)劃的變量；其他用到符號(hào)會(huì)在文中說(shuō)明。四、模型的建立與求解4.1 建立草魚(yú)的銷售收益隨供應(yīng)量變化的函數(shù)關(guān)系假設(shè)損失率與水位成一次線性關(guān)系，且不存在草魚(yú)日供應(yīng)量大于1500kg的情況，則有當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)，此時(shí)假設(shè)其貨價(jià)與售量成一次線性關(guān)系過(guò)點(diǎn)（1000，20），（1500，6），；由上可得第i天的售價(jià)為且；所以總售價(jià)且。4.2 建立草魚(yú)的捕撈成本隨時(shí)間變化的函數(shù)關(guān)系假設(shè)捕撈成本與水位成一次線性關(guān)系，因捕撈草魚(yú)的成本水位于15米時(shí)，每公斤6元；當(dāng)水位降至5米時(shí)，為3元/公斤。故成本與水位的關(guān)系為（）；水位與時(shí)間的關(guān)系；第

6、i天的成本為所以總成本與時(shí)間的關(guān)系4.3 建立損失率與水位關(guān)系假設(shè)其損失率與水位成一次線性關(guān)系，由隨著水位的下降草魚(yú)死亡和捕撈造成損失增加，至最低水位5米時(shí)損失率為10%，且在水位為15米時(shí)損失率為0。得第i天的損失率與時(shí)間的關(guān)系第i天的存活量的遞推關(guān)系，；第i天的損失量與時(shí)間的關(guān)系。4.4 建立并求解模型該模型的純收入，在捕撈量范圍內(nèi)，求20天內(nèi)每天的最大收益，并將取到最大收益的捕撈量輸出。由matlab可以實(shí)現(xiàn)，并得出如下結(jié)果：最大利潤(rùn)為367650元，共損失草魚(yú)6785.2kg。 第1天1000kg第6天1000kg第11天1000kg第16天1000kg第2天1000kg第7天1000

7、kg第12天1000kg第17天1000kg第3天1000kg第8天1000kg第13天1000kg第18天1000kg第4天1000kg第9天1000kg第14天1000kg第19天233kg第5天1000kg第10天1000kg第15天1000kg第20天0kg表1 捕撈量數(shù)據(jù)五、模型的評(píng)價(jià)與改進(jìn)該模型考慮了影響收益的多種因素，比較符合實(shí)，模型通過(guò)計(jì)算使每天的效益達(dá)到最大，從而使得總利潤(rùn)最高。本模型只考慮了供應(yīng)量低于1500公斤時(shí)的情況，并沒(méi)有考慮高于1500公斤時(shí)的情況，并不完善，因此該模型可以在銷售量與供應(yīng)量之間的關(guān)系上進(jìn)行改進(jìn)；另外，本文是通過(guò)matlab對(duì)模型進(jìn)行求解的，lingo軟件也可以很好的解決線性規(guī)劃問(wèn)題和非線性規(guī)劃問(wèn)題；最后，問(wèn)題也可建立成多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題，使捕撈成本最少，且草魚(yú)損失最少的情況下達(dá)到效益最佳。參考文獻(xiàn)1 姜啟源,謝金星,葉俊.數(shù)學(xué)模型(第三版)M.北京:高等教育出版社.2003,12張威.MATLAB基礎(chǔ)與編程入門(mén)(第二