第23講 圖解法

1、 第23講 圖解法 有許多應用題，其中的數(shù)量關系比較復雜，而通過畫圖可以把數(shù)量之間的關系變得直觀明了，從而達到解題目的。這種通過畫圖幫助解題的方法就是圖解法。我們通過下面幾道例題來講解在各種類型的應用題中如何使用圖解法解題。例1 甲、乙、丙、丁與小強五位同學一起比賽象棋，每兩人都要比賽一盤。到現(xiàn)在為止，甲已經(jīng)賽了4盤，乙賽了3盤，丙賽了2盤，丁賽了1 盤。問：小強已經(jīng)賽了幾盤？分別與誰賽過？分析與解：這道題按照常規(guī)思路似乎不太好解決，我們畫個圖試試。用五個點分別表示參加比賽的五個人，如果某兩人已經(jīng)賽過，就用線段把代表這兩個人的點連結起來。因為甲已經(jīng)賽了4盤，除了甲以外還有4個點，所以

2、甲與其他4個點都有線段相連（見左下圖）。因為丁只賽了1盤，所以丁只與甲有線段相連。因為乙賽了3盤，除了丁以外，乙與其他三個點都有線段相連（見右上圖）。因為丙賽了2盤，右上圖中丙已有兩條線段相連，所以丙只與甲、乙賽過。由上頁右圖清楚地看出，小強賽過2盤，分別與甲、乙比賽。例2 一群人在兩片草地上割草，大的一片草地比小的正好大1倍。他們先全體在大的一片草地干了半天，下午留下一半人在大草地上繼續(xù)干，收工時正好把草割完；另一半人到小草地上干，收工時還余下一塊，這塊再用1人經(jīng)1天也可割完。問：這群干活的人共有多少位？分析與解：本題有多種解法，其中利用圖解法十分簡潔。設一半人干半天的工作量為1份。因為在大

3、草地上全體人干了半天，下午一半人又干了半天，正好割完，所以大草地的工作量是3份。由題意，小草地因為下午有一半人在小草地上干了半天，即干了1份，所以小草地沒干完的是例3 A，B兩地間有條公路，甲從A地出發(fā)步行到B地，乙騎摩托車從B地同時出發(fā)，不停頓地往返于A，B兩地之間。80分鐘后他們第一次相遇，又過了20分鐘乙第一次超越甲。求甲、乙速度之比。分析與解：在行程問題中，通常先畫出運行圖，這樣直觀清晰，可以幫助我們分析各個量之間的關系。依照題意畫運行圖如下：第一次相遇時甲、乙各行了80分鐘，到第一次超越時，甲共行100分鐘，而乙在第一次相遇到第一次超越的這20分鐘內行的路程，相當于甲行80100=1

4、80（分）的路。所以甲、乙的速度之比為2018019。例4 兩名運動員在長為50米的游泳池里來回游泳。甲運動員的速度是1米/秒，乙運動員的速度是0.5米/秒，他們同時分別在游泳池的兩端出發(fā)，來回共游了5分鐘，如果不計轉向時間，那么在這段時間里共相遇了幾次？分析與解：甲游完一個全程要50÷1=50（秒），乙游完一個全程要50÷0.5=100（秒），畫出這兩人的運行圖。圖中實線段和虛線段的每個交點表示兩運動員相遇了一次，從圖上可以看出，甲、乙兩運動員在5分鐘內共相遇了5次，其中，有2次在游泳池的兩端相遇。例4中，如果按照相遇、追及的過程分別計算，是十分麻煩的。通過畫出運行圖，結果一目了然。例5 容器中有某種酒精含量的酒精溶液，加入一杯水后酒精含量降為25；再加入一杯純酒精后酒精含量升為40。那么原來容器中酒精溶液的酒精含量是多少？分析與解：把加完水和酒精后的酒精溶液分成5份，因為酒精含量是40，所以其中有2份純酒精，3份水（見左下圖，表示純酒精，表示水）。加入純酒精前酒精含量為25，即純酒精與水之比是13，因此應該是1個和3個（見下中圖），推知加入的一杯純酒精相當于1個，則一杯水是1個，原來容器中有1個和2個（見右下圖），酒精含量為33.3。例6 有三堆圍棋子，每堆棋子數(shù)相等。第一堆中的黑子與第二堆中的白子部棋子的幾分之幾？分析與解：因為三堆圍棋子數(shù)量相同，我們