《完全平方公式》知識講解及例題演練

1、.完全平方公式【學(xué)習(xí)目的】1. 能運用完全平方公式把簡單的多項式進展因式分解.2. 會綜合運用提公因式法和公式法把多項式分解因式；3開展綜合運用知識的才能和逆向思維的習(xí)慣.【要點梳理】要點一、公式法完全平方公式兩個數(shù)的平方和加上減去這兩個數(shù)的積的2倍，等于這兩個數(shù)的和差的平方即，.形如，的式子叫做完全平方式.要點詮釋：1逆用乘法公式將特殊的三項式分解因式； 2完全平方公式的特點：左邊是二次三項式，是這兩數(shù)的平方和加或減這兩數(shù)之積的2倍. 右邊是兩數(shù)的和或差的平方.3完全平方公式有兩個，二者不能互相代替，注意二者的使用條件.4套用公式時要注意字母和的廣泛意義，、可以是字母，也可以是單項式或多項式

2、.要點二、因式分解步驟1假如多項式的各項有公因式，先提取公因式；2假如各項沒有公因式那就嘗試用公式法；3如用上述方法也不能分解，那么就得選擇分組或其它方法來分解以后會學(xué)到要點三、因式分解本卷須知1因式分解的對象是多項式；2最終把多項式化成乘積形式；3結(jié)果要徹底，即分解到不能再分解為止【典型例題】類型一、公式法完全平方公式1、分解因式：1； 2；3； 4【答案與解析】解：1234【總結(jié)升華】1提公因式法是因式分解的首選法多項式中各項假設(shè)有公因式，一定要先提公因式，常用思路是：提公因式法；運用公式法2因式分解要分解到每一個因式不能再分解為止舉一反三：【變式】分解因式：12【答案】解：1原式2原式2

3、、a+b=3，ab=2，求代數(shù)式a3b+2a2b2+ab3【思路點撥】先提公因式ab，再根據(jù)完全平方公式進展二次分解，然后帶入數(shù)據(jù)進展計算即可得解【答案與解析】解：a3b+2a2b2+ab3 = aba2+2ab+b2= aba+b2將a+b=3，ab=2代入得，aba+b2=2×32=18故代數(shù)式a3b+2a2b2+ab3的值是18【總結(jié)升華】在因式分解中要注意整體思想的應(yīng)用，對于式子較復(fù)雜的題目不要輕易去括號舉一反三：【變式】假設(shè)，是整數(shù)，求證：是一個完全平方數(shù).【答案】解：令上式即類型二、配方法分解因式3、用配方法來解決一部分二次三項式因式分解的問題，如：那該添什么項就可以配成

4、完全平方公式呢？我們先考慮二次項系數(shù)為1的情況：如添上什么就可以成為完全平方式？因此添加的項應(yīng)為一次項系數(shù)的一半的平方.那么二次項系數(shù)不是1的呢？當(dāng)然是轉(zhuǎn)化為二次項系數(shù)為1了.分解因式：.【思路點撥】提出二次項的系數(shù)3，轉(zhuǎn)化為二次項系數(shù)為1來解決.【答案與解析】解：如【總結(jié)升華】配方法，二次項系數(shù)為1的時候，添加的項應(yīng)為一次項系數(shù)的一半的平方. 二次項系數(shù)不是1的時候，轉(zhuǎn)化為二次項系數(shù)為1來解決.類型三、完全平方公式的應(yīng)用4、先仔細(xì)閱讀材料，再嘗試解決問題：完全平方公式x2±2xy+y2=x±y2及x±y2的值恒為非負(fù)數(shù)的特點在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中有著廣泛的應(yīng)用，比方探求多

5、項式2x2+12x4的最大小值時，我們可以這樣處理：解：原式=2x2+6x2=2x2+6x+992=2x+3211=2x+3222因為無論x取什么數(shù)，都有x+32的值為非負(fù)數(shù)所以x+32的最小值為0，此時x=3進而2x+3222的最小值是2×022=22所以當(dāng)x=3時，原多項式的最小值是22.解決問題：請根據(jù)上面的解題思路，探求多項式3x26x+12的最小值是多少，并寫出對應(yīng)的x的取值【答案與解析】解：原式=3x22x+4=3x22x+11+4=3x12+9，無論x取什么數(shù)，都有x12的值為非負(fù)數(shù)，x12的最小值為0，此時x=1，3x12+9的最小值為：3×0+9=9，那么當(dāng)x=1時，原多項式的最小值是9【總結(jié)升華】此題考察了完全平方公式，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，以及配方法的應(yīng)用，純熟掌握完全平方公式是解此題的關(guān)鍵舉一反三：【變式1】假設(shè)ABC的三邊長分別為、,且滿足， 求證：.【答案】解：所以所以所以因為ABC的三邊長分別為、，所以，矛盾，舍去.所以.【變式2】假設(shè)2019x2019x=2019，那么2019x2+2019x2= 【答案】4032解：201