2015算法設(shè)計與分析復(fù)習(xí)試題及答案詳解

1、1.一個算法就是一個有窮規(guī)則的集合，其中之規(guī)則規(guī)定了解決某一特殊類型問題的一系列運算，此外，算法還應(yīng)具有以下五個重要特性:_,_,_,_,_。2.算法的復(fù)雜性有_和_之分，衡量一個算法好壞的標準是_。3.某一問題可用動態(tài)規(guī)劃算法求解的顯著特征是_。4.若序列X=B,C,A,D,B,C,D，Y=A,C,B,A,B,D,C,D，請給出序列X和Y的一個最長公共子序列_。5.用回溯法解問題時，應(yīng)明確定義問題的解空間，問題的解空間至少應(yīng)包含_。 6.動態(tài)規(guī)劃算法的基本思想是將待求解問題分解成若干_，先求解_，然后從這些_的解得到原問題的解。7.以深度優(yōu)先方式系統(tǒng)搜索問題解的算法稱為_。8.0-1背包問題

2、的回溯算法所需的計算時間為_,用動態(tài)規(guī)劃算法所需的計算時間為_。9.動態(tài)規(guī)劃算法的兩個基本要素是_和_。 10.二分搜索算法是利用_實現(xiàn)的算法。二、綜合題（50分）1.寫出設(shè)計動態(tài)規(guī)劃算法的主要步驟。2.流水作業(yè)調(diào)度問題的johnson算法的思想。3.若n=4，在機器M1和M2上加工作業(yè)i所需的時間分別為ai和bi，且(a1,a2,a3,a4)=(4,5,12,10)，(b1,b2,b3,b4)=(8,2,15,9)求4個作業(yè)的最優(yōu)調(diào)度方案，并計算最優(yōu)值。4.使用回溯法解0/1背包問題：n=3，C=9，V=6,10,3，W=3,4,4,其解空間有長度為3的0-1向量組成，要求用一棵完

3、全二叉樹表示其解空間（從根出發(fā)，左1右0），并畫出其解空間樹，計算其最優(yōu)值及最優(yōu)解。5.設(shè)S=X1，X2，···，Xn是嚴格遞增的有序集，利用二叉樹的結(jié)點來存儲S中的元素，在表示S的二叉搜索樹中搜索一個元素X，返回的結(jié)果有兩種情形，（1）在二叉搜索樹的內(nèi)結(jié)點中找到X=Xi，其概率為bi。（2）在二叉搜索樹的葉結(jié)點中確定X（Xi，Xi+1），其概率為ai。在表示S的二叉搜索樹T中，設(shè)存儲元素Xi的結(jié)點深度為Ci；葉結(jié)點（Xi，Xi+1）的結(jié)點深度為di，則二叉搜索樹T的平均路長p為多少？假設(shè)二叉搜索樹Tij=Xi，Xi+1，···，Xj

4、最優(yōu)值為mij，Wij= ai-1+bi+···+bj+aj，則mij(1<=i<=j<=n)遞歸關(guān)系表達式為什么？6.描述0-1背包問題。三、簡答題（30分）1.流水作業(yè)調(diào)度中，已知有n個作業(yè)，機器M1和M2上加工作業(yè)i所需的時間分別為ai和bi，請寫出流水作業(yè)調(diào)度問題的johnson法則中對ai和bi的排序算法。（函數(shù)名可寫為sort(s,n)）2.最優(yōu)二叉搜索樹問題的動態(tài)規(guī)劃算法（設(shè)函數(shù)名binarysearchtree)）答案：一、填空1確定性 有窮性 可行性 0個或多個輸入 一個或多個輸出2.時間復(fù)雜性 空間復(fù)雜性 時間復(fù)雜度高低 3.

5、 該問題具有最優(yōu)子結(jié)構(gòu)性質(zhì) 4.BABCD或CABCD或CADCD 5.一個（最優(yōu)）解 6.子問題 子問題 子問題 7.回溯法 8. o(n*2n) o(minnc,2n)9.最優(yōu)子結(jié)構(gòu) 重疊子問題10.動態(tài)規(guī)劃法二、綜合題1.問題具有最優(yōu)子結(jié)構(gòu)性質(zhì)；構(gòu)造最優(yōu)值的遞歸關(guān)系表達式； 最優(yōu)值的算法描述；構(gòu)造最優(yōu)解；2. 令N1=i|ai<bi，N2=i|ai>=bi；將N1中作業(yè)按ai的非減序排序得到N1，將N2中作業(yè)按bi的非增序排序得到N2；N1中作業(yè)接N2中作業(yè)就構(gòu)成了滿足Johnson法則的最優(yōu)調(diào)度。3.步驟為：N1=1，3，N2=2，4；N1=1，3， N2=4，2；最優(yōu)值為

6、：384.解空間為(0,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(1,0,0),(0,1,1),(1,0,1),(1,1,0),(1,1,1)。解空間樹為：ABCFEDGKJIHONML11100001011010該問題的最優(yōu)值為：16 最優(yōu)解為：（1，1，0）5.二叉樹T的平均路長P=+ mij=Wij+minmik+mk+1j (1<=i<=j<=n,mii-1=0)mij=0 (i>j)6.已知一個背包的容量為C，有n件物品，物品i的重量為Wi，價值為Vi，求應(yīng)如何選擇裝入背包中的物品，使得裝入背包中物品的總價值最大。三、簡答題1.void sort(flowj

7、ope s,int n) int i,k,j,l; for(i=1;i<=n-1;i+)/-選擇排序 k=i; while(k<=n&&sk.tag!=0) k+; if(k>n) break;/-沒有ai，跳出 else for(j=k+1;j<=n;j+) if(sj.tag=0) if(sk.a>sj.a) k=j; swap(si.index,sk.index); swap(si.tag,sk.tag); l=i;/-記下當前第一個bi的下標 for(i=l;i<=n-1;i+) k=i; for(j=k+1;j<=n;j+)

8、if(sk.b<sj.b) k=j; swap(si.index,sk.index); /-只移動index和tag swap(si.tag,sk.tag); 2.void binarysearchtree(int a,int b,int n,int *m,int *s,int *w) int i,j,k,t,l; for(i=1;i<=n+1;i+) wii-1=ai-1; mii-1=0; for(l=0;l<=n-1;l+)/-l是下標j-i的差for(i=1;i<=n-l;i+) j=i+l;wij=wij-1+aj+bj;mij=mii-1+mi+1j+wij

9、;sij=i;for(k=i+1;k<=j;k+) t=mik-1+mk+1j+wij;if(t<mij) mij=t;sij=k;一、 填空題（本題15分，每小題1分）1、 算法就是一組有窮的 ，它們規(guī)定了解決某一特定類型問題的 。2、 在進行問題的計算復(fù)雜性分析之前，首先必須建立求解問題所用的計算模型。3個基本計算模型是 、 、 。3、 算法的復(fù)雜性是 的度量，是評價算法優(yōu)劣的重要依據(jù)。4、 計算機的資源最重要的是 和 資源。因而，算法的復(fù)雜性有 和 之分。5、 f(n)= 6×2n+n2，f(n)的漸進性態(tài)f(n)= O(    )6、

10、 貪心算法總是做出在當前看來 的選擇。也就是說貪心算法并不從整體最優(yōu)考慮，它所做出的選擇只是在某種意義上的 。7、 許多可以用貪心算法求解的問題一般具有2個重要的性質(zhì)： 性質(zhì)和 性質(zhì)。二、簡答題（本題25分，每小題5分）1、 簡單描述分治法的基本思想。2、 簡述動態(tài)規(guī)劃方法所運用的最優(yōu)化原理。3、 何謂最優(yōu)子結(jié)構(gòu)性質(zhì)？4、 簡單描述回溯法基本思想。5、 何謂P、NP、NPC問題三、算法填空（本題20分，每小題5分）1、n后問題回溯算法(1)用二維數(shù)組ANN存儲皇后位置,若第i行第j列放有皇后,則Aij為非0值,否則值為0。(2)分別用一維數(shù)組MN、L2*N-1、R2*N-1表示豎列、左斜線、右

11、斜線是否放有棋子，有則值為1,否則值為0。for(j=0;j<N;j+) if( 1 ) /*安全檢查*/ Aij=i+1; /*放皇后*/ 2 ； if(i=N-1) 輸出結(jié)果； else 3 ；; /*試探下一行*/ 4 ； /*去皇后*/ 5 ；; 2、數(shù)塔問題。有形如下圖所示的數(shù)塔，從頂部出發(fā)，在每一結(jié)點可以選擇向左走或是向右走，一起走到底層，要求找出一條路徑，使路徑上的值最大。for(r=n-2;r>=0;r-) /自底向上遞歸計算for(c=0; 1 ;c+) if( tr+1c>tr+1c+1) 2 ；else 3 ；3、Hanoi算法Hanoi(n,a,b,c

12、)if （n=1） 1 ；else 2 ； 3 ；Hanoi(n-1,b, a, c);4、Dijkstra算法求單源最短路徑du:s到u的距離 pu:記錄前一節(jié)點信息Init-single-source(G,s)for each vertex vVG do dv=; 1 ds=0Relax(u,v,w)if dv>du+w(u,v)then dv=du+wu,v; 2 dijkstra(G,w,s)1. Init-single-source(G,s) 2. S= 3. Q=VG4.while Q<> do u=min(Q) S=Su for each vertex 3 do

13、 4 四、算法理解題（本題10分）根據(jù)優(yōu)先隊列式分支限界法，求下圖中從v1點到v9點的單源最短路徑，請畫出求得最優(yōu)解的解空間樹。要求中間被舍棄的結(jié)點用×標記，獲得中間解的結(jié)點用單圓圈框起，最優(yōu)解用雙圓圈框起。五、算法理解題（本題5分）設(shè)有n=2k個運動員要進行循環(huán)賽，現(xiàn)設(shè)計一個滿足以下要求的比賽日程表：每個選手必須與其他n-1名選手比賽各一次；每個選手一天至多只能賽一次；循環(huán)賽要在最短時間內(nèi)完成。（1）如果n=2k，循環(huán)賽最少需要進行幾天；（2）當n=23=8時，請畫出循環(huán)賽日程表。六、算法設(shè)計題（本題15分）分別用貪心算法、動態(tài)規(guī)劃法、回溯法設(shè)計0-1背包問題。要求：說明所使用的算

14、法策略；寫出算法實現(xiàn)的主要步驟；分析算法的時間。七、算法設(shè)計題（本題10分）通過鍵盤輸入一個高精度的正整數(shù)n(n的有效位數(shù)240)，去掉其中任意s個數(shù)字后，剩下的數(shù)字按原左右次序?qū)⒔M成一個新的正整數(shù)。編程對給定的n 和s，尋找一種方案，使得剩下的數(shù)字組成的新數(shù)最小?！緲永斎搿?78543S=4【樣例輸出】13答案：一、填空題（本題15分，每小題1分）1規(guī)則 一系列運算2. 隨機存取機RAM(Random Access Machine)；隨機存取存儲程序機RASP(Random Access Stored Program Machine)；圖靈機(Turing Machine)3.  

15、; 算法效率4.  時間 、空間、時間復(fù)雜度、 空間復(fù)雜度52n 6 最好 局部最優(yōu)選擇7. 貪心選擇 最優(yōu)子結(jié)構(gòu)二、簡答題（本題25分，每小題5分）6、 分治法的基本思想是將一個規(guī)模為n的問題分解為k個規(guī)模較小的子問題，這些子問題互相獨立且與原問題相同；對這k個子問題分別求解。如果子問題的規(guī)模仍然不夠小，則再劃分為k個子問題，如此遞歸的進行下去，直到問題規(guī)模足夠小，很容易求出其解為止；將求出的小規(guī)模的問題的解合并為一個更大規(guī)模的問題的解，自底向上逐步求出原來問題的解。7、 “最優(yōu)化原理”用數(shù)學(xué)化的語言來描述：假設(shè)為了解決某一優(yōu)化問題

16、，需要依次作出n個決策D1，D2，Dn，如若這個決策序列是最優(yōu)的，對于任何一個整數(shù)k，1 < k < n，不論前面k個決策是怎樣的，以后的最優(yōu)決策只取決于由前面決策所確定的當前狀態(tài)，即以后的決策Dk+1，Dk+2，Dn也是最優(yōu)的。8、 某個問題的最優(yōu)解包含著其子問題的最優(yōu)解。這種性質(zhì)稱為最優(yōu)子結(jié)構(gòu)性質(zhì)。9、 回溯法的基本思想是在一棵含有問題全部可能解的狀態(tài)空間樹上進行深度優(yōu)先搜索，解為葉子結(jié)點。搜索過程中，每到達一個結(jié)點時，則判斷該結(jié)點為根的子樹是否含有問題的解，如果可以確定該子樹中不含有問題的解，則放棄對該子樹的搜索，退回到上層父結(jié)點，繼續(xù)下一步深度優(yōu)先搜索過程。在回溯法中，并不

17、是先構(gòu)造出整棵狀態(tài)空間樹，再進行搜索，而是在搜索過程，逐步構(gòu)造出狀態(tài)空間樹，即邊搜索，邊構(gòu)造。10、 P(Polynomial問題)：也即是多項式復(fù)雜程度的問題。NP就是Non-deterministic Polynomial的問題，也即是多項式復(fù)雜程度的非確定性問題。NPC(NP Complete)問題，這種問題只有把解域里面的所有可能都窮舉了之后才能得出答案，這樣的問題是NP里面最難的問題，這種問題就是NPC問題。三、算法填空（本題20分，每小題5分）1、n后問題回溯算法(1) !Mj&&!Li+j&&!Ri-j+N(2) Mj=Li+j=Ri-j

18、+N=1;(3) try(i+1,M,L,R,A) (4) Aij=0 (5) Mj=Li+j=Ri-j+N=02、數(shù)塔問題。（1）c<=r(2)trc+=tr+1c（3）trc+=tr+1c+13、Hanoi算法（1）move(a,c)（2）Hanoi(n-1, a, c , b)（3）Move(a,c)4、（1）pv=NIL（2）pv=u(3) vadju（4）Relax(u,v,w)四、算法理解題（本題10分）1 2 3 4 5 6 7 82 1 4 3 6 5 8 73 4 1 2 7 8 5 64 3 2 1 8 7 6 55 6 7 8 1 2 3 46 5 8 7 2 1

19、4 37 8 5 6 3 4 1 28 7 6 5 4 3 2 1五、（1）8天（2分）；（2）當n=23=8時，循環(huán)賽日程表（3分）。六、算法設(shè)計題（本題15分）（1）貪心算法 O（nlog（n）Ø 首先計算每種物品單位重量的價值Vi/Wi，然后，依貪心選擇策略，將盡可能多的單位重量價值最高的物品裝入背包。若將這種物品全部裝入背包后，背包內(nèi)的物品總重量未超過C，則選擇單位重量價值次高的物品并盡可能多地裝入背包。依此策略一直地進行下去，直到背包裝滿為止。Ø 具體算法可描述如下：void Knapsack(int n,float M,float v,float w,float

20、 x)Sort(n,v,w);int i;for (i=1;i<=n;i+) xi=0;float c=M;for (i=1;i<=n;i+) if (wi>c) break;xi=1;c-=wi;if (i<=n) xi=c/wi;（2）動態(tài)規(guī)劃法 O(nc)m(i，j)是背包容量為j，可選擇物品為i，i+1，n時0-1背包問題的最優(yōu)值。由0-1背包問題的最優(yōu)子結(jié)構(gòu)性質(zhì)，可以建立計算m(i，j)的遞歸式如下。void KnapSack(int v,int w,int c,int n,int m11)int jMax=min(wn-1,c);for (j=0;j<

21、=jMax;j+) /*m(n,j)=0 0=<j<wn*/mnj=0;for (j=wn;j<=c;j+) /*m(n,j)=vn j>=wn*/mnj=vn;for (i=n-1;i>1;i-) int jMax=min(wi-1,c);for (j=0;j<=jMax;j+) /*m(i,j)=m(i+1,j) 0=<j<wi*/ mij=mi+1j;for (j=wi;j<=c;j+)/*m(n,j)=vn j>=wn*/ mij=max(mi+1j,mi+1j-wi+vi);m1c=m2c;if(c>=w1)m1c=m

22、ax(m1c,m2c-w1+v1);（3）回溯法 O(2n)cw:當前重量 cp:當前價值 bestp：當前最優(yōu)值void backtrack(int i) /回溯法  i初值1    if(i > n) /到達葉結(jié)點 bestp = cp;              return;        &#

23、160;            if(cw + wi <= c) /搜索左子樹              cw += wi;   cp += pi;               backtrack(i+1);    &#