五年級(jí)奧數(shù) (1)

1、五年級(jí)暑期 第一講分?jǐn)?shù)的乘除1. 定義：把單位 "1" 平均分成若干份，取其中的一份或幾份，可以用分?jǐn)?shù)表示。其中的一份叫做 分?jǐn)?shù)單位。例：4=取其中的幾份7=平均分成幾份三要素：?jiǎn)挝?"1"量表示大小、輕重、多少，大多數(shù)有單位。率表示兩個(gè)數(shù)之間的關(guān)系，沒(méi)有單位。 如：倍、份對(duì)于分?jǐn)?shù)、%(百分比)、比例的解題方法：列表格。例：部分 1部分 2全體549例：男生比女生多1/4，女生比男生少多少？男女全體4+149女生比男生少 1/5。2. 分?jǐn)?shù)：真分?jǐn)?shù)：分子 < 分母假分?jǐn)?shù)：分子 >= 分母帶分?jǐn)?shù)：整數(shù)(商) + 分?jǐn)?shù) (分子為余數(shù))3. 分?jǐn)?shù)與

2、除法：被除數(shù)除數(shù)商分子分母分?jǐn)?shù)值4. 最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)：分子與分母互質(zhì)互質(zhì)：兩個(gè)數(shù)只有公因數(shù) 1 ，叫做這個(gè)兩個(gè)數(shù)互質(zhì)。類型：相鄰的兩個(gè)整數(shù)互質(zhì)；相鄰的兩個(gè)奇數(shù)互質(zhì)；兩個(gè)不等的質(zhì)數(shù)互質(zhì)。5. 分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)與除法的商不變性質(zhì)相同。分子、分母同時(shí) 縮小 相同的倍數(shù)，分?jǐn)?shù)值不變。 =約分分子、分母同時(shí)擴(kuò)大 相同的倍數(shù)，分?jǐn)?shù)值不變。 =通分約分可分為：整體約分 和 連鎖約分。6. 分?jǐn)?shù)的乘除計(jì)算：乘法：分子 × 分子 分母 × 分母化帶為假，先約分，再計(jì)算。除法：除以一個(gè)數(shù)等于乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)。五年級(jí)暑期 第二講分?jǐn)?shù)的加減1. 通分：分子、分母同時(shí)擴(kuò)大相同的倍數(shù)。應(yīng)用：比較大小 例：2/7

3、 與 3/11同分母：22/77 21/77同分子：6/21 6/22通分的三種情況：一：兩個(gè)分?jǐn)?shù)分母互質(zhì)。二：兩個(gè)分?jǐn)?shù)分母不互質(zhì)。三：兩個(gè)分?jǐn)?shù)分母成倍數(shù)關(guān)系。2. 同分母分?jǐn)?shù)計(jì)算：分母不變，分子相加減。3. 異分母分?jǐn)?shù)計(jì)算：通分，轉(zhuǎn)異為同。4. 混合運(yùn)算：分?jǐn)?shù)的四則運(yùn)算；分(數(shù))小(數(shù))混合運(yùn)算；分(數(shù))小(數(shù))四則混合運(yùn)算;質(zhì)因數(shù)：因數(shù)中的質(zhì)數(shù)部分。分母中只包含質(zhì)因數(shù) 2 和 5 的分?jǐn)?shù)可以化為有限小數(shù)，否則只能為無(wú)限小數(shù)。重點(diǎn)：約分、裂項(xiàng) (裂和、裂差)五年級(jí)暑期 第三講棋盤中的數(shù)學(xué)棋盤是解決問(wèn)“能否”問(wèn)題的，是需要證明的。此外，通過(guò)數(shù)的奇偶性，也可以解決“能否”問(wèn)題。1. 黑白交替染色

4、 染色位置問(wèn)題找矛盾：黑白數(shù)量、奇偶性是否一致路線問(wèn)題雜題覆蓋1×2的小格子找矛盾：小圖形與大圖形黑白數(shù)量、奇偶性是否一致T字形小格子例6：(黑白交替染色)染色后，黑色相鄰的為白色，白色相鄰的為黑色，交換座位即：黑白，白黑，所以如果符合要求黑色必須等于白色，利用這個(gè)規(guī)律找矛盾。需要染色白黑黑白黑白18黑17白有矛盾否 (不能完全交換)例5： (黑白交替染色) 按照規(guī)律只能：黑白黑 ，所以奇數(shù)步為黑色，偶數(shù)步為白色。最后一個(gè)房間為第27步，應(yīng)為黑色，而且出口也為黑色，所以不存在矛盾。由于是立體圖形，可以采取切片法，分層來(lái)考慮。123427走：黑白黑白黑無(wú)矛盾染：黑黑可以例1：(黑白交替

5、染色) 分析小圖形大(圖一)大(圖二)大(圖三)1個(gè)：1黑1白7個(gè)：7黑7白7黑7白8黑6白8黑6白無(wú)矛盾有矛盾有矛盾能不能不能對(duì)于 (3黑1白) 和 (1黑3白) 黑白數(shù)量是不同的，使得無(wú)法通過(guò)黑白的數(shù)量進(jìn)行判斷，但是發(fā)現(xiàn)黑白的數(shù)量都是奇數(shù)，所以可以小圖形和大圖形黑白數(shù)量的奇偶性來(lái)判斷。一個(gè)T字型染色為奇黑奇白，通過(guò)計(jì)算所有小圖形的奇偶性來(lái)與大圖形的奇偶性進(jìn)行比較，從中查找是否矛盾。對(duì)于小圖形，設(shè)法制造奇黑奇白，其目的是與偶黑偶白制造矛盾。例3小圖形大圖形其他：偶黑偶白：奇黑奇白奇黑奇白偶黑偶白有矛盾不能2. 條形染色 (斑馬染色) 主要用于：1黑1白、2黑1白、3黑1白，制造奇黑奇白。圖形

6、： 保證該圖形始終是3黑1白。3. 混換染色 123412234123341234412341圖形：1234通過(guò)計(jì)算各個(gè)數(shù)字的個(gè)數(shù)，來(lái)查找矛盾。4. 大方格染色 圖形： 保證該圖形始終是1黑3白。5. 牙齒染色 該染色不同之處在于，大圖形是奇黑奇白，通過(guò)多個(gè)小圖形的和，得到偶黑偶白，從而查找矛盾。注：所有染色的目的都是查找 奇黑奇白 和 偶黑偶白 之間存在的矛盾6. 階梯型標(biāo)數(shù)法要求：有先后限制，有大小(數(shù)量)限制，兩個(gè)限制缺一不可，限制方用 ，受限方用表示。例：有4個(gè)不同的臟碗上下摞在一起，甲洗碗，乙擦碗，問(wèn)干凈的碗有多少種摞法？14分析：首先甲乙有先后的限制，甲先乙后，而且有數(shù)量的限制，乙

7、的數(shù)量不可能超過(guò)甲，所以要有階梯型標(biāo)數(shù)法。5954321211111例：10人去公園，其中5人只有50元，另5人只有100元，公園門票50元，而且售票處開(kāi)始時(shí)沒(méi)有錢，問(wèn)共有多少種買票的方法？分析：有100元錢的人受50元錢的人的限制，100元錢的人不可能多余50元錢的人，所以用階梯型標(biāo)數(shù)法。42×5！×5！五年級(jí)暑期 第四講枚舉法進(jìn)階1. 有序從小到大2. 分類3. 板書(shū)例4：設(shè)三邊為a、b、c(由大到小)，則abc，cba。由 cba，可知cb2、3、4。ab cab cb cab cb cb cab cb cab c23 434 54 645 65 75 856 76

8、867 84 55 65 76 76 87 85 66 76 87 86 77 87 8例6：飛飛必須站中間，所以2、5是等同的，3、4是等同的。飛飛在2 (5) 位，盛、東：1 3、1 4、1 5、1 6、3 5、3 6、4 6剩下三人：6種總共：7×2×2×6飛飛在3 (4) 位，盛、東：1 4、1 5、1 6、2 4、2 5、2 6、4 6剩下三人：6種總共：7×2×2×6拓展：5個(gè)藥瓶，其中三個(gè)帖錯(cuò)了標(biāo)簽，問(wèn)共有多少種錯(cuò)誤方法？C52(兩個(gè)帖對(duì)的)×2(全帖錯(cuò))五年級(jí)暑期 第五講排列組合初步排列組合理解都是不同元素有

9、序交換位置后結(jié)果不一樣。關(guān)鍵在排 (先選再排)全排列A55=5！階乘超過(guò)10的階乘不用計(jì)算。無(wú)序交換位置結(jié)果一致，或本身不能交換位置。關(guān)鍵在選 (只選不排)計(jì)算Anm = n(n-1).(n-m+1)n! = 1×2×3×. ×nn!·(n+1) = (n+1)!0! = 1Cnm = Anmm!Cnm = Cnn-mCn0 = Cnn = 1Cn0Cn1Cn2.Cnn = 2n應(yīng)用：1. 判斷 有序(A) 或 無(wú)序(C)2. 方法：捆綁法、插空法、擋板法、直排法 .3. 從 . 中選 . 個(gè)例：1×1！ 2×2！ 3×3！ 4×4！ . 2014×2014!=(2-1)×1！ (3-1)×2！ (4-1)×3！ (5-1)×4！ . (2015-1)×2014!=2!1! 3! 2! 4! 3! . 2015! 2014!=2015! 1拓展：8人前后站兩排，后面的人比前面的高，問(wèn)有多少種排法。C11C32C63C104五年級(jí)暑期 第五講質(zhì)數(shù)與合數(shù)1：既不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù)。質(zhì)數(shù)：只能分解成1和它本身2個(gè)因數(shù)。