五年級數(shù)奧--余數(shù)問題(詳細(xì)分析講解)

1、五年級數(shù)奧余數(shù)問題(詳細(xì)分析講解）  各種與余數(shù)有關(guān)的整數(shù)問題,其中包括求方冪的末位數(shù)字,計算具有規(guī)律的多位數(shù)除以小整數(shù)的余數(shù)，以及用逐步試算法找出滿足多個余數(shù)條件的最小數(shù)等  1.號碼分別為101,126,173,193的4個運(yùn)動員進(jìn)行乒乓球比賽,規(guī)定每兩人比賽的盤數(shù)是他們號碼的和被3除所得的余數(shù).那么打球盤數(shù)最多的運(yùn)動員打了多少盤?   【分析與解】  因?yàn)閮蓚€數(shù)和的余數(shù)同余與余數(shù)的和    有101,126,173,193除以3的余數(shù)依次為2,0,2,1    

2、;則101號運(yùn)動員與126,173,193號運(yùn)動員依次進(jìn)行了2,1,0盤比賽,共3盤比賽；       126號運(yùn)動員與101,173,193號運(yùn)動員依次進(jìn)行了2,2,l盤比賽,共5盤比賽；       173號運(yùn)動員與101,126,193號運(yùn)動員依次進(jìn)行了1,2,0盤比賽,共3盤比賽；       193號運(yùn)動員與101,126,173號運(yùn)動員依次進(jìn)行了0,1,0盤比賽,共1盤比賽  

3、60;所以,打球盤數(shù)最多的運(yùn)動是126號,打了5盤    評注:兩個數(shù)和的余數(shù),同余與余數(shù)的和；         兩個數(shù)差的余數(shù),同余與余數(shù)的差；         兩個數(shù)積的余數(shù),同余與余數(shù)的積.  2.自然數(shù) 的個位數(shù)字是多少?   【分析與解】  我們先計算 的個數(shù)數(shù)字,再減去1即為所求.(特別的如果是O,那么減去1后的個位數(shù)字因?yàn)榻栉粸?) 

4、   將一個數(shù)除以10,所得的余數(shù)即是這個數(shù)的個位數(shù)字.而積的余數(shù),同余余數(shù)的積    有2除以10的余數(shù)為2,2×2除以10的余數(shù)為4,2×2×2除以10的余數(shù)為8,2×2×2×2除以i0的余數(shù)為6；    2×2×2×2×2除以i0的余數(shù)為 除以10的余數(shù)為4, 除以10的余數(shù)為8, 除以10的余數(shù)為6；   也就是說,n個2相乘所得的積除以10的余數(shù)每4個數(shù)一循環(huán)   &

5、#160;因?yàn)?7÷4=163，所以 除以10的余數(shù)同余與2×2×2,即余數(shù)為8,所以 除以10的余數(shù)為7    即 的個位數(shù)字為7評注：n個相同的任意整數(shù)相乘所得積除以10的余數(shù)每4個數(shù)一循環(huán)  3.算式7+7×7+ 計算結(jié)果的末兩位數(shù)字是多少?   【分析與解】  我們只用算出7+7×7+7 的和除以100的余數(shù),即為其末兩位數(shù)字    7除以100的余數(shù)為7,7×7除以100的余數(shù)為49,7×7×7除

6、以100的余數(shù)為43,7 ×7 ×7×7除以100的余數(shù)等于43×7除以100的余數(shù)為1；    而 除以100的余數(shù)等于 的余數(shù),即為7,    這樣我們就得到一個規(guī)律 除以100所得的余數(shù),4個數(shù)一循環(huán),依次為7,49,43,1    1990÷4=4972,所以7+7×7+7×7× 的和除以100的余數(shù)同余    497×(7+49+43+1)+7+49=49756,除以100余5

7、6所以算式7+7×7+ 計算結(jié)果的末兩位數(shù)字是56 4.19901990除以9的余數(shù)是多少?      【分析與解】  能被9整除的數(shù)的特征是其數(shù)字和能被9整除,如果這個數(shù)的數(shù)字和除以9余a,那么再減去a而得到的新數(shù)一定能被9整除,因而這個新數(shù)加上a后再除以9,所得的余數(shù)一定為a,即一個數(shù)除以9的余數(shù)等于其數(shù)字和除以9的余數(shù)    的數(shù)字和為20×(1+9+9+0)380，380的數(shù)字和又是3+8=11,11除以9的余數(shù)為2,所以 除以9的余數(shù)是2 5.將1,2,3

8、，,30從左往右依次排列成一個51位數(shù),這個數(shù)被11除的余數(shù)是多少?   【分析與解】  1,2,3,30這30個數(shù)從左往右依次排列成一個51位數(shù)為：1234569101519202l252930    記個位為第l位,十位為第2位,那么：    它的奇數(shù)位數(shù)字和為:0+9+8+7+6+l+9+8+7+6+1+9+7+5+3+l=115：    它的偶數(shù)位數(shù)字和為:3+ + +8+6+4+2=53；    它的奇數(shù)位數(shù)字和與偶數(shù)位數(shù)字和的差為11

9、553：62而62除以1l的余數(shù)為7    所以將原來的那個51位數(shù)增大4所得到的數(shù)12345691015192021252934就是1l倍數(shù),則將12345691015192021252934減去4所得到數(shù)除以11的余數(shù)為7    即這個51位數(shù)除以11的余數(shù)是7    評注:如果記個位為第1位,十位為第2位,那么一個數(shù)除以11的余數(shù)為其奇數(shù)位數(shù)字和A減去偶數(shù)位數(shù)字和B的差A(yù)-B=C,再用C除以1l所得的余數(shù)即是原來那個數(shù)的余數(shù).(如果減不開可將偶數(shù)位數(shù)字和B減去奇數(shù)位數(shù)字和A,求得B-A=C,再求出C

10、除以1l的余數(shù)D,然后將11-D即為原來那個數(shù)除以11的余數(shù))    如:123456的奇數(shù)位數(shù)字和為6+4+2=12,偶數(shù)位數(shù)字和為5+3+1=9,奇數(shù)位數(shù)字和與偶數(shù)位數(shù)字和的差為12-9=3,所以123456除以11的余數(shù)為3又如:654321的奇數(shù)位數(shù)字和為1+3+5=9,偶數(shù)位數(shù)字和為2+4+6=12,奇數(shù)位數(shù)字和減不開偶數(shù)位數(shù)字和,那么先將12-9=3,顯然3除以11的余數(shù)為3,然后再用11-3=8,這個8即為654321除以11的余數(shù)  6.一個1994位的整數(shù),各個數(shù)位上的數(shù)字都是3.它除以13,商的第200位（從左往右數(shù))數(shù)字是

11、多少?商的個位數(shù)字是多少?余數(shù)是多少?   【分析與解】  這個數(shù)即為 ，而整除13的數(shù)的特征是將其后三位與前面的數(shù)隔開而得到兩個新數(shù)，將這兩個新數(shù)做差，這個差為13的倍數(shù)    顯然有 能夠被13整除,而1994÷6=3322，即       而 是13的倍數(shù)，所以 除以13的余數(shù)即為33除以13的余數(shù)為7    有 ,而 ,所以 除以13所得的商每6個數(shù)一循環(huán),從左往右依次為2、5、6、4、1、0   

12、 200÷6=332,所以除以 所得商的第200位為5 除以13的個位即為33除以13的個位，為2即商的第200位(從左往右數(shù))數(shù)字是5,商的個位數(shù)字是2,余數(shù)是7  7.己知：a= .問:a除以13的余數(shù)是幾?   【分析與解】  因?yàn)?99119911991能被13整除,而1991÷3=6632有a= =199119911991×1 +199119911991×1 +199119911991× +199119911991×1 +199119911991×1 +199119

13、91所以a除以13的余數(shù)等于19911991除以13的余數(shù)8  8.有一個數(shù),除以3余數(shù)是2,除以4余數(shù)是1.問這個數(shù)除以12余數(shù)是幾?   【分析與解】  我們將這個數(shù)加上7,則這個數(shù)能被3整除,同時也能被4整除,顯然能被12整除,所以原來這個數(shù)除以12的余數(shù)為12-7=5     9.某個自然數(shù)被247除余63,被248除也余63.那么這個自然數(shù)被26除余數(shù)是多少?       【分析與解】  我們將這個數(shù)減去63,則得到

14、的新數(shù)能被247整除,也能被248整除,而相鄰的兩個整數(shù)互質(zhì),所以得到的新數(shù)能被247×248整除,顯然能被26整除    于是將新數(shù)加上63除以26的余數(shù)等于63除以26的余數(shù)為11所以這個自然數(shù)被26除余數(shù)是11  10.一個自然數(shù)除以19余9,除以23余7.那么這個自然數(shù)最小是多少?   【分析與解】  這個自然數(shù)可以表達(dá)為19m+9,也可以表達(dá)為23n+7,則有19m+9=23n+7，即23n-19m=2，將未知數(shù)系數(shù)與常數(shù)對19取模,有4n2(mod 19)   &

15、#160; n最小取10時,才有4n2(mod 19).所以原來的那個自然數(shù)最小為23×lO+7=237評注：有時往往需要利用不定方程來清晰的表示余數(shù)關(guān)系,反過來不定方程往往需要利用余數(shù)的性質(zhì)來求解  11.如圖15-l,在一個圓圈上有幾十個孔(少于100個).小明像玩跳棋那樣從A孔出發(fā)沿著逆時針方向，       每隔幾個孔跳一步,希望一圈以后能跳回到A孔.他先試著每隔2孔跳一步,結(jié)果只能跳到B孔.他又試著每隔4孔跳一步，也只能跳到B孔.最后他每隔6孔跳一步,正好回到4孔.問這個圓圈上共有多少

16、個孔?   【分析與解】  設(shè)這個圓圈有n個孔,那么有n除以3余1,n除以5余1.n能被7整除    則將n-1是3、5的倍數(shù),即是15的倍數(shù),所以n=15t+1,又因?yàn)榉彩?的倍數(shù),即15t+1=7A,將系數(shù)與常數(shù)對7取模,有t+10(mod7),所以t取6或6與7的倍數(shù)和.    對應(yīng)孔數(shù)為15×6+l=91或91與105的倍數(shù)和，滿足題意的孔數(shù)只有91即這個圓圈上共有91個孔  12.某住宅區(qū)有12家住戶，他們的門牌號分別是1,2,3，,12.他們的電話號碼依次是12個

17、連續(xù)的六位自然數(shù),并且每家的電話號碼都能被這家的門牌號碼整除.已知這些電話的首位數(shù)字都小于6,并且門牌號碼是9的這一家的電話號碼也能被13整除,問這一家的電話號碼是什么數(shù)?   【分析與解】  設(shè)這12個連續(xù)的自然數(shù)為n+1,n+2,n+3,n+12,那么有它們依次能被1,2,3,12整除,顯然有凡能同時被1,2,3,12整除.即n為1,2,3,12的公倍數(shù)    1,2,3,12=23×32×5×7×11=27720,所以n是27720的倍數(shù),設(shè)為27720k.則有第9家的門牌號碼為27720

18、k+9為13的倍數(shù),即27720k+9=13A.將系數(shù)與常數(shù)對13取模有:4k+90(mod 13),所以后可以取l或1與13的倍的和.有要求n+1,n+2,n+3,n+12,為六位數(shù),且首位數(shù)字都小于6,所以k只能取14,有7n=27720×14=388080那么門牌號碼是9的這一家的電話號碼是388080+9=388089  13.有5000多根牙簽,可按6種規(guī)格分成小包.如果10根一包,那么最后還剩9根.如果9根一包,那么最后還剩8根.第三、四、五、六種的規(guī)格是,分別以8,7,6,5根為一包,那么最后也分別剩7,6,5,4根.原來一共有牙簽多少根? 

19、;  【分析與解】  設(shè)這包牙簽有n根,那么加上1根后為n+1根此時有n+1根牙簽即可以分成10根一包，又可以分成9根一包,還可以分成8、7、6、5根一包.    所以,n+1是10、9、8、7、6、5的倍數(shù),即它們的公倍數(shù)    10,9,8,7,6,51=23×32×5×7=2520,即n+1是2520的倍數(shù),在滿足題下只能是2520×2=5040,所以n=5039即原來一共有牙簽5039根  14.有一個自然數(shù),用它分別去除63,90,130都有余數(shù)

20、,3個余數(shù)的和是25.這3個余數(shù)中最大的一個是多少?    【分析與解】  設(shè)這個除數(shù)為M,設(shè)它除63,90,130所得的余數(shù)依次為a,b,c,商依次為A,B,C     63÷M=Aa          90÷M=Bb           130÷M=Cc    a+b+c=25,則(63+90+130)-(a+b+c)=(A+B+C)×M,即2