統(tǒng)計(jì)學(xué)抽樣推斷

1、統(tǒng)計(jì)學(xué)授課題目第6章 抽樣推斷課次第8-9次授課方式講授課時(shí)安排第8教學(xué)周-第9教學(xué)周，共4課時(shí)教學(xué)目的： 通過(guò)本章的學(xué)習(xí)，要求掌握利用樣本統(tǒng)計(jì)資料來(lái)推斷總體數(shù)量特征的原理及方法；深刻理解抽樣推斷的概念及特點(diǎn)；了解抽樣誤差產(chǎn)生的原因，并對(duì)抽樣誤差、抽樣平均誤差、抽樣極限誤差加以區(qū)別，掌握抽樣平均誤差、抽樣極限誤差的計(jì)算；掌握點(diǎn)估計(jì)和區(qū)間估計(jì)的方法；掌握必要樣本單位數(shù)的確定方法。教學(xué)重點(diǎn)及難點(diǎn)提示： 重點(diǎn)：區(qū)間估計(jì) 難點(diǎn)：抽樣平均誤差的計(jì)算案例導(dǎo)入：大學(xué)生消費(fèi)調(diào)查：一個(gè)月你花多少？第一節(jié) 抽樣推斷概述 一、抽樣推斷的概念及特點(diǎn) （一）概念按隨機(jī)原則從總體中抽取部分單位，根據(jù)這部分單位的信息對(duì)總體

2、的數(shù)量特征進(jìn)行科學(xué)估計(jì)與推斷的方法。 包括抽樣調(diào)查和統(tǒng)計(jì)推斷 抽樣調(diào)查：一種非全面調(diào)查，按隨機(jī)原則從總體中抽取部分單位進(jìn)行調(diào)查以獲得相關(guān)資料，以推斷總體 統(tǒng)計(jì)推斷：根據(jù)抽樣調(diào)查所獲得的信息，對(duì)總體的數(shù)量特征作出具有一定程度的估計(jì)和推斷。 （二）特點(diǎn) 1.按隨機(jī)原則（等可能性原則）抽取調(diào)查單位.隨機(jī)抽樣的目的是為了排除人的主觀影響，使每個(gè)樣本都有系統(tǒng)的可能性被抽中，使樣本對(duì)總體具有充分的代表性。隨機(jī)性原則是保證抽樣推斷正確性的一個(gè)重要前提條件。隨機(jī)抽樣不是隨便抽樣。 2.根據(jù)部分推斷總體的數(shù)量特征 3.抽樣推斷的結(jié)果具有一定的可靠性和準(zhǔn)確性，抽樣誤差可以事先計(jì)算和控制其他特點(diǎn)有經(jīng)濟(jì)性、時(shí)效性、準(zhǔn)

3、確性、靈活性等 （三）抽樣推斷的應(yīng)用 1.不可能進(jìn)行全面調(diào)查時(shí) 2.不必要進(jìn)行全面調(diào)查時(shí) 3.檢查生產(chǎn)過(guò)程正常與否 4.對(duì)全面調(diào)查資料進(jìn)行補(bǔ)充修正時(shí) 二、抽樣的幾個(gè)基本概念 1.樣本容量與樣本個(gè)數(shù) （1）樣本容量：樣本是從總體中抽出的部分單位的集合，這個(gè)集合的大小稱為樣本容量，一般用n表示，它表明一個(gè)樣本中所包含的單位數(shù)。一般地，樣本單位數(shù)大于30個(gè)的樣本稱為大樣本，不超過(guò)30個(gè)的樣本稱為小樣本。 （2）樣本個(gè)數(shù)：又稱樣本可能數(shù)目，它是指從一個(gè)總體中可能抽取多少個(gè)樣本。樣本個(gè)數(shù)的多少與抽樣方法有關(guān)。 2.總體參數(shù)與樣本統(tǒng)計(jì)量 （1）總體參數(shù)：總體分布的數(shù)量特征就是總體參數(shù)，也是抽樣統(tǒng)計(jì)推斷的對(duì)

4、象。常見(jiàn)的總體參數(shù)有：總體的平均數(shù)指標(biāo)，總體成數(shù)（比重）指標(biāo)，總體分布的方差、標(biāo)準(zhǔn)差等等。 （2）樣本統(tǒng)計(jì)量：與總體參數(shù)對(duì)應(yīng)的是樣本統(tǒng)計(jì)量。設(shè)（）是總體容量為n的樣本，若樣本函數(shù)（）中不含任何未知參數(shù)，則稱為一個(gè)統(tǒng)計(jì)量。例如就是一個(gè)統(tǒng)計(jì)量,稱為樣本均值（Sample mean），也是統(tǒng)計(jì)量,稱為樣本方差（Sample variance）， 3.重復(fù)抽樣與不重復(fù)抽樣 （1）重復(fù)抽樣：是指從總體中抽出一個(gè)樣本單位，記錄其標(biāo)志值后，又將其放回總體中繼續(xù)參加下一次樣本單位的抽取。 （2）不重復(fù)抽樣：即每次從總體中抽取一個(gè)單位，登記后不放回原總體，不參加下一次抽樣。 第二節(jié) 抽樣推斷的方法 一、點(diǎn)估計(jì)

5、（一）點(diǎn)估計(jì)的概念及特點(diǎn) 參數(shù)估計(jì)：以樣本統(tǒng)計(jì)量對(duì)總體參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，有點(diǎn)估計(jì)和區(qū)間估計(jì)兩種。 點(diǎn)估計(jì)：直接以樣本統(tǒng)計(jì)量作為相應(yīng)的總體參數(shù)的估計(jì)量。優(yōu)點(diǎn):直接給出了總體參數(shù)的具體數(shù)值 缺點(diǎn):未能反映誤差的大小 參數(shù)點(diǎn)估計(jì)有： （1）樣本均值估計(jì)總體均值 （2）樣本成數(shù)估計(jì)總體成數(shù) （3）樣本方差估計(jì)總體方差 （二）估計(jì)的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)： （1）無(wú)偏性： 設(shè)是未知參數(shù)的一個(gè)點(diǎn)估計(jì)量，若滿足 即估計(jì)量的數(shù)學(xué)期望等于被估計(jì)參數(shù)則稱是的無(wú)偏估計(jì)量，否則稱為有偏估計(jì)量。需要注意的是，由于估計(jì)量是樣本的函數(shù)，樣本量是維隨機(jī)變量，所以對(duì)求平均是按樣本的概率分布求平均。無(wú)偏性是我們衡量點(diǎn)估計(jì)量好壞的一個(gè)評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，這個(gè)

6、評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)的直觀意義如下：由于樣本的出現(xiàn)帶有隨機(jī)性，所以基于一次具體抽樣所得的參數(shù)估計(jì)值未必等于參數(shù)真值，這是由樣本的隨機(jī)性造成的。我們希望當(dāng)大量使用這個(gè)估計(jì)量對(duì)參數(shù)進(jìn)行估計(jì)時(shí)，一系列估計(jì)值的平均值應(yīng)該與待估參數(shù)真值相等。這就從平均效果上對(duì)估計(jì)量的優(yōu)劣給出一個(gè)評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)。 （2）有效性：設(shè)，均為未知參數(shù)的無(wú)偏估計(jì)量，如果對(duì)參數(shù)的一切可能取值有，則稱無(wú)偏估計(jì)量比有效一個(gè)無(wú)偏估計(jì)量并不意味著他就非常接近被估計(jì)的參數(shù)，他還必須與總體參數(shù)的離散程度比較小。對(duì)同一總體參數(shù)的兩個(gè)無(wú)偏點(diǎn)估計(jì)量，方差小者更有效。 （3）一致性：指隨著樣本單位數(shù)n的增大，樣本估計(jì)量將在概率意義下越來(lái)越接近于總體真實(shí)值若對(duì)于任意&g

7、t;0，有 二、區(qū)間估計(jì)法在參數(shù)估計(jì)中，雖然點(diǎn)估計(jì)可以給出未知參數(shù)的一個(gè)估計(jì)，但不能給出估計(jì)的精度。為此人們希望利用樣本給出一個(gè)范圍，要求它以足夠大的概率包含待估參數(shù)真值。這就是導(dǎo)致區(qū)間估計(jì)問(wèn)題。所謂區(qū)間估計(jì)，就是估計(jì)總體參數(shù)的區(qū)間范圍，并要求給出區(qū)間估計(jì)成立的概率值。設(shè)是未知參數(shù)，是來(lái)自總體的樣本，構(gòu)造兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量，對(duì)于給定的（01），若、滿足 則稱隨機(jī)區(qū)間，是參數(shù)的置信水平為的置信區(qū)間, 稱為，的置信度，稱為置信限。這里有幾點(diǎn)需要說(shuō)明：(1)區(qū)間，的端點(diǎn)，及長(zhǎng)度都是樣本的函數(shù)，從而都是隨機(jī)變量，因此，是一個(gè)隨機(jī)區(qū)間。(2) 是說(shuō)隨機(jī)區(qū)間，以的概率包含未知參數(shù)真值，區(qū)間長(zhǎng)度描述估計(jì)的精度，置信

8、水平描述了估計(jì)的可靠度。(3)因?yàn)槲粗獏?shù)是非隨機(jī)變量，所以不能說(shuō)落入?yún)^(qū)間，的概率是，而應(yīng)是隨機(jī)區(qū)間，包含的概率是。通俗地說(shuō)，在點(diǎn)估計(jì)的基礎(chǔ)上，給出總體參數(shù)的一個(gè)范圍稱為區(qū)間估計(jì)。 （二）總體均值的區(qū)間估計(jì) 1.正態(tài)總體且方差已知；或非正態(tài)總體、方差未知、大樣本情況下在這種情況下，樣本均值的抽樣分布呈正態(tài)分布，其數(shù)學(xué)期望為總體均值，方差為。則稱為總體均值在置信水平下的置信區(qū)間。u 區(qū)間估計(jì)步驟：1.計(jì)算樣本統(tǒng)計(jì)量2.計(jì)算抽樣平均誤差3.計(jì)算極限誤差4.確定置信區(qū)間5.估計(jì)總量指標(biāo)l 注意抽樣方法的不同例保險(xiǎn)公司從投保人中隨機(jī)抽取36人,計(jì)算得36人的平均年齡歲，已知投保人平均年齡近似服從正態(tài)分

9、布，標(biāo)準(zhǔn)差為7.2歲，試求全體投保人平均年齡的置信水平為99%的置信區(qū)間。解：查表得故全體投保人平均年齡的置信水平為99%的置信區(qū)間為36.41,42.59² 若總體方差未知，可用樣本方差S2代替即39.5±2.13=(37.37，41.63)，投保人平均年齡在90的置信水平下的置信區(qū)間為37.37歲41.63歲。2.正態(tài)總體、方差未知、小樣本情況下如果總體服從正態(tài)分布,無(wú)論樣本容量大小,樣本均值的抽樣分布都服從正態(tài)分布。只要總體方差已知，即使在小樣本情況下，也可以計(jì)算總體均值的置信區(qū)間。如果總體方差未知，需用樣本方差S2代替，在小樣本情況下，應(yīng)用分布來(lái)建立總體均值的置信區(qū)

10、間。分布是類似正態(tài)分布的一種對(duì)稱分布，他通常要比正態(tài)分布平坦和分散。隨著自由度的增大，分布逐漸趨于正態(tài)分布。正態(tài)總體、方差未知、小樣本情況下，總體均值在置信水平下的置信區(qū)間為： （重復(fù)抽樣條件下） （6.18） （不重復(fù)抽樣條件下） （6.19）其中為t分布臨界值，可以查t分布臨界值表得到 （三）成數(shù)的區(qū)間估計(jì)在大樣本（一般經(jīng)驗(yàn)規(guī)則：）條件下，樣本比例的抽樣分布可用正態(tài)分布近似。在這種情況下，數(shù)理統(tǒng)計(jì)已經(jīng)證明如下結(jié)論：置信水平為的置信區(qū)間為： （重復(fù)抽樣） （不重復(fù)抽樣） 例某城市想要估計(jì)下崗職工中女性所占的比例，采取重復(fù)抽樣方法隨機(jī)抽取了100名下崗職工，其中65人為女性。試以95的置信水平

11、估計(jì)該城市下崗職工中女性所占比例的置信區(qū)間。解：已知，根據(jù)公式得： 即65±9.35%=(55.65%，74.35%)，95的置信水平下估計(jì)該城市下崗職工中女性所占比例的置信區(qū)間為55.65%74.35%。例某企業(yè)共有職工1000人，企業(yè)準(zhǔn)備實(shí)行一項(xiàng)改革，在職工中征求意見(jiàn)，采用不重復(fù)抽樣方法，隨機(jī)抽取200人作為樣本，調(diào)查結(jié)果顯示，由150人表示贊成這項(xiàng)改革，有50人表示反對(duì)。試以95的置信水平確定贊成改革的人數(shù)比例的置信區(qū)間。解：已知，根據(jù)公式得：即75±5.37%=(69.63%，80.37%)，95的置信水平下估計(jì)贊成改革的人數(shù)比例的置信區(qū)間為69.63%80.37%

12、。 三、樣本容量的確定 （一）影響樣本容量的意義在抽取樣本時(shí)樣本容量應(yīng)多大是一個(gè)很實(shí)際的問(wèn)題。樣本容量取得比較大，收集的信息就比較多，從而估計(jì)精度比較高，但進(jìn)行觀測(cè)所投入的費(fèi)用、人力及時(shí)間就比較多；樣本容量取得比較小，則投入的費(fèi)用、人力及時(shí)間就比較少，但收集的信息也比較少，從而估計(jì)精度比較低。這說(shuō)明精度和費(fèi)用對(duì)樣本量的影響是矛盾的，不存在既使精度最高又使費(fèi)用最省的樣本量。一個(gè)常用的準(zhǔn)則是在使精度得到保證的前提下尋求使費(fèi)用最省的樣本量。由于費(fèi)用通常是樣本量的正向線性函數(shù)，故使費(fèi)用最省的樣本量也就是使精度得到保證的最小樣本量。 （二）估計(jì)總體均值時(shí)樣本容量的確定重復(fù)抽樣條件下： 在簡(jiǎn)單隨機(jī)不重復(fù)抽

13、樣條件下， 或S通常未知。一般按以下方法確定其估計(jì)值：過(guò)去的經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)；試驗(yàn)調(diào)查樣本的S。 例 在某企業(yè)中采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣調(diào)查職工月平均獎(jiǎng)金額，設(shè)職工月獎(jiǎng)金額服從標(biāo)準(zhǔn)差為10元的正態(tài)分布，要求估計(jì)的絕對(duì)誤差為3元，可靠度為95%，試問(wèn)應(yīng)抽多少職工？解：已知?jiǎng)t即需抽取43名職工作為樣本進(jìn)行調(diào)查。 （三）估計(jì)成數(shù)時(shí)樣本大小的確定在簡(jiǎn)單隨機(jī)重復(fù)抽樣條件下，得到樣本容量： （重復(fù)抽樣條件下）在簡(jiǎn)單隨機(jī)不重復(fù)抽樣條件下，我們可以得出估計(jì)總體比例時(shí)樣本容量的計(jì)算公式為：（不重復(fù)抽樣條件下）例根據(jù)以往的生產(chǎn)統(tǒng)計(jì)，某種產(chǎn)品的合格率為90%，現(xiàn)要求絕對(duì)誤差為5%，在置信水平為95%的置信區(qū)間時(shí)，應(yīng)抽取多少個(gè)產(chǎn)品作

14、為樣本？已知， 則=u 必要樣本容量的影響因素1.總體方差的大??；2.允許誤差范圍的大??；3.概率保證程度；4.抽樣方法；5.抽樣的組織方式。 第三節(jié) 抽樣的組織形式Ø 抽樣的組織形式有純隨機(jī)抽樣、機(jī)械抽樣、類型抽樣、整群抽樣和多階段抽樣。一、純隨機(jī)抽樣1.含義：對(duì)總體單位逐一編號(hào)，然后按隨機(jī)原則直接從總體中抽出若干單位構(gòu)成樣本2.特點(diǎn)：最符合抽樣調(diào)查的隨機(jī)原則，是基本形式。簡(jiǎn)便易行。3.范圍：僅適用于單位數(shù)不多、標(biāo)志變異較小、分布較均勻的總體二、類型抽樣1.含義：先將全及總體中的所有單位按某一主要標(biāo)志分組，然后在各組中采用純隨機(jī)抽樣或機(jī)械抽樣方式，抽取一定數(shù)目的調(diào)查單位構(gòu)成所需的樣

15、本。又叫分層抽樣或分類抽樣。2.方法：A比例分配法 ni/n=Ni/NB 最佳分配法 根據(jù)各層單位的變異程度的大小來(lái)分配C經(jīng)濟(jì)分配法 除了考慮單位數(shù)目和變異程度外，還有調(diào)查費(fèi)用。3.特點(diǎn)：能保證分布的均勻性，提高樣本的代表性，誤差較??；能同時(shí)推斷總體指標(biāo)和各子總體的指標(biāo)三、機(jī)械抽樣1.含義：是先將全及總體所有單位按某一標(biāo)志順序編號(hào)排列，然后按照固定順序和相等的空間距離或間隔，從中抽取樣本單位的一種抽樣組織方式。又叫等距抽樣或系統(tǒng)抽樣。2.方法：根據(jù)需要計(jì)算抽取各個(gè)樣本單位之間的距離或間隔；然后，按此間隔依次抽取必要的樣本單位。3.特點(diǎn)：能保證樣本較均勻地分布。是不重復(fù)的抽樣。4.形式：按無(wú)關(guān)標(biāo)志排隊(duì)，其抽樣效果相當(dāng)于簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣；按有關(guān)標(biāo)志排隊(duì)，其抽樣效果相當(dāng)于類型抽樣。四、整群抽樣1.含義：將全及總體單位劃分為若干群或組，然后按純隨機(jī)抽樣或等局抽樣方式，從中成群或成組的抽取樣本單位