13概率的公理化定義及其性質(zhì)

1、幾何概型幾何概型 P11u 將古典概型中的有限性推廣到無限性，而保留等可將古典概型中的有限性推廣到無限性，而保留等可能性，就得到幾何概型能性，就得到幾何概型.()()()ALAPASLS的 幾 何 度 量的 幾 何 度 量u 幾何度量幾何度量-指長度、面積或體積指長度、面積或體積 甲乙二人相約定甲乙二人相約定6：00-6：30在預(yù)定地點(diǎn)會(huì)面，在預(yù)定地點(diǎn)會(huì)面，先到的人要等候另一人先到的人要等候另一人10分鐘后，方可離開。求甲分鐘后，方可離開。求甲乙二人能會(huì)面的概率，假定他們在乙二人能會(huì)面的概率，假定他們在6:00-6:30內(nèi)的內(nèi)的任意時(shí)刻到達(dá)預(yù)定地點(diǎn)的機(jī)會(huì)是等可能的。任意時(shí)刻到達(dá)預(yù)定地點(diǎn)的機(jī)會(huì)是

2、等可能的。幾何概型的計(jì)算：會(huì)面問題幾何概型的計(jì)算：會(huì)面問題 P11 解解 設(shè)甲乙二人到達(dá)預(yù)定地點(diǎn)設(shè)甲乙二人到達(dá)預(yù)定地點(diǎn)的時(shí)刻分別為的時(shí)刻分別為 x 及及 y（分鐘）（分鐘）, 則則030 x030y10 xy二人會(huì)面二人會(huì)面22230(3010)5930P30301010yx 一樓房共一樓房共1414層，假設(shè)電梯在一樓啟動(dòng)時(shí)有層，假設(shè)電梯在一樓啟動(dòng)時(shí)有1010名乘名乘客，且乘客在各層下電梯是等可能的客，且乘客在各層下電梯是等可能的( (第一層不下人第一層不下人) )。試求下列事件的概率：試求下列事件的概率：A A1 1=10=10個(gè)人在同一層下個(gè)人在同一層下 ；A A2 2=10=10人在不同

3、的樓層下人在不同的樓層下 ；A A3 3=10=10人都在第人都在第1414層下層下 ；A A4 4=10=10人恰有人恰有4 4人在第人在第8 8層下層下 .總的基本事件數(shù)：總的基本事件數(shù)： 1013各事件含有的基本事件數(shù)分別為：各事件含有的基本事件數(shù)分別為： 113C1013PA1 A2 A3 A4 1461012C 解解 139!AmC139!3( )10!10ACmP An 1010個(gè)學(xué)生，以抽簽的方式分配個(gè)學(xué)生，以抽簽的方式分配3 3張音樂會(huì)入場券，抽張音樂會(huì)入場券，抽取取1010張外觀相同的紙簽，其中張外觀相同的紙簽，其中3 3張代表入場券張代表入場券. .求求 A=A=第五個(gè)第五

4、個(gè)抽簽的學(xué)生抽到入場券抽簽的學(xué)生抽到入場券 的概率。的概率。P14P1410!n u基本事件總數(shù)基本事件總數(shù)u基本事件總數(shù)基本事件總數(shù)第五個(gè)學(xué)生抽第五個(gè)學(xué)生抽到入場券到入場券另外另外9個(gè)學(xué)生抽個(gè)學(xué)生抽取剩下取剩下9張張 即即通過規(guī)定概率應(yīng)具備的通過規(guī)定概率應(yīng)具備的基本性質(zhì)來定義概率基本性質(zhì)來定義概率. 下面介紹柯爾莫哥洛夫用公理給出的概率定義下面介紹柯爾莫哥洛夫用公理給出的概率定義. 1933年，前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家柯年，前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家柯爾莫哥洛夫給出了概率的爾莫哥洛夫給出了概率的公理公理化定義化定義. 柯爾莫哥洛夫提出的公理為數(shù)很少且柯爾莫哥洛夫提出的公理為數(shù)很少且極為簡單，極為簡單， 但在此基礎(chǔ)上建

5、立起了概率論但在此基礎(chǔ)上建立起了概率論的宏偉大廈的宏偉大廈. 給定一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，給定一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，是它的樣本空間，對(duì)于是它的樣本空間，對(duì)于任意一個(gè)事件，都賦予了任意一個(gè)事件，都賦予了唯一唯一的實(shí)數(shù)的實(shí)數(shù)( )P A，如果如果)(P滿足下列三條公理滿足下列三條公理，u非負(fù)性非負(fù)性：u 規(guī)范性規(guī)范性： ()=1 u 可列可加性可列可加性：,21AA那么，稱那么，稱 為事件的概率為事件的概率( )P A概率的公理化定義概率的公理化定義 P12P12()0 兩兩兩兩互不相容互不相容時(shí)時(shí)（ ）=（ ）+（ ）+ 12AA1A2A證明證明 由公理由公理 3 知知 ( )( )( )( )PPPP 所以所以

6、 ( )0P ( )0P 概率的性質(zhì)概率的性質(zhì) P13 P13 不可能事件的概率為零不可能事件的概率為零( )0P 注意事項(xiàng)注意事項(xiàng) 但反過來，如果但反過來，如果P(A)=0，未必有，未必有A= 例如：例如： 一個(gè)質(zhì)地均勻的陀螺的圓周上均勻地刻有一個(gè)質(zhì)地均勻的陀螺的圓周上均勻地刻有0 , 5)上諸數(shù)字，在桌面上旋轉(zhuǎn)它，求當(dāng)它停下來時(shí)，圓周上諸數(shù)字，在桌面上旋轉(zhuǎn)它，求當(dāng)它停下來時(shí)，圓周與桌面接觸處的與桌面接觸處的刻度為刻度為4的概率等于的概率等于0，但該事件有可，但該事件有可能發(fā)生。能發(fā)生。 設(shè)設(shè)A1，A2， , An兩兩兩兩互不互不相容，則相容，則11()()nniiiiPAPA11()()n

7、iiiiPPAA證明證明 在公理在公理3中中 , 取取i = （i=n+1,n+2, )11()()niiinPPA1()niiPAn 有限可加性有限可加性 P13P13()( )( )P ABP APABB 若若 A B，則，則 P (B A) = P(B) P(A)(ABAB( )()P BP ABA ()()() ABn 差事件的概率差事件的概率P13P13一般的，一般的，有有 P (B A) = P(B) P(AB)( )()P AP BA()ABA 對(duì)任意兩個(gè)隨機(jī)事件、對(duì)任意兩個(gè)隨機(jī)事件、 ，有，有 BAn 加法定理加法定理 P13P13)()()()(ABPBPAPBAP()( )

8、( )P ABP APABB 區(qū)別區(qū)別()( )( )( ) ()()()()P ABCP AP BP CP ABP BCP ACP ABCn 加法定理加法定理P13 P13 比較：比較：)()()()(ABPBPAPBAP)(1)(APAP證明證明 由于與其對(duì)立事件互不相容，由性質(zhì)由于與其對(duì)立事件互不相容，由性質(zhì)2有有 )()()(APAPAAP而而 1)(,PAA 所以所以 1)()(APAP 逆事件的概率逆事件的概率 P13P13AA1 甲、乙兩人同時(shí)向目標(biāo)射擊一次，設(shè)甲擊中的概率甲、乙兩人同時(shí)向目標(biāo)射擊一次，設(shè)甲擊中的概率為為 0.85 ，乙擊中的概率為，乙擊中的概率為 0.8 兩人都

9、擊中的概率為兩人都擊中的概率為 0.68 求目標(biāo)被擊中的概率求目標(biāo)被擊中的概率P14解解 設(shè)表示甲擊中目標(biāo)，表示乙擊中目標(biāo)，設(shè)表示甲擊中目標(biāo)，表示乙擊中目標(biāo)，表示目標(biāo)被擊中，表示目標(biāo)被擊中， 則則 )()()()()(ABPBPAPBAPCP 0.85 0.8 0.68 0.97 袋中有袋中有20個(gè)球，其中個(gè)球，其中15個(gè)白球，個(gè)白球，5 個(gè)黑球，從中任取個(gè)黑球，從中任取3個(gè)，求至少取到一個(gè)白球的概率個(gè)，求至少取到一個(gè)白球的概率P14 設(shè)表示至少取到一個(gè)白球，設(shè)表示至少取到一個(gè)白球，i 表示表示剛好剛好取取 到到i個(gè)白球，個(gè)白球，i0，1，2，3， 則則 u 方法方法（用互不相容事件和的概率等

10、于概率之和）（用互不相容事件和的概率等于概率之和）(A)(A123)12155320CCC解解21155320CCC315320CCu 方法方法 （利用對(duì)立事件的概率關(guān)系）（利用對(duì)立事件的概率關(guān)系） 35032 0()1()1()1CPAPAPAC(1)(2)(3)已知已知P(A)=0.3,P(B)=0.6,P(A)=0.3,P(B)=0.6,試在下列兩種試在下列兩種情形下分別求出情形下分別求出P(A-B)P(A-B)與與P(B-A) P14P(B-A) P14(1) (1) 事件事件A,BA,B互不互不相容相容(2) (2) 事件事件A,BA,B有包含關(guān)系有包含關(guān)系解解(1),AB 由于因此

11、()( )()0.3P ABP AP AB()( )()0.6P BAP BP AB(2) (2) 由已知條件和性質(zhì)由已知條件和性質(zhì)3,3,推得必定有推得必定有AB()( )()( )( )0P ABP AP ABP AP A()( )()( )( )0.3P BAP BP ABP BP A投擲兩顆骰子投擲兩顆骰子, ,試計(jì)算兩顆骰子的點(diǎn)數(shù)之試計(jì)算兩顆骰子的點(diǎn)數(shù)之和在和在4 4和和1010之間的概率（含之間的概率（含4 4和和1010）. .解解 設(shè)設(shè)“兩顆骰子的點(diǎn)數(shù)之和在兩顆骰子的點(diǎn)數(shù)之和在4和和10”為事件為事件A 總的基本事件數(shù)為總的基本事件數(shù)為 2636A所包含的樣本點(diǎn)為所包含的樣本點(diǎn)

12、為 1,1 , 1,2 , 2,1 , 5,6 , 6,5 , 6,6所以所以 15( )1( )166P AP A 考察甲，乙兩個(gè)城市考察甲，乙兩個(gè)城市6 6月逐日降雨情況。已月逐日降雨情況。已知甲城出現(xiàn)雨天的概率是知甲城出現(xiàn)雨天的概率是0.3, 0.3, 乙城出現(xiàn)雨天乙城出現(xiàn)雨天的概率是的概率是0.4, 0.4, 甲乙兩城至少有一個(gè)出現(xiàn)雨甲乙兩城至少有一個(gè)出現(xiàn)雨天的概率為天的概率為0.52, 0.52, 試計(jì)算甲乙兩城同一天出試計(jì)算甲乙兩城同一天出現(xiàn)雨天的概率現(xiàn)雨天的概率. . 解解 設(shè)設(shè)A表示表示“甲城下雨甲城下雨”，B表示表示“乙城下雨乙城下雨” 則則 ( )0.3, ( )0.4,

13、()0.52P AP BP AB()( )( )()0.18P ABP AP BP AB所以所以 某班有學(xué)生某班有學(xué)生40人，其中共青團(tuán)員人，其中共青團(tuán)員15人，全班分人，全班分成四個(gè)小組，第一小組有學(xué)生成四個(gè)小組，第一小組有學(xué)生10人，共青團(tuán)員人，共青團(tuán)員4人，如果要在班內(nèi)人，如果要在班內(nèi)任選一人任選一人當(dāng)學(xué)生代表，那當(dāng)學(xué)生代表，那么這個(gè)代表恰好在第一小組內(nèi)的概率為多少？么這個(gè)代表恰好在第一小組內(nèi)的概率為多少？ 如果要在班內(nèi)任選一個(gè)如果要在班內(nèi)任選一個(gè)共青團(tuán)員共青團(tuán)員當(dāng)團(tuán)員代表，當(dāng)團(tuán)員代表，問這個(gè)代表恰好在第一小組內(nèi)的概率為多少？問這個(gè)代表恰好在第一小組內(nèi)的概率為多少？ 如果要在班內(nèi)任選一個(gè)

14、如果要在班內(nèi)任選一個(gè)同學(xué)同學(xué)當(dāng)班代表，問這個(gè)當(dāng)班代表，問這個(gè)代表恰好是在第一小組內(nèi)的共青團(tuán)員的概率為代表恰好是在第一小組內(nèi)的共青團(tuán)員的概率為多少？多少？10/404/154/40在已知條件在已知條件B發(fā)生的附加條件下，求發(fā)生的附加條件下，求A發(fā)生的概發(fā)生的概率，稱為在率，稱為在B發(fā)生的條件下，發(fā)生的條件下，A發(fā)生的條件概率發(fā)生的條件概率特點(diǎn)：特點(diǎn)：樣本空間縮小到只包含的樣本點(diǎn)樣本空間縮小到只包含的樣本點(diǎn)(|)P A B記作記作條件概率條件概率 P15 設(shè)，為同一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)隨機(jī)設(shè)，為同一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)隨機(jī)事件事件 , 且且()，則事件發(fā)生的條件下，則事件發(fā)生的條件下，事件發(fā)生的條件概

15、率事件發(fā)生的條件概率 ()()()PA BPA BPBn 計(jì)算計(jì)算 P16P16(|)P A B例例 設(shè)設(shè) 100 件產(chǎn)品中有件產(chǎn)品中有 60 件是甲車間生產(chǎn)，件是甲車間生產(chǎn)，40件是乙車間生產(chǎn)。且甲車間中有件是乙車間生產(chǎn)。且甲車間中有54件是件是合格品，合格品，6件次品；乙車間中有件次品；乙車間中有32件是合件是合格品，格品，8件次品；設(shè)件次品；設(shè)A=合格品合格品，B=甲甲車間產(chǎn)品車間產(chǎn)品，求，求 P15(|)P A B(1) P(AB)(2)(3)(|)P B A思考：求思考：求(|)P B A54100546054863286 10個(gè)人用抽簽的辦法決定分配個(gè)人用抽簽的辦法決定分配3張電影

16、張電影票，他們依次抽簽，求票，他們依次抽簽，求(1)第第5、第、第6人都抽到電影票的概率人都抽到電影票的概率(2)第第5人抽不到電影票的前提下，求第人抽不到電影票的前提下，求第6人抽到電影人抽到電影 票的概率票的概率(3)第第5人抽到電影票前提下，求第人抽到電影票前提下，求第6人抽不到電影票人抽不到電影票的概率的概率設(shè)設(shè) A 表示第表示第5人抽到電影票，人抽到電影票， B 表示第表示第6人抽到電影票人抽到電影票P(AB)=1/153/97/9 練一練練一練 10個(gè)人用抽簽的辦法決定分配個(gè)人用抽簽的辦法決定分配一張電影票，他們依次抽簽，求一張電影票，他們依次抽簽，求(1)第第6個(gè)人抽到電影票的概

17、率個(gè)人抽到電影票的概率(2)已知前已知前5人都抽不到電影票的前提下，求第人都抽不到電影票的前提下，求第6個(gè)人個(gè)人 抽到的概率抽到的概率(3)已知前已知前5人都抽不到電影票的前提下，求第人都抽不到電影票的前提下，求第6個(gè)人個(gè)人 也抽不到的概率也抽不到的概率設(shè)設(shè) A 表示前表示前5人都抽不到電影票，人都抽不到電影票， B 表示第表示第6人抽到電影票人抽到電影票1/101/54/5例例 考慮恰有三個(gè)小孩的家庭考慮恰有三個(gè)小孩的家庭. （假定生男生女為（假定生男生女為等可能）等可能） (1)若已知某一家庭有男孩，求這家有若已知某一家庭有男孩，求這家有三個(gè)男孩的概率；三個(gè)男孩的概率；A=“有男孩有男孩”;B=“有三個(gè)男孩有三個(gè)男孩” (2)若已知某家庭第一個(gè)是男孩，求這家有三個(gè)若已知某家庭第一個(gè)是男孩，求這家有三個(gè)男孩的概率男孩的概率; A=“第一個(gè)是男孩第一個(gè)是男孩”;B=“有三個(gè)男有三個(gè)男孩孩”(3)若已知某家庭第一個(gè)是女孩，求這家有一個(gè)若已知某家庭第一個(gè)是女孩，求這家有一個(gè)男孩的概率男孩的概率. A=“第一個(gè)是女孩第一個(gè)是女孩”