伴隨矩陣的性質(zhì)探討

1、伴隨矩陣的性質(zhì)探討伴隨矩陣的性質(zhì)探討第二章伴隨矩陣的性質(zhì)探討伴隨矩陣是線性代數(shù)中的一個(gè)重要的基本概念，但教材中及大學(xué)學(xué)習(xí)中所給出的主要應(yīng)用是在求方陣的逆矩陣上，而關(guān)于伴隨矩陣本身的性質(zhì)及其與原矩陣之間的關(guān)聯(lián)，沒有系統(tǒng)的討論和研究.本文主要通過查找現(xiàn)有資料，整理歸納出伴隨矩陣的一系列性質(zhì).主要研究內(nèi)容：n階矩陣A的伴隨矩陣的行列式與秩；n階矩陣A的伴隨矩陣的可逆性，對(duì)稱性，正定性，正交性，和同性，特征值，特征向量及其與原矩陣的關(guān)聯(lián)；伴隨矩陣之間的運(yùn)算性質(zhì)以及各性質(zhì)在題目中的綜合應(yīng)用.一.伴隨矩陣的定義alla21設(shè)Aij是n階矩陣A.an1al2a22a22a1na2n中元素a的代數(shù)余子式，稱矩

2、陣.annA11A12.A1nA21A22.A2nA3n為A的伴隨矩陣.Ann相關(guān)內(nèi)容：高等代數(shù)（王萼芳石生明版）定義9在一個(gè)n階行列式D中任意選定K行K列（K&n）,當(dāng)KVn時(shí)，在D中劃去這K行K列后余的元素按原來的次序組成的nk級(jí)行列式M稱為K級(jí)子式M的余子式，其中K級(jí)子式M為選定的K行K列（K&n）上的K2個(gè)元素按照原來的次序組成的一個(gè)K級(jí)行列式.（1）如果在M前面加上符號(hào)ik）（j1j2jk）后稱作M的代數(shù)余子式.二.伴隨矩陣的性質(zhì)alla21A設(shè).an1al2a22a22a1nA11a2nA*A12annA1nA21A22.A2nA3n.Ann2.1 伴隨矩陣的基本性質(zhì)定理2.1n階

3、矩陣A可逆的充分必要條件是A非退化（即A0）,當(dāng)A可逆時(shí),其中A*為A的伴隨矩陣.設(shè)A*為A的伴隨矩陣，則AA*A*AAE證明：由行列式按一行（列）展開的公式0AaAkikj A,k 1AAAAAE.A注：A可逆時(shí)，A*AA1證畢.2.2 伴隨矩陣的行列式A*(1) 若A可逆，則A0,由性質(zhì)1得，AA*AE,兩邊同時(shí)取行列式得即AA*A,又A0,則A*A(ii)若A不可逆，則A*A0綜上所述，A*A證畢.2.3 伴隨矩陣的秩的性質(zhì)研究矩陣的秩是矩陣的重要特征定義：設(shè)在矩陣A中有一個(gè)不等于0的r階子式D,且所有r+1階子式(如果存在的話)全等于0,那么D稱為矩陣A的最高階非零子式，數(shù)r稱為矩陣A

4、的秩，記做R(r)求矩陣A1解：由A12.4 的秩.82.5 =0,A的一個(gè)二階子式8故R(A)2.定理2.3nn矩陣A的行列式為零的充分必要條件是A的秩小于n.(高等代數(shù)王萼芳石生明版)若用R(A)表示矩陣A的秩，則有以下結(jié)論：設(shè)A是n階矩陣，則R(A*)1,R(A)n;R(A)n1;R(A)n1.證明：R(A)n時(shí)，顯然A0,由性質(zhì)2知0,故R(A)n.R(A)n1時(shí)，由定理知A0,性質(zhì)1知AA*AE0,即AA*0和A*的列向量全都為方程組AX0的解，又R(A)n1,則其次方程組AX0的解向量組的和為n(n1)1.知A*的列秩為1,即R(A*)1.i,j1,2,n)R(A)n1,A*中任一

5、-兀素A(都是0,ij因?yàn)锳中不存在非零的n1階子式，故R(A*)0.證畢.2.6 伴隨矩陣的伴隨矩陣的性質(zhì)為n階矩陣,A*為A的伴隨矩陣，則有特別情況有：當(dāng)n2時(shí)，(A*)*證明：()i)當(dāng)A可逆時(shí),A0；又由性質(zhì)1AA*A*AAE知(兩邊同時(shí)左乘(A*)1A*(AA1)1A*(當(dāng)A不可逆時(shí)，A0,(A*)*0.2.7 n階矩陣的伴隨矩陣的可逆性可逆的定義:n階矩陣稱為可逆的，如果有ABBAE.(E為單位矩陣).伴隨矩陣可逆性與原矩陣的可逆性有以下聯(lián)系：性質(zhì)5可逆的充分必要條件是A*可逆.證明：必要性.由性質(zhì)1知，AA*A*AAE.若A可逆，則A非退化，即A0.(兩邊同時(shí)消去A,得由以上的可

6、逆定義可知A*是可逆的.充分性.即證A*可逆，則A可逆，此命題與其逆否命題若A不可逆，則A*也不可逆u是等價(jià)的.由矩陣不可逆可知A0,則變?yōu)樽C明若A0,則A*0.這里我們用反正法.假設(shè)A*0,則A*可逆.由性質(zhì)1知AA*AE0(兩邊同時(shí)右乘A*)有AA*(A*)10得八=0,所以A*=0,所以A*0與假設(shè)的A*0矛盾.故假設(shè)不成立，原命題成立.綜上所述，A可逆的充分必要條件是A*可逆.證畢.2.8 n階矩陣A的伴隨矩陣的對(duì)稱性對(duì)稱定義：矩陣A.an1al2a22a22a1na2n為對(duì)稱矩陣，如果aa,.anni,j1,2,n,且有AA性質(zhì)6.若n階矩陣A是對(duì)陣矩陣，則其伴隨矩陣A*也為對(duì)稱矩陣

7、.證明如下：設(shè)為對(duì)稱矩陣，可知AA,aijaji,且AijAji,可知A(A).即證得A*為對(duì)稱矩陣.證畢.性質(zhì)7.設(shè)A非退化，若A*為對(duì)稱矩陣，則A也為對(duì)稱矩陣.即證AA.證明如下：A*對(duì)稱可知A*(A*).A(A1)1(A(AA即A為對(duì)稱矩陣.證畢.2.7 伴隨矩陣A*與原矩陣A的正定性之間的聯(lián)系A(chǔ))(A)矩陣正定的定義：實(shí)對(duì)稱矩陣A為正定的，如果二次型XAX正定.又有，實(shí)二次型fx1,x2,.xn正定，如果對(duì)于任意一組不全為零的實(shí)數(shù)c2,cn都有fc1,c2,cn0性質(zhì)8若n階矩陣A是正定的，則A*也是正定的.證明：因?yàn)锳是正定的，所以存在可逆矩陣B,使得BABE,則(BAB)*E*E*

8、又(BABBA(B)BA(B)E由正定的定義知A*也是正定矩陣.證畢.2.8 伴隨矩陣A*的正交性與其原矩陣n階矩陣A的正交性的關(guān)系矩陣正交的定義：n階實(shí)數(shù)矩陣A稱為正交矩陣，如果AAE.性質(zhì)9若A為正交矩陣，則A*也為正交矩陣.證明：A為正交矩陣，知AAE,A*(A*)A*(A)*(AA)*E*E由正交的定義知，A*也為正交矩陣.證畢.2.9 伴隨矩陣A*的特征值的性質(zhì)性質(zhì)10設(shè)為n階矩陣A(A可逆)的特征值，則其伴隨矩陣A*的特征值1與的關(guān)系為1證明：設(shè)是A的特征值，是A的屬于特征值A(chǔ)的特征向量.則有A兩邊同時(shí)左乘A*有A*AA*A*由性質(zhì)1AA*AE知上式變?yōu)锳A*得A*由A的特征值的性

9、質(zhì)可知證畢.即為A*的特征值.推廣：性質(zhì)11若1,2,值，則其伴隨矩陣的特征值為n為n階矩陣A(A可逆)的特征).(i1,2,n)是A的特征向量)證明：由題意知有Aiii(i1,2,n兩邊左乘A*,知A*AiA*ii即AiiAi,得為A*的特征值.即A*的特征值是證畢.(i1,2,n)2.10 伴隨矩陣的運(yùn)算性質(zhì)性質(zhì)12(A)*(A*).a21證明：設(shè)n階矩陣A.an1al2a22a22a1na2n則.annA11A12.A1nA21A22.A2nA3nAn1A11(A*)21AnnAn1A12A22.An2Anna11a12a1na21a22.a2n(A)*21annAn1A12A22An2

10、.Ann其Aij(i,j1,2,n)是A中元素aij的代數(shù)余子式，由結(jié)果分析知(A)*(A*).證畢.性質(zhì)13設(shè)A為nn1階方陣，k為任意非零常數(shù)，則kA證明設(shè)Aaij,可知kannA.kkn1A11n1性質(zhì)14(AB)*B*A*證明：由性質(zhì)1知，A*知(AB)*AB(AB)1ABB1A1AB*A1B*A*證畢.Am(m2),則推廣性質(zhì)15n階矩陣A1,A2,(A1,A2,Am)(Am)(Am1)A2A1,證明過程同性質(zhì)13的過程.推廣性質(zhì)16(Am)*(A*)m證明：令A(yù)1A2AmA,則AA1A2Am(A1A2Am)(Am)(Am1)A2A1(A).性質(zhì)17上(下)三角矩陣的伴隨矩陣仍為上(

11、下)三角矩陣a11a21a n1al2a22an2,當(dāng)ij時(shí)，aij0.直接計(jì)算得，ann證明設(shè)AaijnnA0,iA21A220,Ann則A*亦為上三角矩陣.同理可證，若A為下三角矩陣，則A*也為下三角矩陣.證畢.性質(zhì)18若矩陣A與B合同，且A與B可逆，則A*與B*也合同.證明因?yàn)锳與B合同，所以存在可逆矩陣P使PTAPB.又A與B可逆，則有,即CA1CTB1.其中CP1.又PTAPPAB,則PCAA1PCBB1,即QTA*QB*,其中QPC是可逆矩陣.故A*與B*也合同.三.伴隨矩陣的性質(zhì)在題目中的綜合應(yīng)用41例3.1設(shè)A00求(A3E)1504000500130021 解：A3E02 00A3E1112又(A3E)0例3.2設(shè)三階實(shí)數(shù)矩陣A(A非退化)的特征值為11,24,31.求2(A1)23A*2A*A2的值.此題目應(yīng)用知識(shí)：A1,f(A),A*與A的特征值的關(guān)系.解：由題目條件先知為A的特征值，則性質(zhì)10可知，A*的特征值為為A1特征值，f()為改勺的特征值.設(shè)x