數(shù)學思想與方法模擬考試題及答案

1、模擬題一一、填空題（每題5分，共25分）1算法的有效性是指（如果使用該算法從它的初始數(shù)據(jù)出發(fā)，能夠得到這一問題的正確解）。3所謂數(shù)形結合方法，就是在研究數(shù)學問題時，（由數(shù)思形、見形思數(shù)、數(shù)形結合考慮問題）的一種思想方法。5古代數(shù)學大體可分為兩種不同的類型：一種是崇尚邏輯推理，以幾何原本為代表；一種是長于計算和實際應用，以（九章算術）為典范。7數(shù)學的統(tǒng)一性是客觀世界統(tǒng)一性的反映，是數(shù)學中各個分支固有的內(nèi)在聯(lián)系的體現(xiàn)，它表現(xiàn)為（數(shù)學的各個分支相互滲透和相互結合）的趨勢。9學生理解或掌握數(shù)學思想方法的過程一般有三個主要階段：（潛意識階段、明朗化階段、深刻理解階段）。二、判斷題（每題5分，共25分。在

2、括號里填上是或否）1計算機是數(shù)學的創(chuàng)造物，又是數(shù)學的創(chuàng)造者。 （ 是 ） 2抽象得到的新概念與表述原來的對象的概念之間一定有種屬關系。 （ 否 ）3一個數(shù)學理論體系內(nèi)的每一個命題都必須給出證明。 （ 否）4貫穿在整個數(shù)學發(fā)展歷史過程中有兩個思想，一是公理化思想，一是機械化思想。 （ 是）5提出一個問題的猜想是解決這個問題的終結。 （否）三、簡答題（每題10分，共50分）1為什么說幾何原本是一個封閉的演繹體系？答：因為在幾何原本中，除了推導時所需要的邏輯規(guī)則外，每個定理的證明所采用的論據(jù)均是公設、公理或前面已經(jīng)證明過的定理，并且引入的概念（除原始概念）也基本上是符合邏輯上對概念下定義的要求，原則

3、上不再依賴其它東西。因此幾何原本是一個封閉的演繹體系。另外，幾何原本的理論體系回避任何與社會生產(chǎn)現(xiàn)實生活有關的應用問題，因此對于社會生活的各個領域來說，它也是封閉的。所以，幾何原本是一個封閉的演繹體系。2為什么說最早使用數(shù)學模型方法的是中國人？答：因為在中國漢代的古算書九章算術中就已經(jīng)系統(tǒng)地使用了數(shù)學模型。九章算術將246個題目歸結為九類，即九種不同的數(shù)學模型，分列為九章。它在每一章中所設置的問題，都是從大量的實際問題中選擇具有典型意義的現(xiàn)實原型，然后再通過“術”(即算法)轉化成數(shù)學模型。其中有些章就是專門探討某種數(shù)學模型的應用，例如“勾股”、“方程”等章。這在世界數(shù)學史上是最早的。因此，我們

4、說最早使用數(shù)學模型方法的是中國人。3什么是類比猜想？并舉一個例子說明。答：人們運用類比法，根據(jù)一類事物所具有的某種屬性，得出與其類似的事物也具有這種屬性的一種推測性的判斷，即猜想，這種思想方法稱為類比猜想。例如，分式與分數(shù)非常相似，只不過是用字母替代數(shù)而已。因此，我們可以猜想，分式與分數(shù)在定義、基本性質(zhì)、約分、通分、四則運算等方面都是對應相似的。4簡述表層類比，并用舉例說明。答：表層類比是根據(jù)兩個被比較對象的表面形式或結構上的相似所進行的類比。這種類比可靠性較差，結論具有很大的或然性。例如，從類比出是錯誤的，而類比出在數(shù)列極限存在的條件下是正確的。又如，由三角形內(nèi)角平分線性質(zhì)，類比得到三角形外

5、角平分線性質(zhì)，就是一種結構上的類比。5數(shù)學思想方法教學為什么要遵循循序漸進原則？試舉例說明。答：數(shù)學思想方法的形成難于知識的理解和一般技能的掌握，它需要學生深入理解事物之間的本質(zhì)聯(lián)系。學生對每種數(shù)學思想方法的認識都是在反復理解和運用中形成的，是從個別到一般，從具體到抽象，從感性到理性，從低級到高級的沿著螺旋式方向上升的。例如，學生理解數(shù)形結合方法可從小學的畫示意圖找數(shù)量關系著手孕育；在學習數(shù)軸時，要求學生會借助數(shù)軸來表示相反數(shù)、絕對值、比較有理數(shù)的大小等。模擬題二一、填空題（每題3分，共30分）1在數(shù)學中建立公理體系最早的是幾何學，而這方面的代表著作是古希臘歐幾里得的（幾何原本）。2隨機現(xiàn)象的

6、特點是（在一定條件下，可能發(fā)生某種結果，也可能不發(fā)生某種結果）。3演繹法與（歸納法）被認為是理性思維中兩種最重要的推理方法。4在化歸過程中應遵循的原則是（簡單化原則、熟悉化原則、和諧化原則）是聯(lián)系數(shù)學知識與數(shù)學能力的紐帶，是數(shù)學科學的靈魂，它對發(fā)展學生的數(shù)學能力，提高學生的思維品質(zhì)都具有十分重要的作用。6三段論是演繹推理的主要形式，它由（大前提、小前提、結論）三部分組成。7傳統(tǒng)數(shù)學教學只注重（形式化數(shù)學知識）的傳授， 而忽略對知識發(fā)生過程中（數(shù)學思想方法）的挖掘。8特殊化方法是指在研究問題中，（從對象的一個給定集合出發(fā)，進而考慮某個包含于該集合的較小集合）的思想方法。9分類方法的原則是（不重復

7、、無遺漏、標準同一、按層次逐步劃分）。10數(shù)學模型可以分為三類：（概念型、方法型、結構型）。二、判斷題（每題2分，共10分。在括號里填上是或否）1數(shù)學模型方法在生物學、經(jīng)濟學、軍事學等領域沒應用。 （否）2在解決數(shù)學問題時，往往需要綜合運用多種數(shù)學思想方法才能取得效果。 （是）3如果某一類問題存在算法，并且構造出這個算法，就一定能求出該問題的精確解。（否）4分類可使知識條理化、系統(tǒng)化。 （是）5在建立數(shù)學模型的過程中，不必經(jīng)過數(shù)學抽象這一環(huán)節(jié)。 （否）三、簡答題（每題6分，共30分）1我國數(shù)學教育存在哪些問題？答：數(shù)學教學重結果，輕過程；重解題訓練，輕智力、情感開發(fā)；不重視創(chuàng)新能力培養(yǎng)，雖然學

8、生考試分數(shù)高，但是學習能力低下；重模仿，輕探索，學習缺少主動性，缺乏判斷力和獨立思考能力；學生學業(yè)負擔過重。原因是課堂教學效益不高，教學圍繞升學考試指揮棒轉，不斷重復訓練各種題型和模擬考試，不少教師心存以量求質(zhì)的想法，造成學生學業(yè)負擔過重。2幾何原本貫徹哪兩條邏輯要求？答：幾何原本貫徹了兩條邏輯要求。第一，公理必須是明顯的，因而是無需加以證明的，其是否真實應受推出的結果的檢驗，但它仍是不加證明而采用的命題；初始概念必須是直接可以理解的，因而無需加以定義。第二，由公理證明定理時，必須遵守邏輯規(guī)律與邏輯規(guī)則；同樣，通過初始概念以直接或間接方式對派生概念下定義時，必須遵守下定義的邏輯規(guī)則。3簡述數(shù)學

9、抽象的特征。答：數(shù)學抽象有以下特征：數(shù)學抽象具有無物質(zhì)性；數(shù)學抽象具有層次性；數(shù)學抽象過程要憑借分析或直覺；數(shù)學的抽象不僅有概念抽象還有方法抽象4什么是算法的有限性特點？試舉一個不符合算法有限性特點的例子。答：算法得有限性是指一個算法必須在有限步之內(nèi)終止。例如，對初始數(shù)據(jù)20和3，計算過程為無論怎樣延續(xù)這個過程都不能結束，同時也不會出現(xiàn)中斷。如果在某一處中斷過程，我們只能得到一個近似的、不準確的結果。而且如果在某一步中斷計算過程已經(jīng)不是執(zhí)行原來的算法?？梢?，十進小數(shù)除法對于20和3這組數(shù)不符合算法的“有限性”特點。5簡述將“化隱為顯”列為數(shù)學思想方法教學的一條原則的理由。答：由于數(shù)學思想方法往

10、往隱含在知識的背后，知識教學雖然蘊含著思想方法，但是如果不是有意識地把數(shù)學思想方法作為教學對象，在數(shù)學學習時，學生常常只注意到處于表層的數(shù)學知識，而注意不到處于深層的思想方法。因此，進行數(shù)學思想方法教學時必須以數(shù)學知識為載體，把隱藏在知識背后的思想方法顯示出來，使之明朗化，才能通過知識教學過程達到思想方法教學之目的。四、解答題（每題15分，共30分）1(1)什么是類比推理？(2)寫出類比推理的表示形式。(3)怎樣才能增加由類比得出的結論的可靠性？答：類比推理是指，由一類事物所具有的某種屬性，可以推測與其類似的事物也具有這種屬性的一種推理方法。類比推理的表示形式為：A具有性質(zhì)B具有性質(zhì)因此，B也

11、可能具有性質(zhì)。盡量滿足下列條件可增加類比結論的可靠性：l A與B共同(或相似)的屬性盡可能多些；l 這些共同(或相似)的屬性應是類比對象A與B的主要屬性；l 這些共同(或相似)的屬性應包括類比對象的不同方面，并且盡可能是多方面的；可遷移的屬性d應是和屬于同一類型。2一個星級旅館有150個房間。經(jīng)過一段時間的經(jīng)營實踐，經(jīng)理得到數(shù)據(jù)：如果每間客房定價為160元，住房率為55%；如果每間客房定價為140元，住房率為65%；如果每間客房定價為120元，住房率為75%；如果每間客房定價為100元，住房率為85%。欲使每天收入提高，問每間住房的定價應是多少？答：弄清實際問題加以化簡。經(jīng)分析，為了建立旅館一

12、天收入的數(shù)學模型，可作如下假設：l 設每間客房的最高定價為160元；l 根據(jù)題中提供的數(shù)據(jù)，設隨著房價的下降，住房率呈線性增長；l 設旅館每間客房定價相等。建立數(shù)學模型。根據(jù)題意，設表示旅館一天的總收入，為與160元相比降低的房價。由假設，可得每降低1元房價，住房率增加為因此一天的總收入為 （1）由于。于是問題歸結為：當時，求的最大值點，即求解(模型求解。將(1)左邊除以(150×0.005)得由于常數(shù)因子對求最大值沒有影響，因此可化為求的最大值點。利用配方法得易知當=25時最大，因此可知最大收入對應的住房定價為160元25元=135元相應的住房率為0.55+0.005×2

13、5=67.5%最大收入為150×135×67.5%=13668.75(元)檢驗。容易驗證此收入在已知各種客房定價的對應收入中確實是最大的，這可從下面表格中看出。定價160元140元120元100元135元收入13200元13650元13500元12750元13668.75元如果為了便于管理，那么定價140元也是可以的，因為這時它與最高收入只差18.75元。如果每間客房定價為180元，住房率為45%，其相應收入只有12150元。由此可見假設是合理的。實際上二次函數(shù)在之內(nèi)只有一個極值點。數(shù)思一、簡答題 1、分別簡單敘說算術與代數(shù)的解題方法基本思想，并且比較 

14、它們的區(qū)別。 答：算術解題方法的基本思想：首先要圍繞所求的數(shù)量， 收集和整理各種已知的數(shù)據(jù)，并依據(jù)問題的條件列出關于這些具 體數(shù)據(jù)的算式，然后通過四則運算求得算式的結果。代數(shù)解題方法的基本思想是：首先依據(jù)問題的條件組成內(nèi)含 已知數(shù)和未知數(shù)的代數(shù)式，并按等量關系列出方程，然后通過對 方程進行恒等變換求出未知數(shù)的值。 它們的區(qū)別在于算術解題參與的量必須是已知的量，而代數(shù) 解題允許未知的量參與運算；算術方法的關鍵之處是列算式，而 代數(shù)方法的關鍵之處是列方程。2、比較決定性現(xiàn)象和隨機性現(xiàn)象的特點，簡單敘說確定數(shù) 

15、學的局限。 答：人們常常遇到兩類截然不同的現(xiàn)象，一類是決定性 現(xiàn)象，另一類是隨機現(xiàn)象。決定性現(xiàn)象的特點是：在一定的條 件下，其結果可以唯一確定。因此決定性現(xiàn)象的條件和結果之 間存在著必然的聯(lián)系，所以事先可以預知結果如何。 隨機現(xiàn)象的特點是：在一定的條件下，可能發(fā)生某種結果， 也可能不發(fā)生某種結果。對于這類現(xiàn)象，由于條件和結果之間不 存在必然性聯(lián)系。 在數(shù)學學科中，人們常常把研究決定性現(xiàn)象數(shù)量規(guī)律的那些 數(shù)學分支稱為確定數(shù)學。用這些的分支來定量地描述某些決定性 現(xiàn)象的運動和變化過程，從而確定結果。

16、但是由于隨機現(xiàn)象條件 和結果之間不存在必然性聯(lián)系，因此不能用確定數(shù)學來加以定量 描述。同時確定數(shù)學也無法定量地揭示大量同類隨機現(xiàn)象中所蘊 涵的規(guī)律性。這些是確定數(shù)學的局限所在。二、論述題 1、論述社會科學數(shù)學化的主要原因。 答：從整個科學發(fā)展趨勢來看，社會科學的數(shù)學化也是必 然的趨勢，其主要原因可以歸結為有下面四個方面： 第一，社會管理需要精確化的定量依據(jù)，這是促使社會科學 數(shù)學化的最根本的因素。 第二，社會科學的各分支逐步走向成熟，社會科學理論體系 的發(fā)展也需要精確化。 第三，隨著數(shù)

17、學的進一步發(fā)展，它出現(xiàn)了一些適合研究社會 歷史現(xiàn)象的新的數(shù)學分支。 第四，電子計算機的發(fā)展與應用，使非常復雜社會現(xiàn)象經(jīng)過 量化后可以進行數(shù)值處理。 2、論述數(shù)學的三次危機對數(shù)學發(fā)展的作用。 答：第一次數(shù)學危機促使人們?nèi)フJ識和理解無理數(shù)，導致 了公理幾何與邏輯的產(chǎn)生。  第二次數(shù)學危機促使人們?nèi)ド钊胩接憣崝?shù)理論，導致了分析 基礎理論的完善和集合論的產(chǎn)生。  第三次數(shù)學危機促使人們研究和分析數(shù)學悖論，導致了數(shù)理 邏輯和一批現(xiàn)代數(shù)學的產(chǎn)生。 由此可見，數(shù)學危機的解決，往往

18、給數(shù)學帶來新的內(nèi)容，新 的進展，甚至引起革命性的變革，這也反映出矛盾斗爭是事物發(fā) 展的歷史動力這一基本原理。整個數(shù)學的發(fā)展史就是矛盾斗爭的 歷史，斗爭的結果就是數(shù)學領域的發(fā)展。三、分析題 1、 分析幾何原本思想方法的特點，為什么？ 答：（1）封閉的演繹體系 因為在幾何原本中，除了推導時所需要的邏輯規(guī)則外， 每個定理的證明所采用的論據(jù)均是公設、公理或前面已經(jīng)證明過 的定理，并且引入的概念（除原始概念）也基本上是符合邏輯上 對概念下定義的要求，原則上不再依賴其它東西。因此幾何原 本是一個封

19、閉的演繹體系。另外，幾何原本的理論體系回避任何與社會生產(chǎn)現(xiàn)實生 活有關的應用問題，因此對于社會生活的各個領域來說，它也是 封閉的。所以，幾何原本是一個封閉的演繹體系。 （2）抽象化的內(nèi)容 ：幾何原本中研究的對象都是抽象的概念和命題，它所探 討的是這些概念和命題之間的邏輯關系，不討論這些概念和命題 與社會生活之間的關系，也不考察這些數(shù)學模型所由之產(chǎn)生的現(xiàn)實原型。因此幾何原本的內(nèi)容是抽象的。（3）公理化的方法：幾何原本的第一篇中開頭5個公設和5個公理，是全書其 它命題證明的基本前提，接著給出23個定義，然后再逐步引入 

20、和證明定理。定理的引入是有序的，在一個定理的證明中，允許采用的論據(jù)只有公設和公理與前面已經(jīng)證明過的定理。以后各篇 除了不再給出公設和公理外也都照此辦理。這種處理知識體系與 表述方法就是公理化方法。 2、分析九章算術思想方法的特點，為什么？ 答：（1）開放的歸納體系：從九章算術的內(nèi)容可以看出，它是以應用問題解法集成 的體例編纂而成的書，因此它是一個與社會實踐緊密聯(lián)系的開放 體系。 在九章算術中通常是先舉出一些問題，從中歸納出某一 類問題的一般解法；再把各類算法綜合起來，得到解決該領域中 各種問題的方法；最后

21、，把解決各領域中問題的數(shù)學方法全部綜 合起來，就得到整個九章算術。另外該書還按解決問題的不同數(shù)學方法進行歸納，從這些 方法中提煉出數(shù)學模型，最后再以數(shù)學模型立章寫入九章算 術。 因此，九章算術是一個開放的歸納體系。（2）算法化的內(nèi)容 ：九章算術在每一章內(nèi)先列舉若干個實際問題，并對每 個問題都給出答案，然后再給出“術”，作為一類問題的共同解 法。因此，內(nèi)容的算法化是九章算術思想方法上的特點之 一。 （3）模型化的方法 ：九章算術各章都是先從相應的社會實踐中選擇具有典 型意義的現(xiàn)實原型，并

22、把它們表述成問題，然后通過“術”使其轉 化為數(shù)學模型。當然有的章采取的是由數(shù)學模型到原型的過 程，即先給出數(shù)學模型，然后再舉出可以應用的原型。數(shù)學思想與方法作業(yè)2一、簡答題1、敘述抽象的含義及其過程。答：抽象是指在認識事物的過程中，舍棄那些個別的、偶然的非本質(zhì)屬性，抽取普遍的、必然的本質(zhì)屬性，形成科學概念，從而把握事物的本質(zhì)和規(guī)律的思維過程。人們在思維中對對象的抽象是從對對象的比較和區(qū)分開始的。所謂比較，就是在思維中確定對象之間的相同點和不同點；而所謂區(qū)分，則是把比較得到的相同點和不同點在思維中固定下來，利用它們把對象分為不同的類。然后再進行舍棄與收括，舍棄是指在思維中不考

23、慮對象的某些性質(zhì)，收括則是指把對象的我們所需要的性質(zhì)固定下來，并用詞表達出來。這就形成了抽象的概念，同時也就形成了表示這個概念的詞，于是完成了一個抽象過程。2、敘述概括的含義及其過程。答：概括是指在認識事物屬性的過程中，把所研究各部分事物得到的一般的、本質(zhì)的屬性聯(lián)系起來，整理推廣到同類的全體事物，從而形成這類事物的普遍概念的思維過程。概括通?？煞譃榻?jīng)驗概括和理論概括兩種。經(jīng)驗概括是從事實出發(fā)，以對個別事物所做的觀察陳述為基礎，上升為普遍的認識由對個體特性的認識上升為對個體所屬的種的特性的認識。理論概括則是指在經(jīng)驗概括的基礎上，由對種的特性的認識上升為對種所屬的屬的特性的認識，從而達到對客觀世界

24、的規(guī)律的認識。在數(shù)學中經(jīng)常使用的是理論概括。一個概括過程包括比較、區(qū)分、擴張和分析等幾個主要環(huán)節(jié)。3、簡述公理方法歷史發(fā)展的各個階段答：公理方法經(jīng)歷了具體的公理體系、抽象的公理體系和形式化的公理體系三個階段。第一個具體的公理體系就是歐幾里得的幾何原本。非歐幾何是抽象的公理體系的典型代表。希爾伯特的幾何基礎開創(chuàng)了形式化的公理體系的先河，現(xiàn)代數(shù)學的幾乎所有理論都是用形式公理體系表述出來的，現(xiàn)代科學也盡量采用形式公理法作為研究和表述手段。4、簡述化歸方法并舉例說明。答：所謂“化歸”，從字面上看，應可理解為轉化和歸結的意思。數(shù)學方法論中所論及的“化歸方法”是指數(shù)學家們把待解決或未解決的問題，通過某種轉

25、化過程，歸結到一類已經(jīng)能解決或者比較容易解決的問題中去，最終求獲原問題之解答的一種手段和方法。例如：要求解四次方程   可以令   ，將原方程化為關于   的二次方程  這個方程我們會求其解： 和 ，從而得到兩個二次方程： 和 這也是我們會求解的方程，解它們便得到原方程的解： ， ， ， .這里所用的就是化歸方法。二、論述題1、敘述不完全歸納法的推理形式，并舉一個應用不完全歸納法的例子。答：不完全歸納法的一

26、般推理形式是：設S= ；由于具有屬性p，具有屬性p，具有屬性p，因此推斷S類事物中的每一個對象都可能具有屬性p。2、敘述類比推理的形式。如何提高類比的可靠性？答：類比推理通?？捎孟铝行问絹肀硎荆篈具有性質(zhì)B具有性質(zhì)因此，B也可能具有性質(zhì)。其中，分別相同或相似。欲提高類比的可靠性，應盡量滿足條件：(1)A與B共同(或相似)的屬性盡可能地多些；(2)這些共同(或相似)的屬性應是類比對象A與B的主要屬性；(3)這些共同(或相似)的屬性應包括類比對象的各個不同方面，并且盡可能是多方面的；(4)可遷移的屬性d應該是和屬于同一類型。符合上述條件的類比，其結論的可靠性雖然可以得到提高，但仍不能保證結論一定正

27、確。3、試比較歸納猜想與類比猜想的異同。答：歸納猜想與類比猜想的共同點是：他們都是一種猜想，即一種推測性的判斷，都是一種合情推理，其結論具有或然性，或者經(jīng)過邏輯推理證明其為真，或者舉出反例予以反駁。歸納猜想與類比猜想的不同點是：歸納猜想是運用歸納法得到的猜想，是一種由特殊到一般的推理形式，其思維步驟為“特例歸納猜測”。類比猜想是運用類比法得到的猜想，是一種由特殊到特殊的推理形式，其思維步驟為“聯(lián)想類比猜測”。三、設計題設計運用“猜想”進行數(shù)學教學的一個片斷。答：以“認識長方形的對邊相等”為內(nèi)容，設計一個教學片斷。將教學過程設計成四個層次：讓學生說一說：我們周圍有哪些長方形物體？學生會舉出黑板、

28、桌面、教室的門、課本的封面等例子。要求學生仔細觀察：看一看、想一想，這些長方形的四條邊的長短有什么關系？學生經(jīng)過觀察后，會猜想：長方形相對的兩條邊長度相等。教師進一步提出問題：同學們敢于大膽猜想的精神值得鼓勵！我們怎樣才能驗證長方形相對的兩條邊的長短相等呢？這時，學生會想出許多辦法，如：用尺量、將圖形對折等方法。教師順勢引導學生通過量量、折折的具體操作，確信長方形相對的兩條邊長短相等。教師板書：長方形對邊相等。接著，師生討論長方形“對邊”的含義，以及一個長方形有幾組對邊的問題。鞏固長方形對邊相等的認識。利用多媒體展示下面的長方形：(3厘米)    

29、60;             （2厘米）（  ）教師提問：如何填寫括號內(nèi)的數(shù)字？為什么？要求學生會用“因為所以”句式回答。如“因為長方形的對邊相等，已知長方形的一條邊是3厘米，所以它的對邊也是3厘米?！?#160;數(shù)學思想與方法作業(yè)3一、簡答題1、簡述計算和算法的含義。答：計算是指根據(jù)已知數(shù)量通過數(shù)學方法求得未知數(shù)的過程，是一種最基本的數(shù)學思想方法。隨著電子計算機的廣泛應用，計算的重要意義更加凸現(xiàn)，主要表現(xiàn)在以下幾個方面：(1)推動了數(shù)學的應用；(2)加快了科學的

30、數(shù)學化進程；(3)促進了數(shù)學自身的發(fā)展。算法是由一組有限的規(guī)則所組成的一個過程。所謂一個算法它實質(zhì)上是解決一類問題的一個處方，它包括一套指令，只要按照指令一步一步地進行操作，就能引導到問題的解決。在一個算法中，每一個步驟必須規(guī)定得精確和明白，不會產(chǎn)生歧義，并且一個算法在按有限的步驟解決問題后必須結束。數(shù)學中的許多問題都可以歸結為尋找算法或判斷有無算法的問題，因此，算法對數(shù)學中的許多問題的解決有著決定性作用。另外，算法在日常生活、社會生產(chǎn)和科學技術中也有著重要意義。算法在科學技術中的意義主要體現(xiàn)在如下幾個方面：(1)用于表述科學結論的一種形式；(2)作為表述一個復雜過程的方法；(3)減輕腦力勞動

31、的一種手段；(4)作為研究和解決新問題的手段；(5)作為一種基本的數(shù)學工具。2、簡述數(shù)學教學中引起“分類討論”的原因。答：數(shù)學教學中引起“分類討論”的原因有：數(shù)學中的許多概念的定義是分類給出的，因此涉及到這些概念時要分類討論；數(shù)學中有些運算性質(zhì)、運算法則是分類給出的，進行這類運算時要分類討論；有些幾何問題，根據(jù)題設不能只用一個圖形表達，必須全面考慮各種不同的位置關系，需要分類討論；許多數(shù)學問題中含有字母參數(shù)，隨著參數(shù)取值不同，會使問題出現(xiàn)不同的結果。因此需要對字母參數(shù)的取值情況進行分類討論。二、論述題1、什么是數(shù)學模型方法？并用框圖表示MM方法解題的基本步驟。答：所謂數(shù)學模型方法是利用數(shù)學模型

32、解決問題的一般數(shù)學方法，簡稱MM方法。MM方法解題的基本步驟框圖表示如下：2、特殊化方法在數(shù)學教學中有哪些應用？答：特殊化方法在數(shù)學教學中的應用大致有如下幾個方面：利用特殊值(圖形)解選擇題；利用特殊化探求問題結論；利用特例檢驗一般結果；利用特殊化探索解題思路。三、計算題1、用程序框圖表述如下問題的求解過程：在1500中，找出能同時滿足用3除余2，用5除余3，用7除余2的所有整數(shù)。解：設計算法：(1)給出初始值I=9（因為小于等于8的數(shù)顯然不滿足條件）。(2)判斷I的值是否小于或等于500；若是，則進一步判斷I是否滿足用3除余2，用5除余3，用7除余2三個條件，若滿足則輸出I，否則I遞增1。(

33、3)返回第(2)步，直至I大于500，結束。畫出程序框圖如下圖8-1：                      圖8-12、一個星級旅館有150個房間。經(jīng)過一段時間的經(jīng)營實踐，經(jīng)理得到數(shù)據(jù)：如果每間客房定價為160元，住房率為55%；如果每間客房定價為140元，住房率為65%；如果每間客房定價為120元，住房率為75%；如果每間客房定價為100元，住房率為85%。欲使每天收入

34、提高，問每間住房的定價應是多少？解：(1)、弄清實際問題加以化簡。經(jīng)分析，為了建立旅館一天收入的數(shù)學模型，可作如下假設：設每間客房的最高定價為160元；根據(jù)題中提供的數(shù)據(jù)，設隨著房價的下降，住房率呈線性增長；設旅館每間客房定價相等。(2)、建立數(shù)學模型。根據(jù)題意，設表示旅館一天的總收入，為與160元相比降低的房價。由假設，可得每降低1元房價，住房率增加為因此一天的總收入為()由于。于是問題歸結為：當時，求的最大值點，即求解(3)、模型求解。將()左邊除以(150×0.005)得由于常數(shù)因子對求最大值沒有影響，因此可化為求的最大值點。利用配方法得易知當=25時最大，因此可知最大收入對應

35、的住房定價為160元25元=135元相應的住房率為0.55+0.005×25=67.5%最大收入為150×135×67.5%=13668.75(元)(4)、檢驗。容易驗證此收入在已知各種客房定價的對應收入中確實是最大的，這可從下面表格中看出。 定價160元140元120元100元135元收入13200元13650元13500元12750元13668.75元如果為了便于管理，那么定價140元也是可以的，因為這時它與最高收入只差18.75元。如果每間客房定價為180元，住房率為45%，其相應收入只有12150元。由此可見假設是合理的。實際上二次函數(shù)在之內(nèi)只有一個極值點

36、。3、已知AOB及點P，連接OP，若P點不在OB邊上，且BOP表示以OB為始邊、按逆時針方向旋轉到OP的角，試比較AOB與BOP的大小。答：可以有多種情形。情形一：AOB < BOP情形二：AOB > BOP情形三：AOB =BOP  數(shù)學思想方法作業(yè)4答案 一、簡答題1、簡述國家數(shù)學課程標準的幾個主要特點。答：2001年6月教育部推行了試用的九年義務教育階段國家數(shù)學課程標準(實驗稿)，充分體現(xiàn)了數(shù)學課程改革與發(fā)展的內(nèi)涵、特點和具體目標，并呈現(xiàn)下列八個特點：1）、把“現(xiàn)實數(shù)學”作為數(shù)學課程的一項內(nèi)容。即為學生準備的數(shù)學應該

37、是與現(xiàn)實世界密切聯(lián)系的數(shù)學，且能夠在實際中得到應用的數(shù)學。2）、把“數(shù)學化”作為數(shù)學課程的一個目標。學生學習數(shù)學化的過程是將學生的現(xiàn)實數(shù)學進一步提高、抽象的過程。    3）、把“再創(chuàng)造”作為數(shù)學教育的一條原則。把“已完成的數(shù)學”當成是“未完成的數(shù)學”來教，給學生提供“再創(chuàng)造”的機會。    4）、把“問題解決”作為數(shù)學教學的一種模式。數(shù)學課程標準在“學段目標”中的“解決問題”方面的具體闡述，實際上提出了“問題解決”的教學模式，即：情境問題探索結論反思。    5）、把“數(shù)學思想方法”作為課程體系的一條主

38、線。要求學生掌握基本的數(shù)學思想方法。    6）、把“數(shù)學活動”作為數(shù)學課程的一個方面。強調(diào)學生的數(shù)學活動，注重“向學生提供充分從事數(shù)學活動的機會”，幫助他們“獲得廣泛的數(shù)學活動的經(jīng)驗”。7）、把“合作交流”看成學生學習數(shù)學的一種方式。要讓學生在解決問題的過程中“學會與他人合作”，并能“與他人交流思維的過程和結果”。8）、把“現(xiàn)代信息技術”作為學生學習數(shù)學的一種工具。2、簡述數(shù)學思想方法教學的幾個主要階段。答：學生理解數(shù)學思想方法要經(jīng)歷潛意識階段、明朗化階段、深化理解三個階段。二、論述題1、試述小學數(shù)學加強數(shù)學思想方法教學的重要性。答：數(shù)學思想方法是聯(lián)系知識與能力

39、的紐帶，是數(shù)學科學的靈魂，它對發(fā)展學生的數(shù)學能力，提高學生的思維品質(zhì)都具有十分重要的作用。具體表現(xiàn)在：(1)掌握數(shù)學思想方法能更好地理解數(shù)學知識。(2)數(shù)學思想方法對數(shù)學問題的解決有著重要的作用。(3)加強數(shù)學思想方法的教學是以學生發(fā)展為本的必然要求。   2、簡述數(shù)學思想方法教學應注意哪些事項？答：數(shù)學思想方法教學應注意以下事項：(1)把數(shù)學思想方法的教學納入教學目標；(2)重視數(shù)學知識發(fā)生、發(fā)展的過程，認真設計數(shù)學思想方法教學的目標；(3)做好數(shù)學思想方法教學的鋪墊工作和鞏固工作；(4)不同數(shù)學思想方法應有不同的教學要求；(5)注意不同數(shù)學思想方法的綜合應用。

40、三、分析題1.利用下列材料，請你設計一個“數(shù)形結合”教學片斷。材料：如圖13-3-18所示，相鄰四點連成的小正方形面積為1平方厘米。(1)分別連接各點，組成下面12個圖形，你發(fā)現(xiàn)有什么排列規(guī)律？(2)求出各圖形外面一周的點子數(shù)、中間的點子數(shù)以及各圖形的面積，找出一周的點子數(shù)、中間的點子數(shù)、各圖形的面積三者之間的關系。 提示：所設計的教學片斷要求(1)對于第一個問題，體現(xiàn)教師引導學生觀察圖形的特點(可以是獨立思考，也可以是小組討論)，然后組織學生交流各自的理解，師生共同(完全)歸納概括出規(guī)律的過程。(2)對于第二個問題，要充分展示學生結合“數(shù)”與“形”來考察問題的思維過程。教師所起的主導作用就是

41、引導學生分析同一圖中我們需要考察哪些“數(shù)”？由于這里涉及到三個方面的數(shù)量關系，教師同時還要進行學法指導，使學生獲得這樣的策略：當所要考察的圖形的數(shù)量關系較復雜時，除了靈活運用數(shù)形結合方法外，還可用列表的形式來幫助分析。解答提示：(一)、列表分析(也可以只列舉部分圖形分析)  圖形邊上點數(shù)內(nèi)部點數(shù)面積401(2)602(3)803(4)1406(5)412(6)613(7)814(8)1417(9)423(10)624(11)825(12)1428 (二)、觀察、歸納：(限于篇幅只列舉部分圖形分析)圖形(1)的面積：4÷201=1圖形(3)的面積：8÷20

42、1=3圖形(5)的面積：4÷211=2圖形(8)的面積：14÷211=7圖形(9)的面積：4÷221=3圖形(11)的面積：8÷221=5圖形(12)的面積：14÷221=8(三)、總結規(guī)律：圖形的面積與格點數(shù)滿足關系：面積邊上的點數(shù)÷2內(nèi)部點數(shù)1 (四)、教學設計一、找圖的排列規(guī)律師：同學們看圖，找出圖的排列規(guī)律來。（學生可以討論）生：老師我們發(fā)現(xiàn)，第一行的圖中間沒有點，第二行的圖中間有一個點，第三行的圖中間有兩個點。師：非常好！二、數(shù)一數(shù)每個圖周邊的點數(shù)師：現(xiàn)在我們來數(shù)一數(shù)每個圖周邊的點數(shù)。并將結果填入下列表中。（師生一

43、起數(shù)）三、計算面積師：數(shù)完邊點數(shù)，我們再來計算每個圖的面積。結果也填入表中。（師生一起計算面積，過程略） 序號內(nèi)點數(shù)000011112222邊點數(shù)468144681446814面積123623473458四、尋找每一列三個數(shù)之間的規(guī)律師：我們根據(jù)這個表，找一找每列三個數(shù)之間的關系。告訴同學們，希望找到相同的規(guī)律。生：第一列，邊點數(shù)等于面積乘以4。師：這個規(guī)律能否用到第二列呢？生：不能，因為6不等于2乘以4。生2：第一列，邊點數(shù)除以2，減去面積等于1。師：好！看看這個規(guī)律能否用到第二列？生：能。還能用到第三、第四列。生2：老師，這個規(guī)律不能用到第五列。師：很好！我們看看這個規(guī)律到第五列可以怎樣改

44、一改。生：我發(fā)現(xiàn)了，邊點數(shù)除以2，加上內(nèi)點數(shù)，再減去面積等于1。師：非常好！大家一起算一算，是不是每一列都具有這個規(guī)律。五、總結師：我們把發(fā)現(xiàn)的規(guī)律總結成公式：邊點數(shù)/2內(nèi)點數(shù)面積1也可以寫為：邊點數(shù)/2內(nèi)點數(shù)1面積2. 假定學生已有了除法商的不變性知識和經(jīng)驗，在學習分數(shù)的性質(zhì)時，請你設計一個“分類法”教學片斷。解答：材料如下： 提示：所設計的教學片斷要求(1)依據(jù)給定的材料設計一個學生動手操作的活動，讓學生分一分，想一想，說一說，充分展示學生對分類的思考，交流各種不同分法的依據(jù)，并通過反思不同分法找出分類的標準；(2)體現(xiàn)教師引導學生歸納概括“分類方法”的過程，并開展學法指導，使學生獲得“單

45、一標準下分類方法”的策略。2、假定學生已有了除法商的不變性知識經(jīng)驗，在學習分數(shù)的性質(zhì)時，請你設計一個孕育“類比法”教學片斷。提示：所設計的教學片斷要求(1)以小組合作探究的形式，讓學生舉例說明除法的被除數(shù)和除數(shù)與分數(shù)的分子和分母之間存在什么樣的關系(相似關系)？商與分數(shù)又有什么關系(相似關系)？那么與被除數(shù)、除數(shù)同時擴大或縮小相同的倍數(shù)其商不變相似的結論又是什么呢？通過一系列層層遞進式的問題情境，把學生的思維導向分數(shù)與商相似的特征上來，創(chuàng)設學生自主探究分數(shù)的性質(zhì)的全過程；(2)教學設計要體現(xiàn)教師引導學生歸納概括“分數(shù)的性質(zhì)”的過程，并重視學習方法指導，使學生初步領會用“類比法”獲取新知識的策略

46、。解答提示：(一)、列表類比(教師引導，師生共同描述除法的性質(zhì)，再由學生通過類比歸納出分數(shù)的性質(zhì))   除法分數(shù)除法的表示：A÷B分數(shù)的表示： 除法的性質(zhì)(一)：若M0，則(A×M)÷(B×M)= A÷B分數(shù)的性質(zhì)(一)：若M0，則 除法的性質(zhì)(二)：若M0，則(A÷M)÷(B÷M)= A÷B分數(shù)的性質(zhì)(二)：若M0，則 除法的性質(zhì)(三)：A÷B÷C=A÷(B×C)分數(shù)的性質(zhì)(三)：除法的性質(zhì)(四)：(A÷B)÷(C÷

47、;D)= (A×D)÷(B×C)分數(shù)的性質(zhì)(四)：注：性質(zhì)（三）、（四）作為擴展學習內(nèi)容(應根據(jù)學生的實際情況取舍)(二)教學設計一、回憶除法和分數(shù)的有關概念師：同學們還記得除法的哪些概念和記號？生：被除數(shù)÷除數(shù)商師：對。我們再回憶分數(shù)的概念和記號。生： 。師：好。大家一起來比較這兩個概念的相似性。生：商好比分數(shù)，被除數(shù)好比分子。除數(shù)好比分母。二、回憶除法的性質(zhì)師：很好?，F(xiàn)在我們回憶除法有哪些性質(zhì)。生：被除數(shù)與除數(shù)同時擴大，商不變。生2：被除數(shù)與除數(shù)同時縮小，商也不變。三、類比出分數(shù)的性質(zhì)師：對。剛才我們知道商好比分數(shù)，因此我們可以問：除法的這些性質(zhì)是否

48、可以類比到分數(shù)上來呀？生：可以。師：應該怎樣類比呢？生：分子與分母同時擴大，分數(shù)不變。生2：分子與分母同時縮小，分數(shù)不變。四、總結成公式師：很好！這些性質(zhì)怎樣用公式表示呢？生：可以列表如下： 除法分數(shù)除法的表示：A÷B分數(shù)的表示： 除法的性質(zhì)(一)：若M0，則(A×M)÷(B×M)= A÷B分數(shù)的性質(zhì)(一)：若M0，則 除法的性質(zhì)(二)：若M0，則(A÷M)÷(B÷M)= A÷B分數(shù)的性質(zhì)(二)：若M0，則         &

49、#160;    數(shù)學思想與方法作業(yè)參考解答（4）一、簡答題1簡述國家數(shù)學課程標準的幾個主要特點（189頁）。解答：2001年6月教育部推行了試用的九年義務教育階段國家數(shù)學課程標準(實驗稿)，充分體現(xiàn)了數(shù)學課程改革與發(fā)展的內(nèi)涵、特點和具體目標，并呈現(xiàn)下列八個特點：第一、把“現(xiàn)實數(shù)學”作為數(shù)學課程的一項內(nèi)容。即為學生準備的數(shù)學應該是與現(xiàn)實世界密切聯(lián)系的數(shù)學，且能夠在實際中得到應用的數(shù)學。第二、把“數(shù)學化”作為數(shù)學課程的一個目標。學生學習數(shù)學化的過程是將學生的現(xiàn)實數(shù)學進一步提高、抽象的過程。第三、把“再創(chuàng)造”作為數(shù)學教育的一條原則。把“已完成的數(shù)學”當成是“

50、未完成的數(shù)學”來教，給學生提供“再創(chuàng)造”的機會。第四、把“問題解決”作為數(shù)學教學的一種模式。數(shù)學課程標準在“學段目標”中的“解決問題”方面的具體闡述，實際上提出了“問題解決”的教學模式，即：情境問題探索結論反思。第五、把“數(shù)學思想方法”作為課程體系的一條主線。要求學生掌握基本的數(shù)學思想方法。第六、把“數(shù)學活動”作為數(shù)學課程的一個方面。強調(diào)學生的數(shù)學活動，注重“向學生提供充分從事數(shù)學活動的機會”，幫助他們“獲得廣泛的數(shù)學活動的經(jīng)驗”。第七、把“合作交流”看成學生學習數(shù)學的一種方式。要讓學生在解決問題的過程中“學會與他人合作”，并能“與他人交流思維的過程和結果”。第八、把“現(xiàn)代信息技術”作為學生學

51、習數(shù)學的一種工具。2簡述數(shù)學思想方法教學的主要階段（198頁）。解答：數(shù)學思想方法教學主要有三個階段：多次孕育、初步理解和簡單應用階段。這對應學生理解掌握數(shù)學思想方法的三個階段，即：潛意識、明朗化和深刻理解階段。二、論述題1試述小學數(shù)學加強數(shù)學思想方法教學的重要性（191頁）。解答：數(shù)學思想方法是聯(lián)系知識與能力的紐帶，是數(shù)學科學的靈魂，它對發(fā)展學生的數(shù)學能力，提高學生的思維品質(zhì)都具有十分重要的作用。具體表現(xiàn)在：(1)掌握數(shù)學思想方法能更好地理解數(shù)學知識。(2)數(shù)學思想方法對數(shù)學問題的解決有著重要的作用。(3)加強數(shù)學思想方法的教學是以學生發(fā)展為本的必然要求。2簡述數(shù)學思想方法教學應注意哪些事項

52、（205頁）。解答：數(shù)學思想方法教學應注意以下事項：(1)把數(shù)學思想方法的教學納入教學目標；(2)重視數(shù)學知識發(fā)生、發(fā)展的過程，認真設計數(shù)學思想方法教學的目標；(3)做好數(shù)學思想方法教學的鋪墊工作和鞏固工作；(4)不同數(shù)學思想方法應有不同的教學要求；(5)注意不同數(shù)學思想方法的綜合應用。三、分析題1利用下列材料，請你設計一個“數(shù)形結合”教學片斷。材料：如圖13-3-18所示，相鄰四點連成的小正方形面積為1平方厘米。(1)分別連接各點，組成下面12個圖形，你發(fā)現(xiàn)有什么排列規(guī)律？(2)求出各圖形外面一周的點子數(shù)、中間的點子數(shù)以及各圖形的面積，找出一周的點子數(shù)、中間的點子數(shù)、各圖形的面積三者之間的關

53、系。教學片斷設計如下：一、找圖的排列規(guī)律師：同學們看圖，找出圖的排列規(guī)律來。（學生可以討論）生：老師我們發(fā)現(xiàn)，第一行的圖中間沒有點，第二行的圖中間有一個點，第三行的圖中間有兩個點。師：非常好！二、數(shù)一數(shù)每個圖周邊的點數(shù)師：現(xiàn)在我們來數(shù)一數(shù)每個圖周邊的點數(shù)。并將結果填入下列表中。（師生一起數(shù)）三、計算面積師：數(shù)完邊點數(shù)，我們再來計算每個圖的面積。結果也填入表中。（師生一起計算面積，過程略） 序號內(nèi)點數(shù)000011112222邊點數(shù)468144681446814面積123623473458四、尋找每一列三個數(shù)之間的規(guī)律師：我們根據(jù)這個表，找一找每列三個數(shù)之間的關系。告訴同學們，希望找到相同的規(guī)律。

54、生：第一列，邊點數(shù)等于面積乘以4。師：這個規(guī)律能否用到第二列呢？生：不能，因為6不等于2乘以4。生2：第一列，邊點數(shù)除以2，減去面積等于1。師：好！看看這個規(guī)律能否用到第二列？生：能。還能用到第三、第四列。生2：老師，這個規(guī)律不能用到第五列。師：很好！我們看看這個規(guī)律到第五列可以怎樣改一改。生：我發(fā)現(xiàn)了，邊點數(shù)除以2，加上內(nèi)點數(shù)，再減去面積等于1。師：非常好！大家一起算一算，是不是每一列都具有這個規(guī)律。五、總結  師：我們把發(fā)現(xiàn)的規(guī)律總結成公式：邊點數(shù)/2內(nèi)點數(shù)面積1也可以寫為：邊點數(shù)/2內(nèi)點數(shù)1面積2假定學生已有了除法商的不變性知識和經(jīng)驗，在學習分數(shù)的性質(zhì)時，請你設計一個孕育“類比

55、法”教學片斷。提示：所設計的教學片斷要求(1)以小組合作探究的形式，讓學生舉例說明除法的被除數(shù)和除數(shù)與分數(shù)的分子和分母之間存在什么樣的關系(相似關系)？商與分數(shù)又有什么關系(相似關系)？那么與被除數(shù)、除數(shù)同時擴大或縮小相同的倍數(shù)其商不變相似的結論又是什么呢？通過一系列層層遞進式的問題情境，把學生的思維導向分數(shù)與商相似的特征上來，創(chuàng)設學生自主探究分數(shù)的性質(zhì)的全過程；(2)教學設計要體現(xiàn)教師引導學生歸納概括“分數(shù)的性質(zhì)”的過程，并重視學習方法指導，使學生初步領會用“類比法”獲取新知識的策略。教學片斷設計如下：一、回憶除法和分數(shù)的有關概念師：同學們還記得除法的哪些概念和記號？生：被除數(shù)÷除

56、數(shù)商師：對。我們再回憶分數(shù)的概念和記生：。師：好。大家一起來比較這兩個概念的相似性。生：商好比分數(shù)，被除數(shù)好比分子。除數(shù)好比分母。二、回憶除法的性質(zhì)師：很好?，F(xiàn)在我們回憶除法有哪些性質(zhì)。生：被除數(shù)與除數(shù)同時擴大，商不變。生2：被除數(shù)與除數(shù)同時縮小，商也不變。三、類比出分數(shù)的性質(zhì)師：對。剛才我們知道商好比分數(shù)，因此我們可以問：除法的這些性質(zhì)是否可以類比到分數(shù)上來呀？生：可以。師：應該怎樣類比呢？生：分子與分母同時擴大，分數(shù)不變。生2：分子與分母同時縮小，分數(shù)不變。四、總結成公式師：很好！這些性質(zhì)怎樣用公式表示呢？生：可以列表如下： 除法分數(shù)除法的表示：A÷B分數(shù)的表示：除法的性質(zhì)(一)

57、：若M0，則(A×M)÷(B×M)= A÷B分數(shù)的性質(zhì)(一)：若M0，則除法的性質(zhì)(二)：若M0，則(A÷M)÷(B÷M)= A÷B分數(shù)的性質(zhì)(二)：若M0，則 數(shù)學思想與方法作業(yè)3一、簡答題1、簡述計算和算法的含義。答：計算是指根據(jù)已知數(shù)量通過數(shù)學方法求得未知數(shù)的過程，是一種最基本的數(shù)學思想方法。隨著電子計算機的廣泛應用，計算的重要意義更加凸現(xiàn)，主要表現(xiàn)在以下幾個方面：(1)推動了數(shù)學的應用；(2)加快了科學的數(shù)學化進程；(3)促進了數(shù)學自身的發(fā)展。算法是由一組有限的規(guī)則所組成的一個過程。所謂一個算法它

58、實質(zhì)上是解決一類問題的一個處方，它包括一套指令，只要按照指令一步一步地進行操作，就能引導到問題的解決。在一個算法中，每一個步驟必須規(guī)定得精確和明白，不會產(chǎn)生歧義，并且一個算法在按有限的步驟解決問題后必須結束。數(shù)學中的許多問題都可以歸結為尋找算法或判斷有無算法的問題，因此，算法對數(shù)學中的許多問題的解決有著決定性作用。另外，算法在日常生活、社會生產(chǎn)和科學技術中也有著重要意義。算法在科學技術中的意義主要體現(xiàn)在如下幾個方面：(1)用于表述科學結論的一種形式；(2)作為表述一個復雜過程的方法；(3)減輕腦力勞動的一種手段；(4)作為研究和解決新問題的手段；(5)作為一種基本的數(shù)學工具。2、簡述數(shù)學教學中引起“分類討論”的原因。答：數(shù)學教學中引起“分類討論”的原因有：數(shù)學中的許多概念的定義是分類給出的，因此涉及到這些概念時要分類討論；數(shù)學中有些運算性質(zhì)、運算法則是分類給出的，進行這類運算時要分類討論；有些幾何問題，根據(jù)題設不能只用一個圖形表達，