數(shù)學建模 搶渡長江問題

1、 搶渡長江的另一種數(shù)學模型1160m1000m長江水流方向終點: 漢陽南岸咀圖1 起點: 武昌漢陽門 門問題：“渡江”是武漢城市的一張名片。1934年9月9日，武漢警備旅官兵與體育界人士聯(lián)手，在武漢第一次舉辦橫渡長江游泳競賽活動，起點為武昌漢陽門碼頭，終點設在漢口三北碼頭，全程約5000米。有44人參加橫渡，40人達到終點，張學良將軍特意向冠軍獲得者贈送了一塊銀盾，上書“力挽狂瀾”。2001年，“武漢搶渡長江挑戰(zhàn)賽”重現(xiàn)江城。2002年正式命名為“武漢國際搶渡長江挑戰(zhàn)賽”，定于每年的5月1日進行。由于水情、水性的不可預測性，這種競賽更富有挑戰(zhàn)性和觀賞性。2002年5月1日，搶渡的起點設在武昌漢

2、陽門碼頭，終點設在漢陽南岸咀，江面寬約 1160米。當日的平均水溫16.8，江水的平均流速為1.89米/秒。參賽的國內外選手共186人（其中專業(yè)人員將近一半），僅34人到達終點，第一名的成績?yōu)?4分8秒。除了氣象條件外，大部分選手由于路線選擇錯誤，被滾滾的江水沖到下游，而未能準確到達終點。假設在競渡區(qū)域兩岸為平行直線, 兩岸的垂直距離為 1160 米, 從武昌漢陽門的正對岸到漢陽南岸咀的距離為 1000米，見圖1。下面借助數(shù)學模型解決如下問題：（1）假定在競渡過程中游泳者的速度大小和方向不變，且競渡區(qū)域每點的流速均為 1.89 米/秒。如果2002年第一名是按最優(yōu)路徑游泳的，試說明她是沿著怎樣

3、的路線前進的，求她游泳速度的大小和方向。（2）在（1）的假設前提下，試為一個速度能保持在1.5米/秒的人選擇最佳的游泳方向，并估計他的成績。 （3）在（1）的假設下，如果游泳者始終以和岸邊垂直的方向游, 他(她)們能否到達終點？并說明為什么 1934年和2002 年能游到終點的人數(shù)的百分比有如此大的差別；給出能夠成功到達終點的選手的條件。（4）流速沿離岸邊距離的分布為 (設從武昌漢陽門垂直向上為 y軸正向)： (1)游泳者的速度大小（1.5米/秒）仍全程保持不變，試為他選擇游泳方向和路線，估計他的成績。（5）流速沿離岸距離為連續(xù)分布游泳者的速度大小（1.5米/秒）仍全程保持不變，試為他選擇游泳

4、方向和路線，估計他的成績。一、 模型分析（略）二、 模型假設（1）在游泳過程中，游泳者的速度可以保持恒定不變（2）競渡區(qū)域內各點水流速度不變（3）兩岸是保持平行的（4）游泳過程中游泳者之間互不影響三、 模型建立1.設游泳者的速度大小和方向均不隨時間變化，即令 ，而流速， 其中 u 和 v 為常數(shù), q 為游泳者和x 軸正向間的夾角。于是游泳者的路線 (x(t), y(t) 滿足yxL0Hquv圖1 (1)T是到達終點的時刻。 令，如果 (1) 有解, 則（2）因為所以游泳者的路徑一定是連接起、終點的直線，且 （3） 若已知L, H, v, T, 由（3）可得 （4）由（3）消去 T 得到 （5

5、）給定L, H, u , v的值，z滿足二次方程 （6）（6）的解為 （7）方程有實根的條件為 （8）為使（3）表示的T最小，由于當L, u, v 給定時, ， 所以(7) 中z 取較大的根, 即取正號。將（7）的z1代入（3）即得T，或可用已知量表示為 （9）以H = 1160 m, L = 1000 m, v= 1.89 m/s 和第一名成績T=848 s 代入（4），得z= -0.641, 即q =117.50，u=1.54 m/s。2. 以H = 1160 m, L = 1000 m, v= 1.89 m/s 和u=1.5 m/s代入（7），（3），得z= -0.527, 即q =12

6、20，T=910s，即15分10秒。3. 游泳者始終以和岸邊垂直的方向（y軸正向）游, 即 z = 0, 由（3）得T =L/v529s, u= H/T2.19 m/s。游泳者速度不可能這么快，因此永遠游不到終點, 被沖到終點的下游去了。 式（8）給出 了能夠成功到達終點的選手的速度，其幾何意義為：以速度向量的終點為圓心， 為半徑做半圓，O與半圓上任意一點的連線為可能的合速度方向，當小于到OA的距離時，合速度方向一定指向終點A的下游，游泳者無法到達終點。反之，當為半徑的半圓與OA有唯一交點時，合速度方向就是最優(yōu)的游泳方向。當為半徑的半圓與OA有兩個交點時，合速度大的方向就是最優(yōu)速度。對于200

7、2年的數(shù)據(jù)，H = 1160 m, L = 1000 m, v= 1.89 m/s，只要u >1.43 m/s就能到達終點。假設1934年競渡的直線距離為5000 m, 垂直距離仍為H = 1160 m, 則L=4864 m, 仍設v= 1.89 m/s，則游泳者的速度只要滿足 u >0.44 m/s，就可以選到合適的角度游到終點.。兩次游到終點人數(shù)百分比差別的主要原因是游泳者路線（速度方向與水流方向的夾角）選擇錯誤，被流水沖到下游。L1CDBq2q1H3H1uuAq3uL2H2v2v1v3圖2L14. 如圖2，H分為H=H1+H2+H3 3段，H1= H3=200 m, H2=7

8、60 m, v1= v3=1.47 m/s，v2= 2.11m/s, 游泳者的速度仍為常數(shù)u=1.5 m/s, 有v1，v3< u, v2> u, 相應的游泳方向q1，q2為常數(shù)。路線為ABCD, AB平行CD。L分為L=L1+L2+L3, L1=L3, 據(jù)（8），對于v2> u, L2應滿足 （10） 因為v1< u, 故對L1無要求。 對于確定的L1，L2，仍可用1中的公式計算游泳的方向和時間。 因為L1=L3= ( L -L2)/2，由 (9) 知所需要的總時間為 （11） 用枚舉法作近似計算：將L2從760 m到1000 m每20 m一段劃分，相應的L1，L3從

9、120 m到0 m每10 m一段劃分。用Matlab編程計算，可知L1=L3=100(m)，L2 =800(m) 時T=904.58(s)最小，即成績?yōu)?5分5秒，相應的游泳方向q1=q3=124.660，q2=119.190。用求解帶有邊界條件的一元函數(shù)的最優(yōu)解方法求解可得：當q1=q3=126.060，q2=118.060 ，L1=L3=96.8(m)，L2 =806.4(m) 時T=904.0228(s)方法二：s.t. 解法：非線性約束優(yōu)化問題的解法，結果同上5. H仍分為3段，對于流速連續(xù)變化的第1段H1=200 m，方程（1）變?yōu)?（12）其中v（=2.28m/s）為常數(shù), 仍設游泳者的速度大小和方向均不隨時間變化，及，若(1) 有解，則 （13）是一條拋物線。類似于1中的作法得到，給定L, H, u , v的值，z滿足二次方程 （14）取絕對值較小的根，為 （15）有實根的條件為 （16）將（15）的z代入（13）得第1段的時間 （17）因u>v/2，由（16）對L1無要求。對于第2段H2=760 m，仍用（9），（10），應有L2> 870 m，且第2段的時間 （18） 注意到 L1=L3= ( L -L2)/2，T1=