第六講“可能性”就是“概率”嗎

1、第六講 “可能性”就是“概率”嗎“可能性”作為新課程中新增加的數(shù)學(xué)內(nèi)容，正在被廣大的小學(xué)教師和小學(xué)生慢慢熟悉，但是相關(guān)的教學(xué)還僅僅是一種嘗試，教學(xué)中的問(wèn)題也不斷地出現(xiàn)，如：究竟什么是“可能性”，為什么要學(xué)習(xí)“可能性”，以及用什么樣的方式來(lái)進(jìn)行教學(xué)，還有許多老師不太明確，教學(xué)中也把握不準(zhǔn)，所以教學(xué)中就有了這樣的現(xiàn)象： 【現(xiàn)象一】“媽媽明天一定會(huì)給我買新書包”是確定現(xiàn)象嗎？ “可能性”學(xué)完后，教師在黑板上寫下了：“一定”，“可能”，“不可能”，然后讓學(xué)生用這三個(gè)詞分別來(lái)說(shuō)句話，有學(xué)生說(shuō)：“太陽(yáng)一定會(huì)從東方升起”，老師肯定了它的回答；又有學(xué)生說(shuō)：“媽媽明天一定會(huì)給我買新書包”，教師對(duì)此不置可否，又接

2、著請(qǐng)其他學(xué)生繼續(xù)說(shuō)。聽(tīng)課的老師卻都在議論紛紛：“這件事情一定會(huì)發(fā)生嗎？”課后，執(zhí)教老師認(rèn)為：這件事情并沒(méi)有發(fā)生，所以不是確定的。但是，明天太陽(yáng)一定會(huì)從東方升起，這件事情也沒(méi)有發(fā)生，但是卻是確定的。這又怎么解釋呢？ 【現(xiàn)象二】“為什么連續(xù)六次都摸到白球？” 在一次“可能性”的教學(xué)中，教師在一個(gè)不透明的盒子中放入一個(gè)白球、一個(gè)黃球，然后要求學(xué)生任意摸一次，問(wèn)結(jié)果會(huì)怎樣？學(xué)生回答：“可能摸到白球，也可能摸到黃球?！比缓蠼處熅妥寣W(xué)生摸球，來(lái)確認(rèn)是否是這樣的。結(jié)果，連續(xù)六位同學(xué)都摸到的是白球。怎么會(huì)這樣呢？就連上課的教師也產(chǎn)生了疑惑，不知道該如何去面對(duì)教學(xué)中出現(xiàn)的這樣的問(wèn)題。 對(duì)于上述的現(xiàn)象，若想作出正

3、確的解釋，應(yīng)該要追根溯源，從究竟什么是“可能性”和“概率”和兒童是如何建立起這些概念這兩個(gè)方面去進(jìn)行探究。提到“可能性”，就不得不提到“概率”，因?yàn)楹芏嘈W(xué)老師都認(rèn)為“可能性”是“概率”的代名詞，那是不是這樣呢？根據(jù)現(xiàn)代漢語(yǔ)詞典中有關(guān)概率的解釋：“某種事件在同一條件下可能發(fā)生也可能不發(fā)生，表示發(fā)生可能性大小的量叫做概率。也叫幾率，舊稱或然率?！?有些關(guān)于概率的書中也這樣界定概率：“它是隨機(jī)事件發(fā)生可能性大小的數(shù)字度量?！比?，投擲一枚硬幣，一面朝上的可能性有多大呢？大概是。這個(gè)就是我們所講的投擲一枚硬幣一面朝上的概率，它不是某幾次投擲硬幣的結(jié)果，而是在多次投擲之后得到的結(jié)果?？梢?jiàn)，概率是客觀存在

4、的隨機(jī)現(xiàn)象在統(tǒng)計(jì)上的規(guī)律，這種規(guī)律為人們所認(rèn)識(shí)，反映在人們的頭腦中，就成為了概率概念。 隨著社會(huì)的進(jìn)步和發(fā)展，概率已經(jīng)滲透到了社會(huì)的各個(gè)角落，著名數(shù)學(xué)家拉普拉斯說(shuō)：“生活中最重要的問(wèn)題，其中絕大多數(shù)在實(shí)質(zhì)上只是概率問(wèn)題”。如生活中，人們經(jīng)常聽(tīng)到這樣一些話： 你最好帶傘，因?yàn)榭赡軙?huì)下雨。 我?guī)缀蹩梢钥隙ㄎ覀儠?huì)贏。 我們可能不會(huì)遲到。 這些話語(yǔ)中我們都可以看到概率知識(shí)的存在。同時(shí)，小學(xué)階段的孩子也常常會(huì)明確地談到與自己特別相關(guān)的事情的確定性和可能性。因此，向兒童介紹概率的知識(shí)就成為了小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的任務(wù)之一了。但是在小學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)中，根據(jù)小學(xué)生的認(rèn)知水平，應(yīng)當(dāng)盡量避免學(xué)習(xí)過(guò)多的、深?yuàn)W的術(shù)語(yǔ)，并且注意

5、非形式地介紹概率思想，而非嚴(yán)格的定義、單純的計(jì)算，所以不便出現(xiàn)“概率”一詞。 根據(jù)前人的實(shí)驗(yàn)研究表明，兒童掌握概率概念，從最初萌芽到具有一定的認(rèn)知基礎(chǔ)，再到基本形成，不是一下子發(fā)展起來(lái)的，要經(jīng)過(guò)一個(gè)從低到高、一步一步逐漸發(fā)展的過(guò)程。最初是要積累有關(guān)“可能性”的經(jīng)驗(yàn)，了解事件出現(xiàn)的可能性，繼而是認(rèn)識(shí)事件出現(xiàn)的隨機(jī)性，這是兒童關(guān)于概率概念的最初萌發(fā)的認(rèn)知基礎(chǔ)。以后有了事件發(fā)生可能性大小的觀念，認(rèn)識(shí)可能性大小的具體數(shù)量，進(jìn)而用分?jǐn)?shù)或百分?jǐn)?shù)表示可能性的大小，從而掌握科學(xué)的概率概念，這個(gè)過(guò)程大約要從小學(xué)三四年級(jí)起，到高中二年級(jí)才能完成。因此，我們可以認(rèn)識(shí)到事件出現(xiàn)的“可能性” 是學(xué)生掌握概率概念的必要基

6、礎(chǔ)，但是，并不能在這兩個(gè)概念中簡(jiǎn)單地畫上等號(hào)。 從上面的敘述中，我們還可以知道一個(gè)事件，一個(gè)現(xiàn)象出現(xiàn)不出現(xiàn)，發(fā)生不發(fā)生，是研究可能性的基礎(chǔ)。例如，每天太陽(yáng)都會(huì)從東方升起；在歐式幾何中，三角形的內(nèi)角和總是180°；在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水加熱到100就會(huì)沸騰?？偨Y(jié)以上現(xiàn)象，我們可以發(fā)現(xiàn)它們都有著共同的特點(diǎn)，那就是：服從特定的因果規(guī)律，從一定的條件出發(fā)，一定可以推出某一結(jié)果，這一類現(xiàn)象就是“必然現(xiàn)象” （或確定性現(xiàn)象）。 雖然隨機(jī)現(xiàn)象具有不確定性，但是它也是具有規(guī)律的，正是因?yàn)樗倪@一屬性，才使得它與數(shù)學(xué)發(fā)生了聯(lián)系?？墒侨藗?cè)谄綍r(shí)零星的觀察中一般不容易發(fā)現(xiàn)隨機(jī)現(xiàn)象背后的規(guī)律。如本文開頭的現(xiàn)象二

7、，具有概率初步知識(shí)的人都知道，在這樣的情況下，摸到白球和黃球的可能性是一樣的，但是這并不意味著第一次摸到的是黃球，第二次一定摸到的就是白球。因?yàn)椋@里的可能性一樣是針對(duì)某一次摸球而言的，即不管前面摸了多少次白球，下一次摸球時(shí)，出現(xiàn)白球和黃球的可能性仍然是相等的，各為二分之一。教師如清楚地認(rèn)識(shí)到了這一點(diǎn)，就能理解出現(xiàn)連續(xù)摸到六次白球的情況也是有可能存在并且發(fā)生的，同時(shí)也能夠引導(dǎo)學(xué)生使其在學(xué)習(xí)中對(duì)此問(wèn)題有較為清楚地認(rèn)識(shí)。針對(duì)現(xiàn)象二，以下值得借鑒的做法： 當(dāng)學(xué)生連續(xù)三次摸到白球后，教師可以提問(wèn)： （1）怎么會(huì)連續(xù)三次摸到白球？（目的是引導(dǎo)學(xué)生感悟到每次摸球的結(jié)果在摸之前是無(wú)法確定的，連續(xù)多次摸到白球

8、也是有可能） （2）第四次會(huì)摸到什么顏色的球？（目的是使學(xué)生認(rèn)識(shí)到前一次摸球的結(jié)果并不對(duì)后一次產(chǎn)生影響，初步感悟到隨機(jī)事件的發(fā)生和人的心理期望沒(méi)有任何關(guān)系。） 當(dāng)學(xué)生連續(xù)六次摸到白球后，教師可以提問(wèn)：真得摸不到黃球嗎？（目的是使學(xué)生明確：盒子里有黃球，只要不停地摸下去，是一定能摸到黃球的。并為今后學(xué)習(xí)等可能事件打下基礎(chǔ)，即摸的次數(shù)足夠多時(shí)，那么摸到的黃球和白球的次數(shù)大致相等。） 當(dāng)學(xué)生第七次摸到黃球后，教師可以引導(dǎo)學(xué)生說(shuō)說(shuō)對(duì)“可能性”有了哪些認(rèn)識(shí)？引導(dǎo)學(xué)生闡述對(duì)可能性含義的理解。 通過(guò)以上的層層設(shè)問(wèn)，教師幫助學(xué)生搭建了一個(gè)思維的階梯，有助于引導(dǎo)學(xué)生深入理解“可能性”的含義，也就是促使學(xué)生進(jìn)一步

9、理解事情發(fā)生的確定性與隨機(jī)性。 其實(shí)，上述兩種情況都是概率教學(xué)的難點(diǎn)。造成教學(xué)困難的原因有，概率的概念比較抽象，而我們對(duì)概率的教學(xué)又缺乏相應(yīng)的經(jīng)驗(yàn)，因此利用和參考別人的研究成果，來(lái)了解學(xué)生學(xué)習(xí)概率時(shí)可能出現(xiàn)的問(wèn)題，是我們可以借鑒的一條途徑。根據(jù)李俊對(duì)學(xué)生在概率學(xué)習(xí)過(guò)程中形成錯(cuò)誤的概念研究，學(xué)生常常根據(jù)自己的經(jīng)驗(yàn)和直覺(jué)來(lái)判斷事情的發(fā)生與否，而不從數(shù)據(jù)上入手來(lái)考慮；學(xué)生“以為不太可能就是不可能、很有可能就是必然，以及可能發(fā)生與必然發(fā)生之間的混淆是兩種普遍存在的錯(cuò)誤”；學(xué)生還會(huì)錯(cuò)誤地認(rèn)為實(shí)驗(yàn)“重復(fù)次數(shù)越多，結(jié)果表現(xiàn)得越?jīng)]有規(guī)律”；又如在教學(xué)“從一個(gè)裝有一個(gè)黃球和一個(gè)白球的袋子中，摸出黃球和白球的可能

10、性是一樣的”時(shí)候，教師卻不一定能在幾次甚至幾十次的試驗(yàn)后保證學(xué)生能夠觀察到這一事實(shí)。 因此在有關(guān)概率的教學(xué)中，教師要注意采取多種形式幫助學(xué)生建立對(duì)事情的正確表象，并事先對(duì)學(xué)生的情況進(jìn)行了解，如知道學(xué)生可能對(duì)哪些問(wèn)題容易出錯(cuò)，不同的學(xué)生可能存在哪些不同的錯(cuò)誤，從而有針對(duì)性地采取一些措施，這樣教學(xué)的效果可能會(huì)更好。 在小學(xué)階段教學(xué)“可能性”除了是為今后的進(jìn)一步學(xué)習(xí)打下必要的基礎(chǔ)外，更重要的是培養(yǎng)學(xué)生的隨機(jī)意識(shí)，以便更好地處理學(xué)習(xí)和生活中的問(wèn)題。 在我國(guó)的教材中，常常把隨機(jī)問(wèn)題的有關(guān)數(shù)據(jù)采集好后，作為已知條件列在例題或習(xí)題中，然后借助這些數(shù)據(jù)進(jìn)行隨機(jī)概念的教學(xué)。在這樣的情形下，學(xué)生習(xí)慣的把這些數(shù)據(jù)當(dāng)

11、作是確定的數(shù)進(jìn)行處理。而且知道每一個(gè)問(wèn)題都有唯一的、確定的答案。大與小、是與否、優(yōu)與劣都有絕對(duì)的判斷。在這個(gè)過(guò)程當(dāng)中，事實(shí)上學(xué)生并沒(méi)有產(chǎn)生隨機(jī)的觀念。所以筆者認(rèn)為，統(tǒng)計(jì)與概率的教學(xué)重點(diǎn)應(yīng)當(dāng)是讓學(xué)生建立隨機(jī)的觀念，而不是知識(shí)本身。在長(zhǎng)期的“確定性數(shù)學(xué)”的教學(xué)熏陶下，即使我們教會(huì)了學(xué)生完備、正確的共識(shí)和方法，但當(dāng)他們面對(duì)一些很簡(jiǎn)單的、非純粹數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)卻不能應(yīng)用自己辛辛苦苦學(xué)來(lái)的隨機(jī)知識(shí)去解決。 一、教學(xué)中要注重聯(lián)系 1、 注重偶然性與必然性之間的聯(lián)系 必然性與偶然性雖然有很多差異，但是也非涇渭分明，其實(shí)是“你中有我，我中有你”。任何一個(gè)隨機(jī)試事件的發(fā)生都有其的偶然性，但是也包含著一定的必然性，這種

12、必然性表現(xiàn)在大量重復(fù)的試驗(yàn)或觀察中呈現(xiàn)出固有的規(guī)律，這就是隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。例如，一個(gè)口袋中裝有兩個(gè)紅球和一個(gè)黃球，從袋中隨機(jī)地摸出兩個(gè)球，觀察它們的顏色。在這個(gè)試驗(yàn)中，“摸出的兩球都是紅球”和“摸出的兩球一個(gè)紅一個(gè)黃”都是隨機(jī)事件，事件的發(fā)生具有偶然性；而“摸出的兩球中至少有一個(gè)紅球”是必然事件，“摸出的兩球都是黃球”是不可能事件，他們都具有必然性。如果摸球的次數(shù)增多，還會(huì)進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)“摸出的兩球都是紅球”這一隨機(jī)事件發(fā)生的可能性接近，這又體現(xiàn)了在偶然性中包含著必然性。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的研究目的就是從偶然性中探求必然性，從混沌中找有序，該學(xué)科本身也體現(xiàn)了偶然與必然的辯證關(guān)系。 2、 注重聯(lián)系

13、生活實(shí)際 概率與統(tǒng)計(jì)的對(duì)象大多來(lái)源于生活，其教學(xué)自然也不能脫離生活實(shí)際，教學(xué)中為學(xué)生提供問(wèn)題的實(shí)際背景，不但有助于學(xué)生對(duì)相關(guān)知識(shí)的理解，還能讓學(xué)生看到數(shù)學(xué)知識(shí)在生活中的應(yīng)用價(jià)值。如生活中有些商家經(jīng)常舉行“搖獎(jiǎng)”活動(dòng)，如只要購(gòu)物滿百元，就可以通過(guò)轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤（如圖所示）來(lái)進(jìn)行兌獎(jiǎng)，即只要轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤，指針指在那個(gè)區(qū)域內(nèi)，就是幾等獎(jiǎng)。通過(guò)對(duì)這類問(wèn)題的討論和研究，學(xué)生了解到獲得一等獎(jiǎng)的可能性最小，不但加深了對(duì)可能性的認(rèn)識(shí)，也了解了商家搞活動(dòng)的用意，也為形成隨機(jī)意識(shí)提供了素材和可能性。 3、注重與統(tǒng)計(jì)知識(shí)相聯(lián)系 統(tǒng)計(jì)與概率是密切相關(guān)的內(nèi)容，通過(guò)統(tǒng)計(jì)隨機(jī)事件發(fā)生的次數(shù)可以來(lái)理解事情發(fā)生的可能性大小。因此，可能性

14、的得出要借助于統(tǒng)計(jì)的方法。例如，人們?cè)趻仈S一枚硬幣時(shí)，究竟會(huì)出現(xiàn)什么樣的結(jié)果事先是不能確定的，但是當(dāng)我們?cè)谙嗤臈l件下，大量重復(fù)地拋擲同一枚均勻硬幣時(shí)，通過(guò)統(tǒng)計(jì)就會(huì)發(fā)現(xiàn)“出現(xiàn)正面”或“出現(xiàn)反面”的次數(shù)大約各占總拋擲次數(shù)的1/2左右。 二、教學(xué)中要注重實(shí)踐 兒童的思維特點(diǎn)是：從以具體形象思維為主要形式逐步過(guò)渡到以抽象邏輯思維為主要形式。但這種抽象邏輯思維在很大程度上，仍然是直接與感性經(jīng)驗(yàn)相聯(lián)系的，仍然具有很大成分的具體形象性。要讓學(xué)生能夠理解事情發(fā)生的可能性，只有學(xué)生親自動(dòng)手去做、去感受體驗(yàn)，他們才能相信有些事情是可能發(fā)生，有些事情是不可能發(fā)生的，從而隨機(jī)意識(shí)才有可能萌發(fā)。因此在“可能性”的教學(xué)中要注重學(xué)生的參與和實(shí)踐。就小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的安排而言，摸球、拋硬幣、轉(zhuǎn)圓盤等都是比較好的活動(dòng)，有利于學(xué)生的參與。 三、