常微分方程課程教學模式的研究與實踐

1、常微分方程課程教學模式的研究與實踐    關鍵詞:常微分方程 啟發(fā)式教學 優(yōu)化教材常微分方程是高校本科數(shù)學類專業(yè)的核心基礎課程,同時也是工科類專業(yè)需要學習的重要內容。它屬于數(shù)學分析的一個重要分支,是進一步學習泛函分析,偏微分方程,穩(wěn)定性理論和控制論等方向的入門學科,在自然科學與工程技術領域中發(fā)揮著極其重要作用。 自牛頓、萊布尼茲創(chuàng)立微積分以來,人們就開始研究微分方程,三百多年的歷史使這門數(shù)學分支不僅成為了數(shù)學學科中隊伍最大,綜合性最強的領域之一,而且成為數(shù)學以外學科最受關注的領域之一。它的發(fā)展極大地推動了力學技術、電子技術、生物技術等諸多領域的發(fā)展,尤其

2、是地球橢圓軌道的計算海王星的發(fā)彈道軌道的定位大型機械振動的分析自動控制的設計氣象數(shù)值預報等等,微分方程為之提供了關鍵技術支撐。反過來這些高新技術也推。 動了微分方程理論走向縱深,從過去對平周期軌道等的定性研究到今天對非局部分叉,高余維分岔的分析判定,微分方程在理論和方法上正經(jīng)歷著一個新的跨越。 正是這門課程有著很強的理論性與應用性的背景,因此學生在學習這門課的過程中有著很大的困難,教師在課堂教學中所講課程內容多理論,少應用,教材知識與實際工程背景聯(lián)系不足。最突出的就是這種課堂教學使得課堂本身變得枯燥,其中一些繁瑣抽象的理論推導更是讓很多基礎知識一般的學生無法跟上思路,從而不能很好的完成知識體系

3、的銜接。 真正意義上的教學,不僅要給學生教懂知識,更重要的是培養(yǎng)學生的認知結構,即培養(yǎng)學生的能力。因此激發(fā)了學生的學習興趣,也應落實到一個目標塑造學生良好的認知結構。就此談一點感受和體會。 一、教學手段和方法的設計 首先以經(jīng)典的微分方程模型為導入點,進而引入相關的微分方程理論知識,課堂講練問答四位一體,以板書與多媒體相結合的方式,并通過不同的播放方式,使文字、公式和動畫等多項教學內容更加形象生動,使教師在教學上更加得心應手,使學生通過良好的教學互動,提高學習興趣,進而掌握知識、培養(yǎng)能力。例如,對于給定一個一階微分方程,要在黑板上描繪出其方向場非常繁瑣,而利用計算機數(shù)學軟件繪出方向場圖形再通過幻

4、燈片在課上演示,效果非常良好.再如,當我們在介紹奇解和包絡這部分內容時,直接敘述包絡這個抽象的概念,學生理解起來很是吃力,這時可以借助于多媒體課件中的曲線族圖形,把包絡對應的幾何意義演示出來,從而使學生對這個概念有著更深刻的認識。 其次轉被動為主動,以學生自學為主、教師為輔:一方面,對于平行內容或一些具體的計算機模擬實例,可以提前布置。教師只需隨堂留出十分鐘,隨機點名由學生講解,最后進行點評。另一方面,每一章節(jié)學習完畢,給學生布置一些具有一定難度的相關題目,對于認真思考,通過查閱資料嚴格驗證的學生應及時給以鼓勵,并邀請他走上講臺進行講解。這一過程,不僅加強了學生對于新知識的掌握程度,同時也鍛煉

5、了他們的自學能力、表達能力和動手能力,特別是對于學習自覺性不是很高的學生有著很好的督促作用,提高了課堂教學的效率。 最后,深層討論與拓展,對于微分方程興趣濃厚的學生可以組成討論小組在每個章節(jié)結束的時候,由他們向全班同學進行本章節(jié)內容在實際應用中的有關報告以及多媒體演示(獨立報告三十分鐘)。在小組的討論中,給學生帶來一些實例或者學科前沿的論文,以拓展他們的知識面。小組討論的時間比較靈活,可以安排在課后的時間。這樣的小組討論有助于學生動手能力、發(fā)散思維和創(chuàng)新意識的培養(yǎng),在討論中不但加深了學生們對知識的認知,還能激發(fā)更多的想法,為將來研究性的學習打下基礎。 二、強化微分方程的數(shù)學建模作用 自20世紀

6、以來數(shù)學教育發(fā)生了巨大變化,人們通過對自然科學與工程技術中的實際問題進行“數(shù)學建?！眮韺W習數(shù)學,應用數(shù)學和掌握數(shù)學。因此,在常微分方程教學中,加強數(shù)學建模顯得很有必要。實踐中,增加微分方程建模教學內容,可顯示它的強大作用。例如在教學過程中,適當增加人口模型、生物模型、物理模型等問題來訓練學生的建模能力,同時也能從中認識到數(shù)學實際應用的重要性。 三、采用啟發(fā)式和對比式教學 引導學生積極思維,自己去發(fā)現(xiàn)前人已然發(fā)現(xiàn)了的東西,以及自己可以有所創(chuàng)新的東西。常微分方程課程一個重要的問題就是對給定的微分方程來求出其通解或特解.當然,這些方程需滿足某些特殊的形式。而常微分方程中的常數(shù)變易法和積分因子法都是非

7、常古典有效的方法,這些方法在一階線性方程、全微分方程、高階線性方程和線性方程組中都會用到。因此,如何啟發(fā)學生自己發(fā)現(xiàn)并掌握這些方法,便成了啟發(fā)式教學的一個很好的切入點,現(xiàn)以一階非齊次線性方程與相應的齊次線性方程為例進行說明: 對于一階齊次線性微分方程來說,當時,可用最基本的變量分離解法進行求解,可得其通解為 考慮一階非齊次線性微分方程 易見當非齊次線性微分方程的非齊次項 時便是齊次線性微分方程,但是當 時,齊次方程的解        不可能是非齊次方程的解,而此解的導數(shù)與 相加正好為零。鑒于非齊次方程與齊次方程左端

8、形式相同,那么能否尋求一種變換,將其代入到非齊次方程中,使得的導數(shù)變?yōu)閮身?一項抵消掉另一項等于右端的 呢?正是在這樣的啟發(fā)下,便使學生想到了乘法的微分法則,提出該變換的正確形式為那么將此變換式代入非齊次微分方程中而求出待定函數(shù)進而求出其通解的方法即是常數(shù)變易法。 此外,在教學中還可以引入另一種方法積分因子法,注意觀察非齊次線性微分方程 的左端,結合分析中具有特殊形式的乘積函數(shù)的求導公式 注意到這里方程左端的y對應于上式中的 而 對應于上式中 的通過以上的分析和啟示,使學生很自然想到只要在非齊次方程兩端乘以(積分因子)那么左端便可以結合成兩個函數(shù)乘積的導數(shù)形式,方程即為 進而可得非齊次微分方程

9、的通解為 傳統(tǒng)的講法是在后面的全微分方程部分引入積分因子概念的,在這里,我們采用啟發(fā)式教學提前介紹了這個概念。一方面,使學生認識到積分因子實際上就是對一個微分方程求解起到至關重要的特殊函數(shù),只要方程兩端乘以這個積分因子,就可以通過某種方法順利求出方程的通解。那么在學生進一步學習有關積分因子知識點時就顯得游刃有余了。另一方面,積分因子法與常數(shù)變易法是從兩個不同的思路去解決同一問題的,我們分別通過啟發(fā)式教學介紹了兩種方法,再通過對比式講解進行總結,使學生從問題本質上去體會兩種方法的精妙之處,避開了死記公式的被動局面. 四、優(yōu)化教材,因材施教 為培養(yǎng)出數(shù)學理論知識扎實,實踐能力強的本科學生,我們對常

10、微分方程教材的內容及進行了優(yōu)化,在教學中適當刪減理論性偏強,過程煩瑣的定理證明,多增加應用性的例題和題目,例如利用微分方程建立數(shù)學模型方面的例題,利用現(xiàn)代計算機數(shù)學軟件去解微分方程及方程組等方面的知識,引導是學生通過學習Matlab、Mathematic、Maple等數(shù)學軟件來驗證一些微分方程的理論上的求解方法。這樣,使學生在的理論水平和實踐能力都得到了提高。同時我們還將編寫一套與新教材內容相匹配的常微分方程習題集,緊密配合教學目標,檢測教學效果。 總之,對于本科的常微分方程課程,應本著從學生的實際情況出發(fā),因材施教,在達到高等數(shù)學教學大綱規(guī)定的基礎要求前提下,以學生現(xiàn)有的思維發(fā)展水平為依據(jù),

11、選擇與學生思維發(fā)展水平相適應的學習內容,對不同學生提出不同的要求,使學生能夠按照自己的途徑和方式,充分發(fā)揮其知識潛力,達到各自所能達到和發(fā)展水平,為他們今后進一步學習現(xiàn)代數(shù)學知識打下較好的基礎。 參考文獻: 1 王高雄,周之明,朱思銘,王壽松.常微分方程(第三版)M.北京:高等教育出版社,2007. 2 丁同仁,李承治.常微分方程M.北京:高等教育出版社,2004. 3 魏俊杰,潘家齊,蔣達清.常微分方程M.北京:高等教育出版社,2002. 4 劉三輝.常微分方程的教學比較研究J.吉林教育,2009.8. 5 劉會民, 那文忠等. 常微分方程課程教學模式的改革與探索J.數(shù)學教育學報,2006.

12、2. 6 徐勝林.常微分方程學習指導J.高等函授學報,2004.2. The Research and PracticeofTechingMethodinOrdinary DifferentialEquationCourse Li Bing WU Qiu Fu SHA Ben Yuan JIANG Department of Mathematics,School of Science, University of Science and Technology Liaoning,Anshan 114051 Abstract:According to strong characteristic ofordinary differential equation for theoretical and applied, in order to cultivate a solid mathematical theory of knowledge and practical ability of undergraduate students, ordinary differential equations for the content of the curriculum refo