2018蘇州一模五數(shù)學

1、2018屆高三年級第一次模擬考試(五)數(shù) 學(滿分160分，考試時間120分鐘)一、 填空題：本大題共14小題，每小題5分，共計70分 1. 已知i為虛數(shù)單位，復數(shù)zi的模為_ 2. 已知集合A1，2a，B1，1，4，且AB，則正整數(shù)a_ 3. 在平面直角坐標系xOy中，拋物線y28x的焦點坐標為_ 4. 蘇州軌道交通1號線每5分鐘一班，其中，列車在車站停留0.5分鐘，假設(shè)乘客到達站臺的時刻是隨機的，則該乘客到達站臺立即能乘上車的概率為_ 5. 已知4a2，logax2a，則正實數(shù)x_ 6. 秦九韶是我國南宋時期的數(shù)學家，他在所著的數(shù)書九章中提出的多項式求值的秦九韶算法，至今仍是比較先進的算法

2、下面的流程圖是秦九韶算法的一個實例若輸入n，x的值分別為3，3，則輸出v的值為_ (第6題) (第9題)7. 已知變量x，y滿足則z2x3y的最大值為_ 8. 已知等比數(shù)列an的前n項和為Sn，且，a4a2，則a3的值為_ 9. 魯班鎖是中國傳統(tǒng)的智力玩具，起源于中國古代建筑中首創(chuàng)的榫卯結(jié)構(gòu)，它的外觀是如圖所示的十字立方體，其上下、左右、前后完全對稱，六根等長的正四棱柱體分成三組，經(jīng)90°榫卯起來若正四棱柱的高為5，底面正方形的邊長為1，現(xiàn)將該魯班鎖放進一個球形容器內(nèi)，則該球形容器的表面積至少為_(容器壁的厚度忽略不計，結(jié)果保留)10. 如圖，兩座建筑物AB，CD的高度分別是9 m和

3、15 m，從建筑物AB的頂部A看建筑物CD的張角CAD45°，則這兩座建筑物AB和CD的底部之間的距離BD_m. (第10題) (第13題)11. 在平面直角坐標系xOy中，已知過點A(2，1)的圓C和直線xy1相切，且圓心在直線y2x上，則圓C的標準方程為_12. 已知正實數(shù)a，b，c滿足1，1，則c的取值范圍是_13. 如圖，ABC為等腰三角形，BAC120°，ABAC4，以A為圓心，1為半徑的圓分別交AB，AC與點E，F(xiàn)，P是劣弧上的一點，則·的取值范圍是_14. 已知直線ya分別與直線y2x2，曲線y2exx交于點A，B，則線段AB長度的最小值為_二、 解

4、答題：本大題共6小題，共計90分解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟15. (本小題滿分14分)已知函數(shù)f(x)(cosxsinx)22sin2x.(1) 求函數(shù)f(x)的最小值，并寫出f(x)取得最小值時自變量x的取值集合；(2) 若x，求函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間16. (本小題滿分14分)如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，已知E，F(xiàn)，G，H分別是A1D1，B1C1，D1D，C1C的中點求證：(1) EF平面ABHG；(2) 平面ABHG平面CFED. 17. (本小題滿分14分)如圖，B，C分別是海岸線上的兩個城市，兩城市間由筆直的海濱公路相連，B，C之間的距離為100 km，

5、海島A在城市B的正東方向50 km處從海島A到城市C，先乘船按北偏西角(<，其中銳角的正切值為)航行到海濱公路P處登陸，再換乘汽車到城市C.已知船速為25 km/h，車速為75 km/h.(1) 試建立由A經(jīng)P到C所用時間與的函數(shù)解析式；(2) 試確定登陸點P的位置，使所用時間最少，并說明理由18. (本小題滿分16分)在平面直角坐標系xOy中，橢圓C：1(a>b>0)的離心率為，橢圓上動點P到一個焦點的距離的最小值為3(1)(1) 求橢圓C的標準方程；(2) 已知過點M(0，1)的動直線l與橢圓C交于A，B兩點，試判斷以AB為直徑的圓是否恒過定點，并說明理由19. (本小題

6、滿分16分)已知各項是正數(shù)的數(shù)列an的前n項和為Sn.(1) 若SnSn1(nN*，n2)，且a12.求數(shù)列an的通項公式；若Sn·2n1對任意nN*恒成立，求實數(shù)的取值范圍；(2) 數(shù)列an是公比為q(q>0，q1)的等比數(shù)列，且an的前n項積為10Tn.若存在正整數(shù)k，對任意nN*，使得為定值，求首項a1的值20. (本小題滿分16分)已知函數(shù)f(x)(1) 當a2時，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2) 若方程f(x)f(x)ex3在區(qū)間(0，)上有實數(shù)解，求實數(shù)a的取值范圍；(3) 若存在實數(shù)m，n0，2，且|mn|1，使得f(m)f(n)，求證：1e.2018屆高三年級第

7、一次模擬考試(三)數(shù)學附加題(本部分滿分40分，考試時間30分鐘)21. 【選做題】本題包括A、B、C、D四小題，請選定其中兩小題，并作答若多做，則按作答的前兩小題評分解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟A. 選修41：幾何證明選講(本小題滿分10分)如圖，AB，AC與圓O分別切于點B，C，P為圓O上異于點B，C的任意一點，PDAB，垂足為D，PEAC，垂足為E，PFBC，垂足為F.求證：PF2PD·PE.B. 選修42：矩陣與變換(本小題滿分10分)已知M，求M4.C. 選修44：坐標系與參數(shù)方程(本小題滿分10分)在平面直角坐標系xOy中，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，以原

8、點O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為，若直線l與曲線C相交于A，B兩點，求AOB的面積D. 選修45：不等式選講(本小題滿分10分)已知a，b，cR，a2b2c21，若|x1|x1|(abc)2對一切實數(shù)a，b，c恒成立，求實數(shù)x的取值范圍【必做題】第22題、第23題，每題10分，共計20分解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟22. (本小題滿分10分)如圖，已知矩形ABCD所在平面垂直于直角梯形ABPE所在平面，其交線為AB，且ABBP2，ADAE1，AEAB，且AEBP.(1) 求平面PCD與平面ABPE所成的二面角的余弦值；(2) 線段PD上是否存在一點N，

9、使得直線BN與平面PCD所成角的正弦值等于？若存在，試確定點N的位置；若不存在，請說明理由23. (本小題滿分10分)在正整數(shù)集上定義函數(shù)yf(n)，滿足f(n)f(n1)122f(n1)，且f(1)2.(1) 求證：f(3)f(2)；(2) 是否存在實數(shù)a，b，使f(n)1，對任意正整數(shù)n恒成立，并證明你的結(jié)論2018屆蘇州高三年級第一次模擬考試數(shù)學參考答案1. 2. 23. (2，0)4. 5. 6. 487. 98. 9. 3010. 1811. (x1)2(y2)22 12. 13. 11，9 14. 15. 解析：(1) f(x)(cosxsinx)22sin2x3cos2x2sin

10、xcosxsin2x2sin2xsin2x(2分)cos2xsin2x22cos2.(4分)當2x2k，即xk(kZ)時，f(x)取得最小值0, 此時自變量x的取值集合為.(7分)(2) 由(1)知f(x)2cos2.令2k2x22k(kZ)，(8分)解得kxk(kZ)，(10分)又x，令k1，x，令k0，x，所以函數(shù)f(x)在上的單調(diào)增區(qū)間是和.(14分)16. 解析：(1) 因為E，F(xiàn)是A1D1，B1C1的中點，所以EFA1B1.在正方體ABCDA1B1C1D1中，A1B1AB，所以EFAB.(3分)又EF平面ABHG，AB平面ABHG，所以EF平面ABHG.(6分)(2)在正方體ABCD

11、A1B1C1D1中，CD平面BB1C1C，又BH平面BB1C1C，所以BHCD.(8分)設(shè)BHCFP，易知BCHCC1F，所以HBCFCC1.因為HBCPHC90°，所以FCC1PHC90°.所以HPC90°，即BHCF.(11分)又DCCFC，DC，CF平面CFED，所以BH平面CFED.又BH平面ABHG，所以平面ABHG平面CFED.(14分)17. 解析：(1) 由題意，輪船航行的方位角為，所以BAP90°，AB50，則AP，BP50tan(90°)，所以PC100BP100.(4分)由A到P所用的時間為t1，由P到C所用的時間為t2，

12、(6分)所以由A經(jīng)P到C所用時間與的函數(shù)關(guān)系為f()t1t2，(8分)函數(shù)f()的定義域為，其中銳角的正切值為. (2) 由(1)知f()，所以f().令f()0，解得cos.(10分)設(shè)0，使cos0.當變化時，f()，f()的變化情況如下表：(，0)0f()0f()極小值(12分)所以當0時函數(shù)f()取得最小值，此時BP17.68(km)故在BC上選擇距離B為17.68km 處為登陸點，所用時間最少(14分)18. 解析：(1) 由題意知，所以ac.(1分)又橢圓上動點P到一個焦點的距離的最小值為3(1)，所以ac33，(2分)解得c3，a3，所以b2a2c29，(4分)所以橢圓C的標準方

13、程為1.(6分)(2) 當直線l的斜率為0時，令y1，則x±4，此時以AB為直徑的圓的方程為x2(y1)216；(7分)當直線l的斜率不存在時，以AB為直徑的圓的方程為x2y29.(8分)聯(lián)立解得x0，y3，即兩圓過點T(0，3)猜想：以AB為直徑的圓恒過定點T(0，3)(9分)對一般情況證明如下：設(shè)過點M(0，1)的直線l的方程為ykx1，與橢圓C交于點A(x1，y1)，B(x2，y2)，則消去y，整理得(12k2)x24kx160，所以x1x2，x1x2.(12分)因為·(x1，y13)·(x2，y23)x1x2y1y23(y1y2)9x1x2(kx11)(k

14、x21)3(kx11kx21)9(k21)x1x24k(x1x2)1616160，所以TATB.所以存在以AB為直徑的圓恒過定點T，且定點T的坐標為(0，3)(16分)19. 解析：(1) 當n2時，SnSn1，所以Sn1Sn，兩式相減得an1an(aa)，即an1an3，n2；(2分)當n2時，S2S1，即a3a2100，解得a25或a22(舍)，所以a2a13，即數(shù)列為等差數(shù)列，且首項a12，所以數(shù)列的通項公式為an3n1.(5分)由知an3n1，所以Sn.由題意可得對一切nN*恒成立，記cn，則cn1，n2，所以cncn1，n2.(8分)當n>4時，cn<cn1；當n4時，c

15、4，且c3，c2，c1，所以當n3時，cn取得最大值，所以實數(shù)的取值范圍為.(11分)(2) 由題意，設(shè)ana1qn1(q>0，q1)，a1·a2··an10Tn，兩邊取常用對數(shù)，得Tnlga1lga2lgan.令bnlgannlgqlga1lgq，則數(shù)列是以lga1為首項，lgq為公差的等差數(shù)列(13分)若為定值，令，則，即(k1)2k2lgqn(k1)k·0對nN*恒成立，因為q>0，q1，所以問題等價于將代入(k1)k0，解得0或1. 因為kN*，所以>0，1，所以aq.又an>0，所以a1.(16分)20. 解析：(1)

16、當a2時，f(x)當x<0時，f(x)x3x2，f(x)3x22xx(3x2)，令f(x)0，解得x0或x(舍)，所以當x<0時，f(x)<0, 所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(，0)上為減函數(shù)；(2分)當x0時，f(x)ex2x，f(x)ex2，令f(x)0，解得xln2，所以當0<x<ln2時，f(x)<0；當x>ln2時，f(x)>0，所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，ln2)上為減函數(shù)，在區(qū)間(ln2，)上為增函數(shù)，且f(0)1>0.(4分)綜上，函數(shù)f(x)的單調(diào)減區(qū)間為(，0)和(0，ln2)，單調(diào)增區(qū)間為(ln2，)(5分)(2) 設(shè)x&g

17、t;0，則x<0，所以f(x)f(x)x3x2exax.由題意，x3x2exaxex3在區(qū)間(0，)上有解，等價于ax2x在區(qū)間(0，)上有解(6分)記g(x)x2x(x>0)，則g(x)2x1，(7分)令g(x)0，因為x>0，所以2x23x3>0，故解得x1.當x(0，1)時，g(x)<0；當x(1，)時，g(x)>0，所以函數(shù)g(x)在區(qū)間(0，1)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(1，)上單調(diào)遞增，故函數(shù)g(x)在x1處取得最小值g(1)5.(9分)要使方程ag(x)在區(qū)間(0，)上有解，當且僅當ag(x)ming(1)5，綜上，滿足題意的實數(shù)a的取值范圍為5，)

18、(10分)(3) 由題意知f(x)exa.當a0時，f(x)>0，此時函數(shù)f(x)在0，)上單調(diào)遞增，由f(m)f(n)，可得mn，與條件|mn|1矛盾，所以a>0.(11分)令f(x)0，解得xlna.當x(0，lna)時，f(x)<0；當x(lna，)時，f(x)>0，所以函數(shù)f(x)在(0，lna)上單調(diào)遞減，在(lna，)上單調(diào)遞增若存在m，n0，2，f(m)f(n)，則lna介于m，n之間，(12分)不妨設(shè)0m<lna<n2.因為f(x)在(m，lna)上單調(diào)遞減，在(lna，n)上單調(diào)遞增，且f(m)f(n)，所以當mxn時，f(x)f(m)f(

19、n)，由0m<n2，|mn|1，可得1m，n，所以f(1)f(m)f(n)又f(x)在(m，lna)上單調(diào)遞減，且0m<lna，所以f(m)f(0)，所以f(1)f(0)同理f(1)f(2)，(14分)即解得e1ae2e，所以1e.(16分)21. A解析：連結(jié)PB，PC.因為PCF，PBD分別為同弧BP上的圓周角和弦切角，所以PCFPBD.(2分)因為PDBD，PFFC，所以PDBPFC，所以.(5分)同理PBFPCE.又PEEC，PFFB，所以PFBPEC，所以.(8分)所以，即PF2PD·PE.(10分)B. 解析：矩陣M的特征多項式為f()223.(2分)令f()

20、0，解得13，21，所以屬于1的一個特征向量為1，屬于2的一個特征向量為2.(5分)令m1n2，即mn，所以解得m4，n3.(7分)所以M4M4(4132)4(M41)3(M42)4(1)3(2)4×343×(1)4×.(10分)C. 解析：由題意知曲線C的直角坐標方程是y22x，(2分)直線l的普通方程為xy40.(4分)聯(lián)立方程組解得A(2，2)，B(8，4)，所以AB6，(7分)因為原點到直線xy40的距離d2，所以SAOB×6×212.(10分)D. 解析：因為a，b，cR，a2b2c21，所以由柯西不等式得(abc)2(a2b2c2)·(111)3.(4分)因為|x1|x1|(abc)2對一切實數(shù)a，b，c恒成立，所以|x1|x1|3.當x<1時，2x3，即x；當1x1時，23不成立；當x>1時，2x3，即x.綜上所述，實數(shù)x的取值范圍為.(10分)22. 解析：(1) 因為平面ABCD平面ABEP，平面ABCD平面ABEPAB