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1、3宏觀經(jīng)濟(jì)乘數(shù)加速數(shù)模型及經(jīng)濟(jì)波動(dòng)周期分析 乘數(shù)、加速數(shù)模型為宏觀經(jīng)濟(jì)學(xué)中的基本模型之一。它是討論經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)中的國(guó)民收入、消費(fèi)、儲(chǔ)蓄等變量之間關(guān)系及經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)規(guī)律的模型。 社會(huì)總產(chǎn)出:所有產(chǎn)品的產(chǎn)值。是否等于GNP? GNP社會(huì)總產(chǎn)出期間產(chǎn)品的耗費(fèi);同時(shí)GNP可用于消費(fèi)和固定資產(chǎn)的投資。將上述這些宏觀經(jīng)濟(jì)用以量化,構(gòu)造出系統(tǒng)模型即為(標(biāo)題)(1)建立模型設(shè) Y(t) 為第t年國(guó)民生產(chǎn)總值,C(t) 為第t年個(gè)人消費(fèi)總額,G(t) 為第t年公共消費(fèi)(政府支出、政府購(gòu)買)I(t) 為第t年投資總額。 Y(t) GNP 公共消費(fèi)G(t) 企業(yè)與個(gè)人消費(fèi)C(t) 公共投資 + 企業(yè)與個(gè)人投資= I(t)則
2、有統(tǒng)計(jì)規(guī)律:Y(t)C(t)I(t)G(t) *另外,設(shè)u 第t年個(gè)人消費(fèi)總額C(t)與上一年國(guó)民生產(chǎn)總值Y(t1)有關(guān)。今年消費(fèi)是去年的GNP的線性函數(shù),設(shè)為:C(t)a+bY(t-1) *其中:a,b為常數(shù),b<1,稱為邊際消費(fèi)傾向。(傾向系數(shù);邊際求導(dǎo)) u 第t年投資總額I(t)與人們消費(fèi)需求及銀行利率等有關(guān)。在市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)下一個(gè)國(guó)家和地區(qū)平衡增長(zhǎng)時(shí)利率變換不大,所以近似認(rèn)為投資I(t)主要受消費(fèi)的增加而增加,關(guān)系如下:I(t)q+k(C(t)- C(t-1) * 其中:q,k為常數(shù)。K>0,表明當(dāng)消費(fèi)量增加時(shí)將使得投資額也增加。比如,今年比去年消費(fèi)提高,這樣拉動(dòng)了投資的增加,
3、我們稱-需求拉動(dòng)。綜上,Y(t)C(t)I(t)G(t)C(t)a+bY(t-1) (*)I(t)q+k(C(t)- C(t-1)稱為宏觀經(jīng)濟(jì)乘數(shù)加速數(shù)模型。這是經(jīng)濟(jì)學(xué)上的革命,該模型以經(jīng)有50年歷史,我國(guó)現(xiàn)在還在使用。由凱恩斯提出來(lái)的。(2)分析該模型:1 當(dāng)上述變量都為常數(shù)時(shí),稱為系統(tǒng)的平衡解。容易看出,Y與G的關(guān)系由方程組確定即 表明,當(dāng)政府購(gòu)買力為G時(shí),系統(tǒng)達(dá)到平衡后的國(guó)民生產(chǎn)總值為Y。如果G增加G,那么Y變化,并最終達(dá)到Y(jié)+Y.那么稱Y與G之比為乘數(shù)(放大倍數(shù))。即 當(dāng)b0.5時(shí),1/(1-0.5)=2,這就意味著購(gòu)買力增加1萬(wàn)萬(wàn)萬(wàn)億元,那么國(guó)民生產(chǎn)總值增加2萬(wàn)萬(wàn)萬(wàn)億元,但如果這樣,
4、就會(huì)發(fā)生通貨膨脹。這是因?yàn)槲覀冞@里說(shuō)的變量,都是名義值,而不是實(shí)際值。這是因?yàn)槲覀兡P椭袥](méi)有考慮價(jià)格變量。該模型僅考慮宏觀經(jīng)濟(jì)變量名義值的變化規(guī)律。 實(shí)際的宏觀經(jīng)濟(jì)調(diào)控政策設(shè)計(jì)中,我們讓G適當(dāng)?shù)纳仙沟妹x值Y也相應(yīng)上升,不至于產(chǎn)生通貨膨脹。 Y的實(shí)際值應(yīng)為物價(jià)指數(shù)P乘以Y1,Y1由固定資產(chǎn)K和人工確定(生產(chǎn)函數(shù)),即Y=P*Y12其因果關(guān)系(系統(tǒng))圖如下: G(t) Y(t) Y(t-1) a C(t) C(t-1)×b×××k ) I(t) q 經(jīng)濟(jì)危機(jī)時(shí),煤、面包、衣服、出現(xiàn)了惡性循環(huán)。這時(shí),政府要出資投入(發(fā)債券等手段),刺激經(jīng)濟(jì)發(fā)展。這樣加速
5、了經(jīng)濟(jì)的發(fā)展加速數(shù)。 但分析該模型有漏洞,如此不斷的刺激,將會(huì)導(dǎo)致滯脹:通貨膨脹,GNP的快速增長(zhǎng)實(shí)質(zhì)上是停滯。 經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)理論。 我國(guó)使用刺激內(nèi)需如修公路,花錢。 該模型靈不靈?取決于外部的參量。××b、k(3)分析模型的變化 下面直觀了解模型的變化,設(shè)(a10 q=5 b=0.5 k=2)并且,政府購(gòu)買力G5,系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)由此得Y=40, C=30. 當(dāng)政府購(gòu)買力從5變?yōu)?0時(shí),變動(dòng)過(guò)程使用方程組,其中,t1為平衡狀態(tài)沒(méi)有實(shí)際時(shí)間含義。t0時(shí),政府購(gòu)買為10。依上式,有(t=-1不使用原方程組,是使用平衡方程組)即得:C(0)=30, I(0)=5 Y(0)=30+5
6、+10=45如下表: +10 5+2(C(t)- C(t-1) Y(t) Y(t-1) 0.5Y(t-1) C(t) C(t-1) I(t) G(-1)=5 40 30 5 G(0)=10 45 40 20 30 30 5G(1)=10 52.5 45 22.5 32.5 30 10 G(t) Y(t) Y(t-1) 10 C(t) C(t-1)05××××2 ) I(t) 5 說(shuō)明:當(dāng)G由5到10時(shí),立即拉動(dòng)了國(guó)民生產(chǎn)總值,也增加了5。進(jìn)一步,再代入上式,當(dāng)G10不再上升時(shí),可得Y(1)=52.5.這表明,雖然G不再增加,但國(guó)民生產(chǎn)總值升到45后,引起
7、了消費(fèi)與投資的進(jìn)一步增加,從而刺激了國(guó)民生產(chǎn)總值的進(jìn)一步增加。這種國(guó)民生產(chǎn)總值一輪又一輪的增加稱為加速過(guò)程。再進(jìn)一步將Y(1)=52.5代入,我們可以得到Y(jié)(2)=58.57, Y(3)=60.625, Y(4)=57.19, Y(5)=50.16, 可以看出,Y(t)的發(fā)展是波動(dòng)的,如此波動(dòng)下去,最后趨于新的平衡狀態(tài):Y50 (從一個(gè)平衡點(diǎn)到另一個(gè)平衡點(diǎn)的過(guò)程稱為過(guò)渡過(guò)程這是一門學(xué)科,繼控制論之后的一門課,研究的人不多)。那么,波動(dòng)的周期如何?(4)周期(運(yùn)動(dòng)分析) (我們說(shuō)系統(tǒng)的特征根由系數(shù)陣的特征根確定,所以找到特征根即可這個(gè)結(jié)論正確嗎?) 將方程改寫為:變形為矩陣方程:可以整理為簡(jiǎn)記為
8、: 其中: Z變換: 整理: 于是 其中:A,B為待定系數(shù)。且Z-1變換:并由歐拉公式:則:年 以上,我們經(jīng)過(guò)一系列復(fù)雜的計(jì)算討論了國(guó)民生產(chǎn)總值的波動(dòng)周期。如果我們掌握規(guī)律抓住特征,計(jì)算結(jié)果大為簡(jiǎn)化??偨Y(jié):我們這節(jié)研究了宏觀經(jīng)濟(jì)模型討論了其波動(dòng)周期。平均每8.69年達(dá)到一個(gè)平衡。二、運(yùn)動(dòng)分析原理(系統(tǒng)的特征分析) 我們?cè)谇懊娴膯?wèn)題中已經(jīng)提過(guò),系統(tǒng)本身固有的特征根對(duì)系統(tǒng)起決定作用。如橋由于本身自有一個(gè)頻率,當(dāng)外界的輸入頻率等于自有的頻率時(shí),橋就會(huì)塌。對(duì)于經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)來(lái)講,如果出現(xiàn)了這樣的共振現(xiàn)象,系統(tǒng)就會(huì)崩潰,所以我們有必要研究這個(gè)問(wèn)題,尋找特征根的規(guī)律和求法。1標(biāo)準(zhǔn)系統(tǒng): Z變換: 即: 若系統(tǒng)的
9、特征根如下: 無(wú)重根 其中,中間或許會(huì)有。此根只與系統(tǒng)的自身A有關(guān),所以稱為系統(tǒng)特征根。m為z函數(shù)的分子的最高次數(shù),n 為z函數(shù)的分母的最高次數(shù).則 且時(shí),不會(huì)有,m=n時(shí)有。 例如,上節(jié)的宏觀經(jīng)濟(jì)乘數(shù)加速數(shù)模型中,由于只是求周期,不要求具體變化規(guī)律,所以我們可以直接采用上述結(jié)果。 直接找特征根,q=a=G(t)=0時(shí)(外部輸入量)矩陣方程:特征方程:當(dāng)b=0.5, k=2時(shí)有所以周期為年 如沒(méi)有外界輸入,系統(tǒng)將無(wú)休止的波動(dòng)。 亦即,對(duì)于一個(gè)宏觀經(jīng)濟(jì)系統(tǒng),如果是用線性方程組來(lái)描述,當(dāng)輸入為0時(shí),一定可以寫成差分方程組;同時(shí),一定可以表示為標(biāo)準(zhǔn)形式(狀態(tài)方程),則有狀態(tài)矩陣、特征方程、特征根。
10、所有狀態(tài)變量為特征根的t次方的線性組合。2. 前面我們假設(shè)輸入為0,如果G不為0 出現(xiàn)干擾項(xiàng),則有:標(biāo)準(zhǔn)化狀態(tài)方程: A為狀態(tài)矩陣問(wèn)題:的解與A及u(z)的特征根都有什么關(guān)系? 首先,常數(shù)a的特征根為1。因?yàn)?其次,對(duì)于這一個(gè)干擾項(xiàng)(輸入)可以證明: 如那么 最后,即將輸入的干擾項(xiàng)轉(zhuǎn)為系統(tǒng)內(nèi),變成一個(gè)新系統(tǒng)。如果 那么 即系統(tǒng)內(nèi)的任一變化規(guī)律為:固有根與外部根的疊加??偨Y(jié):1)線性系統(tǒng)如果可以寫成差分方程,則一定可以寫成標(biāo)準(zhǔn)方程(狀態(tài)方程) 2)有輸入,一定有輸出 3)設(shè)系統(tǒng)固有根,輸入干擾根。線性系統(tǒng) 輸入 輸出 4)對(duì)其考察變化情況。以上,求出了反映系統(tǒng)特征的規(guī)律,雖不是最終解,但可以反映
11、系統(tǒng)的特征,可以討論系統(tǒng)的其他特性(增長(zhǎng)率、周期等),并可以簡(jiǎn)化計(jì)算。三、課后作業(yè)1生態(tài)平衡模型 自然界萬(wàn)物的運(yùn)動(dòng)變化的規(guī)律是很復(fù)雜的,如我們前面講到的,兔口、人口模型,可以自然繁殖,在生存環(huán)境很好的情況下,就會(huì)成災(zāi);但一些動(dòng)物,如魚類,人們的捕撈可以使自然繁殖速率下降,而過(guò)量的捕撈,則可造成漁業(yè)資源的枯竭。只有適當(dāng)?shù)牟稉撇趴梢赃_(dá)到漁業(yè)資源的生態(tài)平衡。而我國(guó)近幾十年經(jīng)常會(huì)發(fā)生對(duì)資源的過(guò)渡索取,如黃花魚。對(duì)環(huán)境保護(hù)也有生態(tài)平衡問(wèn)題。農(nóng)藥施肥、化工廠、汽車尾氣、等對(duì)環(huán)境造成的污染,必須加以控制以維護(hù)環(huán)境的平衡。對(duì)于生態(tài)環(huán)境的變化,用數(shù)學(xué)方程描述十分的復(fù)雜。一般使非線性差分方程或非線性微分方程。但也有一些情況,使用線性差分方程描述其運(yùn)動(dòng)規(guī)律也有一定的準(zhǔn)確性,下面舉例說(shuō)明線性差分方程在研究生態(tài)平衡中的應(yīng)用。如,年輕人吸煙,會(huì)有尼古丁的吸入體內(nèi),故留在肺、血液中,由醫(yī)學(xué)上的測(cè)定
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