量子力學(xué)復(fù)習(xí)題大題

1、12 在0K附近，鈉的價電子能量約為3eV，求其德布羅意波長。解 根據(jù)德布羅意波粒二象性的關(guān)系，可知E=hv，如果所考慮的粒子是非相對論性的電子（），那么如果我們考察的是相對性的光子，那么E=pc注意到本題所考慮的鈉的價電子的動能僅為3eV，遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于電子的質(zhì)量與光速平方的乘積，即，因此利用非相對論性的電子的能量動量關(guān)系式，這樣，便有在這里，利用了以及最后，對作一點(diǎn)討論，從上式可以看出，當(dāng)粒子的質(zhì)量越大時，這個粒子的波長就越短，因而這個粒子的波動性較弱，而粒子性較強(qiáng)；同樣的，當(dāng)粒子的動能越大時，這個粒子的波長就越短，因而這個粒子的波動性較弱，而粒子性較強(qiáng)，由于宏觀世界的物體質(zhì)量普遍很大，因而波動

2、性極弱，顯現(xiàn)出來的都是粒子性，這種波粒二象性，從某種子意義來說，只有在微觀世界才能顯現(xiàn)。13 氦原子的動能是（k為玻耳茲曼常數(shù)），求T=1K時，氦原子的德布羅意波長。解 根據(jù)，知本題的氦原子的動能為顯然遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于這樣，便有這里，利用了最后，再對德布羅意波長與溫度的關(guān)系作一點(diǎn)討論，由某種粒子構(gòu)成的溫度為T的體系，其中粒子的平均動能的數(shù)量級為kT，這樣，其相應(yīng)的德布羅意波長就為據(jù)此可知，當(dāng)體系的溫度越低，相應(yīng)的德布羅意波長就越長，這時這種粒子的波動性就越明顯，特別是當(dāng)波長長到比粒子間的平均距離還長時，粒子間的相干性就尤為明顯，因此這時就能用經(jīng)典的描述粒子統(tǒng)計分布的玻耳茲曼分布，而必須用量子的描述粒子

3、的統(tǒng)計分布玻色分布或費(fèi)米公布。p.522.1.證明在定態(tài)中，幾率流密度與時間無關(guān)。 證：對于定態(tài)，可令 可見無關(guān)。2.2 由下列兩定態(tài)波函數(shù)計算幾率流密度： 從所得結(jié)果說明表示向外傳播的球面波，表示向內(nèi)(即向原點(diǎn)) 傳播的球面波。 解：在球坐標(biāo)中 同向。表示向外傳播的球面波。 可見，反向。表示向內(nèi)(即向原點(diǎn)) 傳播的球面波。補(bǔ)充：設(shè)，粒子的位置幾率分布如何？這個波函數(shù)能否歸一化？ 波函數(shù)不能按方式歸一化。 其相對位置幾率分布函數(shù)為 表示粒子在空間各處出現(xiàn)的幾率相同。 #3.8.在一維無限深勢阱中運(yùn)動的粒子，勢阱的寬度為，如果粒子的狀態(tài)由波函數(shù) 描寫，A為歸一化常數(shù)，求粒子能量的幾率分布和能量的

4、平均值。 解：由波函數(shù)的形式可知一維無限深勢阱的分布如圖示。粒子能量的本征函數(shù)和本征值為 能量的幾率分布函數(shù)為 先把歸一化，由歸一化條件， 3.10一粒子在硬壁球形空腔中運(yùn)動，勢能為 求粒子的能級和定態(tài)波函數(shù)。 解：據(jù)題意，在的區(qū)域，所以粒子不可能運(yùn)動到這一區(qū)域，即在這區(qū)域粒子的波函數(shù) () 由于在的區(qū)域內(nèi)，。只求角動量為零的情況，即，這時在各個方向發(fā)現(xiàn)粒子的幾率是相同的。即粒子的幾率分布與角度無關(guān)，是各向同性的，因此，粒子的波函數(shù)只與有關(guān)，而與無關(guān)。設(shè)為，則粒子的能量的本征方程為 令 ，得 其通解為 波函數(shù)的有限性條件知， 有限，則 A = 0 由波函數(shù)的連續(xù)性條件，有 其中B為歸一化，由歸

5、一化條件得 歸一化的波函數(shù) 4.3 求在動量表象中線性諧振子的能量本征函數(shù)。 解：定態(tài)薛定諤方程為 即 兩邊乘以，得 令 跟課本P.39(2.7-4)式比較可知，線性諧振子的能量本征值和本征函數(shù)為 式中為歸一化因子，即 #4.4.求線性諧振子哈密頓量在動量表象中的矩陣元。 解： 5.3 設(shè)一體系未受微擾作用時有兩個能級：，現(xiàn)在受到微擾的作用，微擾矩陣元為；都是實(shí)數(shù)。用微擾公式求能量至二級修正值。 解：由微擾公式得 得 能量的二級修正值為 5.7 計算氫原子由2p態(tài)躍遷到1s態(tài)時所發(fā)出的光譜線強(qiáng)度。 解： 若 ，則 #7.1.證明：證：由對易關(guān)系 及 反對易關(guān)系 ， 得 上式兩邊乘，得 7.5設(shè)氫的狀態(tài)是 求軌道角動量z分量和自