數學中的“形”---尺規(guī)作圖

1、2013年度安慶市數學學科教學論文評選參評論文數學中的“形”-尺規(guī)作圖劉 進 安慶田中尺規(guī)作圖是起源于古希臘的一個數學課題。在歷史上最先明確提出尺規(guī)限制的是伊諾皮迪斯。他發(fā)現以下作圖法：在已知直線的已知點上作一角與已知角相等。這件事的重要性并不在于這個角的實際作出，而是在尺規(guī)的限制下從理論上去解決這個問題。只使用圓規(guī)和直尺，并且只準許使用有限次，來解決不同的平面幾何作圖題。在這以前，許多作圖題是不限工具的。自伊諾皮迪斯以后，尺規(guī)的限制逐漸成為一種公約，最后總結在幾何原本之中。下面將簡單地介紹一下尺規(guī)作圖：一、尺規(guī)作圖的基本要求直尺必須沒有刻度，無限長，且只能使用直尺的固定一側。只可以用它來將兩

2、個點連在一起，不可以在上畫刻度。 圓規(guī)可以開至無限寬，但上面亦不能有刻度。它只可以拉開成你之前構造過的長度。 只使用圓規(guī)和直尺，并且只準許使用有限次。二、五種基本作圖作一個角等于已知角 平分已知角 作已知線段的垂直平分線 作一條線段等于已知線段 過一點作已知直線的垂線 三、尺規(guī)作圖基本方法通過兩個已知點可作一直線。 已知圓心和半徑可作一個圓。 若兩已知直線相交，可求其交點。 若已知直線和一已知圓相交，可求其交點。 若兩已知圓相交，可求其交點。 四、尺規(guī)作圖中的著名古典難題三等分角不能問題； 立方倍積不能問題； 化圓為方不能問題。 以上三個問題在2400年前的古希臘已提出這些問題，但在歐幾里得幾

3、何學的限制下，以上三個問題都不可能解決的。直至1837年，法國數學家萬芝爾以他的睿智和毅力實現了自己的夢想，首次證明了“立方倍積不能”不可能用尺規(guī)作圖法解決，宣布了2000多年來，人類征服幾何三大難題取得了重大勝利。而后在1882年德國數學家林德曼證明是超越數后，“化圓為方不能”也被證明為尺規(guī)作圖不能問題。而“三等分角不能”的證明最難，所用的方法要用到群論知識。群論是由只活了21歲的伽羅瓦和只活了27歲的阿貝爾兩人創(chuàng)立的。還有，若干著名的尺規(guī)作圖已知是不可能的，而當中很多“不可能”的證明依然是利用了群理論。近日在網上不斷有人聲稱他“破解”了“三等分角不能”這個難題，現舉兩個流傳較為廣泛的例子，

4、筆者通過認真驗算，將提出一點兒不同的看法。例1：將三等分作法：作的平分線連接，交于，過作，與交于，作取的中點，作與交于作關于的對稱點連接、，則、即為所求。反證：設顯然，假設成立，那么由卡丹判別式：，所以必有不同的三個實數根。又由令則，構造函數令時，00解得：，均不合題意，舍去。所以，這就說明當時，這種三等分角的作法才有意義。例2：將三等分作法： 建立平面直角坐標系，作半徑為的，使得頂點在原點，落在x軸上在第四象限內，截取作，連接，過作，與交于作，與交于連接，則即為所求。原證明如下：作，與交于，連，作，則四邊形為矩形四邊形為矩形與阿基米德的作法相似，且避免了取點的漏洞！乍一看，真是一個了不起的證

5、明，簡單明了！但仔細推敲，問題在于“四邊形為矩形”這一論斷未必成立，究其原因是作法中弓形與弓形不是相似弓形！反證：設假設成立，則這與的任意性矛盾！也就是說，當知道的具體度數時，還要通過具體的計算，這時這種三等分角的作法才有意義。三等分角看上去最簡單，嘗試的人可能也是最多的，但它又是一個的的確確不可能的問題。為什么不能三等分？高中選修36三等分角與數域擴充中的群理論會告訴你：尺規(guī)作圖是有邊界的，三等分角在這邊界之外。北京師范大學錢珮玲教授在她編著的數學思想方法與中學數學(第二版)第8章中，特意選擇了關于三等分角的案例，來著重說明“實數數域的二次擴充”的理論是不能支持三等分角的。換句話說：我們用尺

6、規(guī)作圖可以作任意角的平分線，而這個步驟又可以一直進行下去。于是就可以得到這個角的 ，而，可以知道這 與尺規(guī)作圖中的“有限步”相矛盾！即便這樣，還是絲毫不會影響人們對未知世界的探索，這里面仍舊包括三等分角的問題。所以說，尺規(guī)作圖必然是一個有研究價值和研究前途的數學內容。在我國民間早有畫正五邊形的口訣:“九五頂五九,八五兩邊分?！?下面就來介紹一下圓內接正五邊形的尺規(guī)作法： 以為圓心，定長為半徑畫圓，并作互相垂直的直徑平分半徑，得以為圓心，為半徑畫弧與交于，那么即為正五邊形的邊長。 以為弦長，在圓周上截得各點，順次連接這些點即得正五邊形如圖。筆者通過反復驗算，現給出如下證明：連接，設的半徑為，正五

7、邊形的邊長為，即正五邊形，即，即解出：由垂徑定理易知：解出：故，于是為正五邊形的邊長。人們迅速地解決了正三、四、五、六邊形的尺規(guī)作圖問題，卻在正七邊形面前止步了：究竟能作不能作？得不出結論來！這個懸案一直懸而未決兩千余年。17世紀的費馬，他研究了形如的數之后，提出了一個著名猜想：都是素數。對于時，容易算出驗證一下，這五個數的確是素數。是否素數呢？僅這么一個問題就差不多一百年之后才有了一個結論，偉大的歐拉發(fā)現是兩素數之積：。歐拉還發(fā)現，不僅不是素數，也不是素數，等還不是素數，甚至對于也能判斷它不是素數，但是它的任何真因數還不知道。至今，人們還只知這樣5個數是素數。由于除此而外還未發(fā)現其他素數，于

8、是人們產生了一個與費馬的猜想大相徑庭的猜想：的素數只有有限個。但對此也未能加以證明。當然，更加令人驚奇的事情發(fā)生在距歐拉發(fā)現不是素數60多年之后。年僅20歲高斯發(fā)現，當正多邊形的邊數是費馬數時是可以尺規(guī)作圖的，并給出了一般的結論：正邊形可尺規(guī)作圖的充要條件是或。就這樣，一個懸而未決兩千余年的古老幾何問題得到了圓滿的解決，而這一問題解決的過程是如此的蹊蹺，它竟與一個沒有猜對的猜想相關連。高斯把問題是解決得如此徹底，以致有了高斯的定理，我們對于早已知道如何尺規(guī)作圖的正三邊形、正五邊形，進而還知道了它們?yōu)槭裁茨苡贸咭?guī)作圖？因為3和5都是費馬數；此外，為什么正四邊形、正六邊形可尺規(guī)作圖呢？因為、而。對

9、于很久以來未找到辦法來作出的正七邊形，甚至于正11邊形、正 13邊形，現在我們能有把握地說，它們不可能尺規(guī)作圖！因為7、11、13都不是費馬數；順便說一下，根據高斯的理論，還有一位德國格丁根大學教授作了正257邊形。對于正65537邊形，即使我們不知道具體如何作，可是理論上我們已經知道它是可以尺規(guī)作圖的（證明還是利用了伽羅瓦的群理論）。高斯最初的一項成就就是作出了正17邊形，高斯本人對此也頗為欣賞，其圖形完美、好看，而且在他的墓碑上就鐫刻著一個正17邊形圖案。下面我們來論證正十七邊形尺規(guī)作圖的可行性： 先證明可以根式解： 設正17邊形中心角為，則，那么 由積化和差公式，得： 且 令 則 經計算

10、知： 再由令: 再由它是實數的加減乘除平方根的組合，故正17邊形可以尺規(guī)作圖。下面介紹正十七邊形尺規(guī)作圖：作的兩條互相垂直的半徑，在上作點使，在上作點使作反向延長線上點，使得；作中點，并以為圓心作一圓過點， 此圓交于點，再以為圓心，作一圓 過點，此圓交直線于和兩點；過作垂直線交圓于，過作垂直線交圓于；以為基準圓，為正十七邊形第1頂點，為第4頂點，為第6頂點；以為半徑，在此圓上截出正十七邊形的所有頂點。 尺規(guī)作圖之所以吸引人們的注意，還有一個重要的原因，就是它在生活中的廣泛運用。例如下面這個例題：如圖，為內任意一點，過點作一直線將的面積一分為二。先給出作法：連作，使得 過作交于三點作圓，與交于連，交于，則直線即為所求。再給出分析證明：當恰在任意一邊的中線上時，那么顯然這條中線就是要作的直線。若不在任何一條中線上，如圖（9）不妨設在內，且過直線恰平分。若落在上，即，由可知：不可能與相交，所以一定在線段上，一定在線段上。連接 用尺規(guī)作圖來畫圖十分方便！尺規(guī)作圖不僅僅工具簡單，使用方法也最簡便，免去了度量，準確度更高。這種只限于用尺、規(guī)，作出符合一定條件的幾何圖形，無疑是一種很強的約束力，這種約束力要求學習者具有較強的數學思維能力和操作能力。這種約束