第2章 2.2　總體分布的估計(jì)

1、.2.2總體分布的估計(jì)學(xué)習(xí)目的：1.通過對實(shí)例的分析，體會(huì)分布的意義和作用.2.在表示樣本數(shù)據(jù)的過程中，學(xué)會(huì)列頻率分布表，畫頻率分布直方圖、頻率分布折線圖和莖葉圖，體會(huì)它們各自的特點(diǎn)，感受它們在提醒外表上雜亂無序的數(shù)據(jù)所蘊(yùn)涵的規(guī)律中的作用重點(diǎn)3.會(huì)利用樣本數(shù)據(jù)的四種圖表估計(jì)總體分布自 主 預(yù) 習(xí)·探 新 知1頻率分布表當(dāng)總體很大或不便于獲得時(shí)，可以用樣本的頻率分布估計(jì)總體的頻率分布，我們把反映總體頻率分布的表格稱為頻率分布表2頻率分布直方圖1我們將整個(gè)取值區(qū)間的長度稱為全距，分成的區(qū)間的長度稱為組距2把橫軸分成假設(shè)干段，每一段對應(yīng)一個(gè)組的組距，然后以此線段為底作一矩形，它的高等于該組

2、的，這樣得出一系列的矩形，每個(gè)矩形的面積恰好是該組的頻率，這些矩形就構(gòu)成了頻率分布直方圖3頻率分布折線圖假如將頻率分布直方圖中各相鄰的矩形的上底邊的中點(diǎn)順次連接起來，就得到頻率分布折線圖，簡稱頻率折線圖4總體分布的密度曲線假如將樣本容量取的足夠大，分組的組距取的足夠小，那么相應(yīng)的頻率折線圖將趨于一條光滑曲線，我們稱這條光滑曲線為總體分布的密度曲線5莖葉圖1將樣本數(shù)據(jù)有條理地列出來，從中觀察樣本分布情況的圖稱為莖葉圖2莖葉圖刻畫數(shù)據(jù)的優(yōu)點(diǎn)是所有的信息都可以從這張圖中得到，方便記錄和表示缺點(diǎn)是當(dāng)樣本數(shù)據(jù)較多時(shí)，莖葉圖的效果就不是很好根底自測1以下關(guān)于頻率分布直方圖的說法，正確的選項(xiàng)是_填序號(hào)直方圖

3、的高表示取某數(shù)的頻率；直方圖的高表示該組上的個(gè)體在樣本中出現(xiàn)的頻數(shù)與組距的比值；直方圖的高表示該組上的個(gè)體在樣本中出現(xiàn)的頻率；直方圖的高表示該組上的個(gè)體在樣本中出現(xiàn)的頻率與組距的比值頻率分布直方圖的高表示該組上的個(gè)體在樣本中出現(xiàn)的頻率與組距的比值2將一批數(shù)據(jù)分成四組，列出頻率分布表，其中第一組的頻率是0.27，第二組與第四組的頻率之和為0.54，那么第三組的頻率是_. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：20192091】019根據(jù)題意知，四個(gè)組的頻率之和為1，所以第三組的頻率為10.270.540.19.3學(xué)校為了調(diào)查學(xué)生在課外讀物方面的支出情況，抽取了一個(gè)容量為n的樣本，其頻率分布直方圖如圖2­2

4、3;1所示，其中支出在50,60的同學(xué)有30人，假設(shè)想在這n個(gè)人中抽取50個(gè)人，那么在50,60之間應(yīng)抽取的人數(shù)為_圖2­2­115根據(jù)頻率分布直方圖得總?cè)藬?shù)n100，依題意知，應(yīng)采取分層抽樣，再根據(jù)分層抽樣的特點(diǎn)，那么在50,60之間應(yīng)抽取的人數(shù)為50×15.4在莖葉圖中比40大的數(shù)據(jù)有_個(gè)圖2­2­23比40大的數(shù)有47,48,49，共3個(gè)5從某校500名12歲男生中利用隨機(jī)抽樣法抽取120人，得到他們的身高單位：cm數(shù)據(jù)如下：區(qū)間界限122,126126,130130,134134,138138,142人數(shù)58102233區(qū)間界限142,

5、146146,150150,154154,158人數(shù)2011651列出樣本頻率分布表；2估計(jì)身高小于134 cm的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的百分比解析某一組的頻數(shù)等于該組的頻數(shù)與樣本容量的比解1樣本頻率分布表如下：分組頻數(shù)頻率122,12650.04126,13080.07130,134100.08134,138220.18138,142330.28142,146200.17146,150110.09150,15460.05154,15850.04合計(jì)12012由樣本頻率分布表可知身高小于134 cm的男孩出現(xiàn)的頻率為0.040.070.080.19，所以我們估計(jì)身高小于134 cm的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的19%

6、.合 作 探 究·攻 重 難頻率分布表的制作及應(yīng)用1容量為20的樣本數(shù)據(jù)，分組的頻數(shù)如下表：分組10,2020,3030,4040,5050,6060,70頻數(shù)234542數(shù)據(jù)落在區(qū)間10,40的頻率為_2一個(gè)樣本數(shù)據(jù)：2723252729312730323128 26 27 29 28 24 26 27 28 30以2為組距，列出頻率分布表. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：20192092】解析1數(shù)據(jù)落在區(qū)間10,40內(nèi)的頻數(shù)為9，樣本容量為20，所求頻率P0.45.故填0.45.2根據(jù)頻率分布表的制作步驟來進(jìn)展，注意確定分點(diǎn)時(shí)，為了防止出現(xiàn)某一數(shù)據(jù)所在組別不能確定的情況，可以使分點(diǎn)比數(shù)據(jù)多一位小數(shù)，

7、并且把第一組的起點(diǎn)略微減小，故此題的第一組的起點(diǎn)可定為22.5.解10.45.2計(jì)算最大值與最小值的差：最大值為32，最小值為23，它們的差為32239.組距為2，決定組數(shù)：因?yàn)?.5，所以組數(shù)為5.決定分點(diǎn)：22.5,24.5，24.5,26.5，26.5,28.5，28.5,30.5，30.5,32.5列頻率分布表如下：分組頻數(shù)頻率22.5,24.520.124.5,26.530.1526.5,28.580.428.5,30.540.230.5,32.530.15合計(jì)201規(guī)律方法1.頻率、頻數(shù)和樣本容量的關(guān)系為頻率，利用此式可知二求一.2.制作頻率分布表的步驟1求全距，決定組數(shù)與組距，組

8、距；2分組，通常對組內(nèi)數(shù)值所在區(qū)間取左閉右開區(qū)間或左開右閉區(qū)間，最后一組取閉區(qū)間；3登記頻數(shù)，計(jì)算頻率，列出頻率分布表.提醒 1在制作頻率分布表時(shí)，分組過多或過少都不好.分組過多會(huì)給制作頻率分布表帶來困難，分組過少雖減少了操作，但不能很好地反映總體情況.一般樣本容量越大，所分組數(shù)應(yīng)越多.當(dāng)樣本容量不超過100時(shí)，按照數(shù)據(jù)的多少，常分成5組至12組.2所分的組數(shù)應(yīng)力求“取整.組數(shù)k，假設(shè)kZ，那么組數(shù)為k；否那么，組數(shù)為大于k的最小整數(shù)，這時(shí)需適當(dāng)增大全距，在兩端同時(shí)增加適當(dāng)?shù)姆秶?3在決定分點(diǎn)時(shí)，應(yīng)防止將樣本中的數(shù)據(jù)作為分點(diǎn)，常將分點(diǎn)的數(shù)值取比樣本中的數(shù)據(jù)多一位小數(shù). 跟蹤訓(xùn)練1一個(gè)容量為n的

9、樣本分成假設(shè)干組，某組的頻數(shù)和頻率分別為30和0.25，那么n等于_120某一組的頻率等于該組的頻數(shù)與樣本容量的比由于0.25，所以n120.2對某電子元件進(jìn)展壽命追蹤調(diào)查，情況如下：壽命h100200200300300400400500500600個(gè)數(shù)20308040301列出頻率分布表；2估計(jì)壽命在100 h400 h以內(nèi)的電子元件所占的百分比解析根據(jù)頻率分布表的制作步驟完成頻率分布表解1壽命頻數(shù)頻率累計(jì)頻率100200200.100.10200300300.150.25300400800.400.65400500400.200.85500600300.151合計(jì)20012由頻率分布表可以

10、看出，壽命在100 h400 h的電子元件出現(xiàn)的頻率為0.65，因此我們估計(jì)壽命在100 h400 h的電子元件所占的百分比為65%.頻率分布直方圖與頻率分布折線圖的制作與應(yīng)用有同一型號(hào)的汽車100輛，為理解這種汽車每耗油1 L所行路程的情況，現(xiàn)從中隨機(jī)抽出10輛在同一條件下進(jìn)展耗油1 L所行路程試驗(yàn)，得到如下樣本數(shù)據(jù)單位：km：13.7,12.7,14.4,13.8,13.3,12.5,13.5,13.6,13.1,13.4，其分組如下：分組頻數(shù)頻率12.45,12.9512.95,13.4513.45,13.9513.95,14.45合計(jì)101.01完成上面的頻率分布表；2根據(jù)上表，在給定

11、坐標(biāo)系中畫出頻率分布直方圖及頻率分布折線圖；3根據(jù)上述圖表，估計(jì)總體數(shù)據(jù)落在12.95,13.95中的可能性. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：20192093】解析1根據(jù)頻率分布表的制作步驟完成上面的頻率分布表2根據(jù)制作頻率分布直方圖及頻率分布折線圖的方法步驟繪制頻率分布直方圖及頻率分布折線圖3計(jì)算出樣本數(shù)據(jù)落在12.95,13.95中的頻率解1頻率分布表：分組頻數(shù)頻率12.45,12.9520.212.95,13.4530.313.45,13.9540.413.95,14.4510.1合計(jì)101.02頻率分布直方圖及頻率分布折線圖如圖3根據(jù)上述圖表，可知數(shù)據(jù)落在12.95,13.95中的頻率為0.30.40.7

12、，故總體數(shù)據(jù)落在12.95,13.95中的可能性為0.7.規(guī)律方法1.制作頻率分布直方圖的方法步驟1制作頻率分布表.2建立直角坐標(biāo)系：把橫軸分成假設(shè)干段，每一段對應(yīng)一個(gè)組的組距，縱軸表示.3畫矩形：在橫軸上標(biāo)明各組端點(diǎn)值，以相鄰兩點(diǎn)間的線段為底，作高等于該組的的矩形，這樣得到一系列矩形，就構(gòu)成了頻率分布直方圖.2.頻率分布折線圖的制作步驟1取每個(gè)矩形上底邊中點(diǎn).2順次連接各個(gè)中點(diǎn).3取值區(qū)間兩端點(diǎn)需分別向外延伸半個(gè)組距，并取此組距上在x軸上的點(diǎn)與折線的首、尾分別相連.3.解決頻率分布直方圖的相關(guān)計(jì)算，需掌握以下關(guān)系式：1×組距頻率，即小長方形的高乘以寬即為落在相應(yīng)區(qū)間數(shù)據(jù)的頻率.2頻

13、率，此關(guān)系式的變形為樣本容量. 提醒頻率分布直方圖中，每個(gè)矩形的高為，面積為對應(yīng)組的頻率. 跟蹤訓(xùn)練3如圖2­2­2是容量為100的樣本的頻率分布直方圖，試根據(jù)圖中的數(shù)據(jù)填空：圖2­2­3樣本數(shù)據(jù)落在6,10內(nèi)的頻率為_，樣本數(shù)據(jù)落在10,14內(nèi)的頻率為_0320.36樣本數(shù)據(jù)落在6,10內(nèi)的頻率為0.08×40.32，樣本數(shù)據(jù)落在10,14內(nèi)的頻率為0.09×40.36.4通過全國人口普查工作，得到我國人口的年齡頻率分布直方圖如圖2­2­3，那么在一個(gè)總?cè)丝跀?shù)為200萬的城市中，年齡在20,60之間的人大約有_萬

14、圖2­2­4116在頻率分布直方圖中，小矩形的面積表示頻率，年齡在20,60之間的頻率約為0.0180.011×200.58，200×0.58116萬，故年齡在20,60之間的人大約有116萬莖葉圖的畫法及應(yīng)用某中學(xué)高二2班甲、乙兩名同學(xué)自高中以來每場數(shù)學(xué)考試成績情況如下單位：分：甲的得分：95,81,75,89,71,65,76,88,94,110,107；乙的得分：83,86,93,99,88,103,98,114,98,79,101.畫出兩人數(shù)學(xué)成績的莖葉圖，請根據(jù)莖葉圖對兩人的成績進(jìn)展比較. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：20192094】解析用中間的數(shù)字表示兩位同

15、學(xué)每場數(shù)學(xué)考試成績的十位數(shù)字和百位數(shù)字，兩邊的數(shù)字分別表示兩人每場數(shù)學(xué)考試成績的個(gè)位數(shù)字解甲、乙兩人數(shù)學(xué)成績的莖葉圖如下圖從這個(gè)莖葉圖上可以看出，乙同學(xué)的得分情部是大致對稱的，集中在90多分；甲同學(xué)的得分情況除一個(gè)特殊得分外，也大致對稱，集中在80分左右因此乙同學(xué)發(fā)揮比較穩(wěn)定，總體得分情況比甲同學(xué)好規(guī)律方法莖葉圖的定義、制作步驟、特征及統(tǒng)計(jì)意義如下表提醒用莖葉圖處理數(shù)據(jù)有一個(gè)重要原那么，即“葉的部分只能是單個(gè)數(shù)字，不能出現(xiàn)兩位或者兩位以上的數(shù)字.,用莖葉圖表示三位數(shù)時(shí)，通常把百位和十位作為莖，個(gè)位作為葉. 跟蹤訓(xùn)練5圖2­2­4是某賽季甲、乙兩名籃球運(yùn)發(fā)動(dòng)每場比賽得分的莖葉

16、圖，那么甲、乙兩人在這幾場比賽得分的中位數(shù)之和是_圖2­2­564中位數(shù)是指將數(shù)據(jù)按大小排列，位于最中間的數(shù)據(jù)假如數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)為偶數(shù)，就取中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)作為中位數(shù)甲的中位數(shù)為28，乙的中位數(shù)為36,283664.6在一項(xiàng)農(nóng)業(yè)試驗(yàn)中，A，B兩種肥料分別被用于同類橘子樹的生長為理解這兩種肥料的效果，試驗(yàn)人員分別從被施用這兩種肥料的橘子樹中隨機(jī)抽取了12棵，以下給出了每一棵橘子樹的產(chǎn)量單位：千克：肥料A：63,54,19,20,72,92,8,10,22,11,24,5; 肥料B：57,86,33,40,59,56,73,25,44,31,64,45.用莖葉圖表示上面數(shù)據(jù)，并

17、指出哪種肥料的效果更好一些. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：20192095】解析用中間數(shù)字表示產(chǎn)量的十位數(shù)字，用兩邊數(shù)字分別表示被施用A，B兩種肥料的橘子樹產(chǎn)量的個(gè)位數(shù)字解莖葉圖如下圖從莖葉圖中可看出，肥料B的效果更好一些當(dāng) 堂 達(dá) 標(biāo)·固 雙 基1容量為100的某個(gè)樣本，數(shù)據(jù)拆分為10組，并填寫頻率分布表，假設(shè)前七組頻率之和為0.79，而剩下三組的頻率依次相差0.05，那么剩下的三組中頻率最高的一組的頻率為_012設(shè)剩下的三組中頻率最高的一組的頻率為x，那么另兩組的頻率分別為x0.05，x0.1，而由頻率總和為1，得0.79x0.05x0.1x1，解得x0.12.2有一個(gè)容量為66的樣本，數(shù)據(jù)的分組

18、及各組的頻數(shù)如下：11.5,15.5，2；15.5,19.5，4；19.5,23.5，9；23.5,27.5，18；27.5,31.5，11；31.5,35.5，12；35.5,39.5，7；39.5,43.5，3.根據(jù)樣本的頻率分布，估計(jì)大于或等于31.5的數(shù)據(jù)約占_. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：20192096】根據(jù)各組數(shù)據(jù)可知，符合條件的數(shù)據(jù)占.3在一個(gè)容量為80的樣本中，數(shù)據(jù)的最大值是140，最小值是56，組距是10，那么應(yīng)將樣本數(shù)據(jù)分為_組9當(dāng)為整數(shù)時(shí)，組數(shù)；當(dāng)不是整數(shù)時(shí)，組數(shù)1.此題全距1405684，組距為10，故應(yīng)分9組4為理解某校老師用多媒體進(jìn)展教學(xué)的情況，采用簡單隨機(jī)抽樣的方法，從該校200名授課老師中抽出20名，調(diào)查了他們上學(xué)期使用多媒體進(jìn)展教學(xué)的次數(shù)，調(diào)查結(jié)果用莖葉圖表示如圖2­2­5所示，據(jù)此可估計(jì)該校200名老師中，上學(xué)期使用多媒體進(jìn)展教學(xué)的次數(shù)在15,25內(nèi)的人數(shù)為_圖2