第2章 2.1 2.1.1　橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程

1、.2.1橢圓2.1.1橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程學(xué)習(xí)目的：1.掌握橢圓的定義，會(huì)用橢圓的定義解決實(shí)際問題重點(diǎn)2.掌握用定義法和待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程重點(diǎn)3.理解橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程，并能運(yùn)用標(biāo)準(zhǔn)方程解決相關(guān)問題難點(diǎn)自 主 預(yù) 習(xí)·探 新 知1橢圓的定義1定義：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的間隔 的和等于常數(shù)大于|F1F2|的點(diǎn)的軌跡或集合叫做橢圓2相關(guān)概念：兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的間隔 |F1F2|叫做橢圓的焦距考慮1：橢圓定義中，將“大于|F1F2|改為“等于|F1F2|或“小于|F1F2|的常數(shù)，其他條件不變，點(diǎn)的軌跡是什么？提示2a與|F1F2|的大小關(guān)系所確定的點(diǎn)

2、的軌跡如下表：條件結(jié)論2a|F1F2|動(dòng)點(diǎn)的軌跡是橢圓2a|F1F2|動(dòng)點(diǎn)的軌跡是線段F1F22a|F1F2|動(dòng)點(diǎn)不存在，因此軌跡不存在2.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)位置在x軸上在y軸上標(biāo)準(zhǔn)方程1ab01ab0圖形焦點(diǎn)坐標(biāo)±c,00，±ca，b，c的關(guān)系a2b2c2考慮2：確定橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程需要知道哪些量？提示a，b的值及焦點(diǎn)所在的位置根底自測(cè)1考慮辨析1平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的間隔 之和等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是橢圓2橢圓1的焦點(diǎn)坐標(biāo)是±3,031ab表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓提示1×2a|F1F2|.2×0，±33×ab0時(shí)表示焦點(diǎn)在y

3、軸上的橢圓2以下方程表示橢圓的是A1B2x23y22C2x23y21D0CA中方程為圓的方程，B，D中方程不是橢圓方程3以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，兩焦點(diǎn)的間隔 是2，且過點(diǎn)0,2的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：73122091】A.1B.1C.1或1D.1或1C假設(shè)橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，那么c1，b2，得a25，此時(shí)橢圓方程是1；假設(shè)焦點(diǎn)在y軸，那么a2，c1，那么b23，此時(shí)橢圓方程是1.合 作 探 究·攻 重 難求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求合適以下條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：【導(dǎo)學(xué)號(hào)：73122092】1兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別為4,0和4,0，且橢圓經(jīng)過點(diǎn)5,0；2焦點(diǎn)在y軸上，且經(jīng)過兩個(gè)點(diǎn)0,2和1,0；3經(jīng)

4、過點(diǎn)A，2和點(diǎn)B2，1思路探究求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，先確定焦點(diǎn)位置，設(shè)出橢圓方程，再定量計(jì)算解析 1由于橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為1ab02a10，a5.又c4，b2a2c225169.故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.2由于橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為1ab0由于橢圓經(jīng)過點(diǎn)0,2和1,0，故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x21.3法一：當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1ab0依題意有解得故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1ab0依題意有解得因?yàn)閍>b>0，所以無解綜上，所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.法二：設(shè)所求橢圓的方程為mx2ny21m0，n0，mn，依題意

5、有解得所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.規(guī)律方法確定橢圓方程的“定位與“定量提醒：假設(shè)橢圓的焦點(diǎn)位置不確定，需要分焦點(diǎn)在x軸上和在y軸上兩種情況討論，也可設(shè)橢圓的方程為Ax2By21A>0，B>0，AB跟蹤訓(xùn)練1求合適以下條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：1焦點(diǎn)分別為0，2，0,2，經(jīng)過點(diǎn)4,3；2經(jīng)過兩點(diǎn)2，.解1法一：因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在y軸上，所以可設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為1ab0由橢圓的定義知2a12，所以a6.又c2，所以b4.所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.法二：因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在y軸上，所以可設(shè)其標(biāo)準(zhǔn)方程為1ab0由題意得解得所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.2法一：假設(shè)橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1ab0

6、由條件得解得所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.同理可得：焦點(diǎn)在y軸上的橢圓不存在綜上，所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.法二：設(shè)橢圓的一般方程為Ax2By21A0，B0，AB將兩點(diǎn)2，代入，得解得所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.與橢圓有關(guān)的軌跡問題如圖2­1­1，圓C：x12y225及點(diǎn)A1,0，Q為圓上一點(diǎn)，AQ的垂直平分線交CQ于M，求點(diǎn)M的軌跡方程. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：73122093】圖2­1­1解由垂直平分線性質(zhì)可知|MQ|MA|，|CM|MA|CM|MQ|CQ|.|CM|MA|5.M點(diǎn)的軌跡為橢圓，其中2a5，焦點(diǎn)為C1,0，A1,0，a，c1，b2a2c21.所求軌跡

7、方程為：1.規(guī)律方法在求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程時(shí)，要對(duì)動(dòng)點(diǎn)仔細(xì)分析，當(dāng)發(fā)現(xiàn)動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)的間隔 之和為定值且大于兩定點(diǎn)之間的間隔 時(shí)，由橢圓的定義知其軌跡是橢圓，這時(shí)可根據(jù)定值及兩定點(diǎn)的坐標(biāo)分別求出a，c，即可寫出其方程，這種求軌跡方程的方法叫定義法.跟蹤訓(xùn)練2兩圓C1：x42y2169，C2：x42y29，動(dòng)圓在圓C1內(nèi)部且和圓C1相內(nèi)切，和圓C2相外切，求動(dòng)圓圓心的軌跡方程解如下圖，設(shè)動(dòng)圓圓心為Mx，y，半徑為r，由題意動(dòng)圓M內(nèi)切于圓C1，|MC1|13r.圓M外切于圓C2，|MC2|3r.|MC1|MC2|16|C1C2|8，動(dòng)圓圓心M的軌跡是以C1、C2為焦點(diǎn)的橢圓，且2a16,2c8，b2a2

8、c2641648，故所求軌跡方程為1.橢圓的定義及其應(yīng)用探究問題1如何用集合語言描繪橢圓的定義？提示PM|MF1|MF2|2a,2a|F1F2|2如何判斷橢圓的焦點(diǎn)位置？提示判斷橢圓焦點(diǎn)在哪個(gè)軸上就要判斷橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中x2項(xiàng)和y2項(xiàng)的分母哪個(gè)更大一些，即“誰大在誰上3橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，a，b，c三個(gè)量的關(guān)系是什么？提示橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中，a表示橢圓上的點(diǎn)M到兩焦點(diǎn)間間隔 的和的一半，可借助圖形幫助記憶a，b，c都是正數(shù)恰是構(gòu)成一個(gè)直角三角形的三條邊，a是斜邊，所以a>b，a>c，且a2b2c2.如下圖如圖2­1­2所示，橢圓的方程為1，假設(shè)點(diǎn)P為橢圓上的點(diǎn)，且PF1F

9、2120°，求PF1F2的面積 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：73122094】圖2­1­2思路探究由橢圓的定義和余弦定理分別建立關(guān)于|PF1|和|PF2|的方程，解方程組求得|PF1|，再用面積公式求解解由a2，b，得c1，|F1F2|2c2，在PF1F2中，由余弦定理，得|PF2|2|PF1|2|F1F2|22|PF1|F1F2|·cos 120°，即|PF2|2|PF1|242|PF1|. 由橢圓定義，得|PF1|PF2|4，即|PF2|4|PF1|. 代入解得|PF1| .所以SPF1F2|PF1|·|F1F2|·sin 120

10、6;××2×，即PF1F2的面積是.母題探究：1.變換條件把本例條件“PF1F2120°改為“F1PF2120°求PF1F2的面積解由得a2，b，c1，|F1F2|2在PF1F2中，由余弦定理，得|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos 120°即4|PF1|2|PF2|2|PF1|PF2|PF1|PF2|2|PF1|·|PF2|，由橢圓定義得|PF1|PF2|4，|PF1|·|PF2|12，所以SPF1F2|PF1|·|PF2|·sin 120°×1

11、2×3，即PF1F2的面積是3.2改變問法在例題題設(shè)條件不變的情況下，求點(diǎn)P的坐標(biāo)解設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為x0，y0由本例解答可知SPF1F2|F1F2|·|y0|，解得|y0|，即y0±，將y0±代入1得x±，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為.規(guī)律方法橢圓上一點(diǎn)P與橢圓的兩焦點(diǎn)F1、F2構(gòu)成的F1PF2稱為焦點(diǎn)三角形，解關(guān)于橢圓中的焦點(diǎn)三角形問題時(shí)要充分利用橢圓的定義、三角形中的正弦定理、余弦定理等知識(shí).對(duì)于求焦點(diǎn)三角形的面積，假設(shè)F1PF2，可利用Sabsin C把|PF1|·|PF2|看成一個(gè)整體，利用定義|PF1|PF2|2a及余弦定理求出|PF1|&

12、#183;|PF2|，這樣可以減少運(yùn)算量.當(dāng) 堂 達(dá) 標(biāo)·固 雙 基1點(diǎn)M到兩個(gè)定點(diǎn)A1,0和B1,0的間隔 之和是定值2，那么動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：73122095】A一個(gè)橢圓B線段ABC線段AB的垂直平分線D直線ABB定值2等于|AB|，故點(diǎn)M只能在線段AB上2橢圓1上一點(diǎn)P到橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)的間隔 為3，那么到另一個(gè)焦點(diǎn)的間隔 為A1 B5C2 D7D由|PF1|PF2|10可知到另一焦點(diǎn)的間隔 為7.3橢圓1的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，過F2的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，那么ABF1的周長(zhǎng)為A10 B20 C40 D50B由橢圓的定義得|AF1|AF2|2a10，|BF1|BF2|2a10，所以ABF1的周長(zhǎng)為|AF1|BF1|AB|20，應(yīng)選B.4設(shè)F1，F(xiàn)2分別為橢圓C：1a>b>0的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)，假設(shè)橢圓C上的點(diǎn)A到F1，F(xiàn)2兩點(diǎn)的間隔 之和為4，那么橢圓C的方程是_【導(dǎo)學(xué)號(hào)：73122096】1由|AF1|AF2|2a4得a2，原方程化為1，將A代入方程得b23，橢圓方