第3章 3.1 3.1.4　空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算

1、.3.1.4空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算學(xué)習(xí)目的：1.理解空間向量坐標(biāo)的定義.2.掌握空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示重點(diǎn).3.可以利用坐標(biāo)運(yùn)算來求空間向量的長度與夾角難點(diǎn)、易混點(diǎn)自 主 預(yù) 習(xí)探 新 知1空間向量的坐標(biāo)表示空間直角坐標(biāo)系及空間向量的坐標(biāo)1建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz，分別沿x軸，y軸，z軸的正方向引單位向量i，j，k，這三個互相垂直的單位向量構(gòu)成空間向量的一個基底i，j，k，這個基底叫做單位正交基底單位向量i，j，k都叫做坐標(biāo)向量2空間向量的坐標(biāo)在空間直角坐標(biāo)系中，任一向量a，根據(jù)空間向量分解定理，存在唯一實數(shù)組a1，a2，a3，使aa1ia2ja3k，a1i，a2j，a3k分別為向量a在i，

2、j，k方向上的分向量，有序?qū)崝?shù)組a1，a2，a3叫做向量a在此直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)上式可簡記作aa1，a2，a3考慮1：假設(shè)ax1e1ye2ze3，那么a的坐標(biāo)一定是x，y，z嗎？提示不一定，當(dāng)e1，e2，e3是單位正交基底時，坐標(biāo)是x，y，z，否那么不是2空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算空間向量a，b，其坐標(biāo)形式為aa1，a2，a3，bb1，b2，b3向量運(yùn)算向量表示坐標(biāo)表示加法aba1b1，a2b2，a3b3減法aba1b1，a2b2，a3b3數(shù)乘aa1，a2，a3數(shù)量積aba1b1a2b2a3b33.空間向量的平行、垂直及模、夾角1設(shè)Ax1，y1，z1，Bx2，y2，z2那么x2x1，y2y1，z2z1

3、|.2設(shè)aa1，a2，a3，bb1，b2，b3，名稱滿足條件向量表示形式坐標(biāo)表示形式ababRa1b1，a2b2，a3b3Rabab0a1b1a2b2a3b30模|a|a|夾角cosa，bcosa，b考慮2：假設(shè)向量x，y，z，那么點(diǎn)B的坐標(biāo)是x，y，z嗎？提示不一定A點(diǎn)與原點(diǎn)重合是，不與原點(diǎn)重合那么不是根底自測1考慮辨析1i，j，k是空間直角坐標(biāo)系Oxyz的坐標(biāo)向量，并且ijk，那么B點(diǎn)的坐標(biāo)為1,1，12向量a2，3,1與向量b4,6，2平行3假設(shè)向量a1，1,2與向量bx,2，1垂直，那么x4.提示1向量的坐標(biāo)與B點(diǎn)的坐標(biāo)不同232向量a3，2,1，b2,4,0，那么4a2b等于A16,

4、0,4B8，16,4C8,16,4D8,0,4D4a2b43，2,122,4,012，8,44,8,08,0,43A2，5,1，B2，2,4，C1，4,1，那么向量與的夾角為_【導(dǎo)學(xué)號：33242263】600,3,3，1,1,0，|3，|，3，cos，60.合 作 探 究攻 重 難空間向量的坐標(biāo)表示與運(yùn)算1如圖3135，在棱長為1的正方體ABCDABCD中，E、F、G分別為棱DD、DC、BC的中點(diǎn)，以，為基底，求以下向量的坐標(biāo)圖3135，；，.2空間四點(diǎn)A、B、C、D的坐標(biāo)分別是1,2,1、1,3,4、0，1,4、2，1，2；假設(shè)p，q.求p2q；3pq；pqpq；解1，.，.2由于A1,2

5、,1，B1,3,4，C0，1,4，D2，1，2，所以p2,1,3，q2,0，6p2q2,1,322,0，62,1,34,0，126,1，9；3pq32,1,32,0，66,3,92,0，64,3,15；pqpqp2q2|p|2|q|222123222026226.規(guī)律方法1用坐標(biāo)表示空間向量的步驟2空間向量進(jìn)展坐標(biāo)運(yùn)算的規(guī)律是首先進(jìn)展數(shù)乘運(yùn)算，再進(jìn)展加法或減法運(yùn)算，最后進(jìn)展數(shù)量積運(yùn)算，先算括號里，后算括號外提醒：空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算與平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算法那么根本一樣，應(yīng)注意一些計算公式的應(yīng)用跟蹤訓(xùn)練1如圖3136所示，PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M，N分別是AB，PC的中點(diǎn)，并且PAAB

6、1.試建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求向量的坐標(biāo)圖3136解因為PAABAD1，PA平面ABCD，ABAD，所以，是兩兩垂直的單位向量設(shè)e1，e2，e3，以e1，e2，e3為基底建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz.因為e2e3，所以.空間向量的平行與垂直探究問題1空間向量的平行與垂直與平面向量的平行與垂直有什么關(guān)系？提示1類比平面向量平行、垂直：空間兩個向量平行、垂直與平面兩個向量平行、垂直的表達(dá)式不一樣，但本質(zhì)是一致的2轉(zhuǎn)化：斷定空間兩直線平行或垂直只需判斷兩直線對應(yīng)的方向向量是否平行或垂直2空間中三點(diǎn)共線的充要條件是什么？提示三個點(diǎn)Ax1，y1，z1，Bx2，y2，z2，Cx3，y3，z3共線的充要條

7、件是.簡證：三個點(diǎn)Ax1，y1，z1，Bx2，y2，z2，Cx3，y3，z3共線的充要條件為，即向量與向量共線，其坐標(biāo)對應(yīng)成比例，從而有.空間三點(diǎn)A2,0,2，B1,1,2，C3,0,4，設(shè)a，b.1假設(shè)|c|3，c.求c；2假設(shè)kab與ka2b互相垂直，求k.【導(dǎo)學(xué)號：33242264】思路探究先求a，b，再根據(jù)向量平行與垂直的充要條件列方程求解解1因為2，1,2，且c，所以設(shè)c2，2，得|c|3|3，解得1.即c2，1,2或c2,1，22因為a1,1,0，b1,0,2，所以kabk1，k,2，ka2bk2，k，4又因為kabka2b，所以kabka2b0.即k1，k,2k2，k，42k2k

8、100.解得k2或k.故所求k的值為2或.母題探究：1.變條件假設(shè)將本例1中“c改為“ca且cb，求c.解a1,1,0，b1,0,2設(shè)cx，y，z由題意得解得x2，y2，z1或x2，y2，z1，即c2，2,1或c2,2，12變條件假設(shè)將本例2中改為“假設(shè)kab與ka2b互相垂直求k的值解a1,1,0，b1,0,2所以kabk1，k，2，ka2bk2，k,4kabka2b，kabka2b0，即k1，k，2k2，k,4k1k2k280，解得k2或k.故所求k的值為2或.規(guī)律方法解決空間向量垂直、平行問題的思路1假設(shè)有關(guān)向量時，通常需要設(shè)出向量的坐標(biāo)，例如，設(shè)向量ax，y，z.2在有關(guān)平行的問題中，

9、通常需要引入?yún)?shù)，例如，ab，那么引入?yún)?shù)，有ab，再轉(zhuǎn)化為方程組求解.3選擇向量的坐標(biāo)形式，可以到達(dá)簡化運(yùn)算的目的.利用坐標(biāo)運(yùn)算解決夾角、間隔 問題如圖3137所示，在棱長為1的正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是D1D，BD的中點(diǎn)，G在棱CD上，且CGCD，H為C1G的中點(diǎn)圖31371求證EFB1C；2求EF與C1G所成角的余弦值；3求FH的長. 【導(dǎo)學(xué)號：33242265】思路探究根據(jù)正方體的特殊性，可考慮建立空間直角坐標(biāo)系，寫出相關(guān)點(diǎn)及向量的坐標(biāo)，套用數(shù)量積、夾角、模長公式即可解1證明：如下圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz，易知E，F(xiàn)，C0,1,0，C10,1,

10、1，B11,1,1，G，H.，0,1,01,1,11,0，1，1010，即EFB1C.2由1易知0,1,1，|，|，01，cos，即異面直線EF與C1G所成角的余弦值為.3由1知F，H，|.規(guī)律方法通過分析幾何體的構(gòu)造特征，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，使盡可能多的點(diǎn)落在坐標(biāo)軸上，以便寫點(diǎn)的坐標(biāo)時便捷.建立坐標(biāo)系后，寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，然后再寫出相應(yīng)向量的坐標(biāo)表示，把向量坐標(biāo)化，然后再利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解夾角和間隔 問題.提醒：建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系能給解題帶來方便.跟蹤訓(xùn)練2如圖3138所示，在直三棱柱側(cè)棱垂直于底面的棱柱ABCA1B1C1中，CACB1，BCA90，棱AA12，N為A1A的中點(diǎn)圖31381求

11、BN的長；2求與夾角的余弦值解如圖，以，為正交基底建立空間直角坐標(biāo)系Cxyz.1依題意得B0,1,0，N1,0,1，|，線段BN的長為.2依題意得A11,0,2，C0,0,0，B10,1,2，1，1,2，0,1,2，1011223.又|，|，cos，即與夾角的余弦值為.當(dāng) 堂 達(dá) 標(biāo)固 雙 基1向量a3,2,5，b1，x，1，且ab2，那么x的值為A3 B4C5 D6Cab312x512，x5.2向量a1,1,0，b1,0,2，且kab與2ab互相垂直，那么k的值是A1 B C. DD由于kabk1,1,01,0,2k1，k,2，2ab21,1,01,0,23,2，2，因為兩向量互相垂直，那么有k13k2220，解得k.3ABC的頂點(diǎn)分別為A1，1,2，B5，6,2，C1,3，1，那么AC邊上的高BD等于【導(dǎo)學(xué)號：33242266】A5 B C4 D2A設(shè)，又0,4，3，那么0,4，3又4，5,0，4,45，3由0，得04445330，解得，|5.4空間三點(diǎn)A1,1