不定積分的分部積分法

1、不定積分的分部積分法第一頁，共32頁。一、基本內(nèi)容一、基本內(nèi)容問題問題 ?dxxex解決思路解決思路利用兩個函數(shù)乘積的求導(dǎo)法則利用兩個函數(shù)乘積的求導(dǎo)法則.設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) u=u(x) 和和 v=v(x)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù), ,)(vuvuuv ,)(vuuvvu ,ddxvuuvxvu .dduvuvvu 分部積分公式分部積分公式第二頁，共32頁。例例1 1 求不定積分求不定積分.d xxex解解,xu 設(shè)設(shè)xevxdd xxexd xexexxd.Cexexx )(dxex分部積分法的關(guān)鍵是正確選擇分部積分法的關(guān)鍵是正確選擇 u 和和 v . .,dduvuvvu ,dxe 第三頁，共3

2、2頁。例例2 2 求不定積分求不定積分.dcos xxx若若 xxxdcos xxxxxdsin2cos222顯然顯然 , u 和和 dv 選擇不當(dāng)選擇不當(dāng)，積分更難進(jìn)行，積分更難進(jìn)行.解解 xxxdcos )(sindxx xxxxdsinsin.cossinCxxx )2(dcos2xx第四頁，共32頁。說明：說明：口訣（反、對、冪、三、指）口訣（反、對、冪、三、指）第五頁，共32頁。例例3 3 求不定積分求不定積分.d)1(2 xexx解解 xexxd)1(2 xxeexxxd2)1(2.)(2)1(2Cexeexxxx .)32(2Cexxx )(d)1(2xex再次使用再次使用分部積

3、分法分部積分法 )(d2)1(2xxexex第六頁，共32頁。例例4 4 求不定積分求不定積分解解 xxxdarctanxxxxxd112arctan2222 xxxxd)111(21arctan222 .)arctan(21arctan22Cxxxx )2(darctan2xx.darctan xxx第七頁，共32頁。例例5 5 求不定積分求不定積分解解 xxdarcsin)(arcsindarcsinxxxx xxxxxd1arcsin2.darcsin xx.1arcsin2Cxxx 第八頁，共32頁。說明：說明：單純的反三角函數(shù)、對數(shù)函數(shù)積分，單純的反三角函數(shù)、對數(shù)函數(shù)積分，可直接運(yùn)用

4、分部積分；可直接運(yùn)用分部積分；第九頁，共32頁。例例6 6 求不定積分求不定積分.dsin xxex解解 xxexdsin )cosd(xex xxexexxdcoscos )d(sincosxexexx xxexxexxdsin)cos(sin xxexdsin)cos(sin2xxex 注意循環(huán)注意循環(huán)形式形式.C 第十頁，共32頁。說明：說明：不定積分可通過解方程求得，但要注意不定積分可通過解方程求得，但要注意結(jié)果結(jié)果+C；可連續(xù)幾次利用多次分部，但每次應(yīng)可連續(xù)幾次利用多次分部，但每次應(yīng)塞同一類函數(shù)；塞同一類函數(shù)；第十一頁，共32頁。例例 求不定積分求不定積分.dsec3 xx解解 dx

5、x3sec xxxdsecsec2 )(secdtantansecxxxx xxdsec3 )(tandsecxx xxxxxdsectantansec2 xxxxxd)sec(sectansec3 xxxxxxdsectanseclntansec3Cxxxx )tanseclntan(sec21第十二頁，共32頁。例例 求不定積分求不定積分.d)sin(ln xx解解 xx d)sin(ln )sin(lnd)sin(lnxxxx xxxxd)cos(ln)sin(ln )cos(lnd)cos(ln)sin(lnxxxxxx xxxxxd)sin(ln)cos(ln)sin(ln xx d

6、)sin(ln.)cos(ln)sin(ln2Cxxx 第十三頁，共32頁。例例 求不定積分求不定積分.d)sin(ln xx解解,lnux 令令,uex 則則,dduexu xx d)sin(ln uueudsin第十四頁，共32頁。例例7 7 求不定積分求不定積分 .d12sinxx解解,12ux 令令 xxd12sin uuudsin,212 ux則則,dduux )cos(duu uuuudcoscosCuuu sincos.12sin12cos12Cxxx 第十五頁，共32頁。說明：說明：有時應(yīng)結(jié)合換元積分，先換元后再分部；有時應(yīng)結(jié)合換元積分，先換元后再分部；第十六頁，共32頁。解解

7、 xxfxd)( )(dxfx,d)()( xxfxxf,d)(2 Cexxfx由由已已知知可可得得兩邊同時對兩邊同時對 x 求導(dǎo)求導(dǎo), 得得,2)(2xxexf xxfxd)( xxfxxfd)()(.2222Ceexxx 第十七頁，共32頁。說明：說明：被積函數(shù)中含有抽象函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，常被積函數(shù)中含有抽象函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，?？紤]用分部積分；考慮用分部積分；第十八頁，共32頁。說明：利用分部積分法可得求不定積分的遞說明：利用分部積分法可得求不定積分的遞推公式推公式解解.d)(ln xxxn例例9 9 求積分求積分 xxxInnd)(ln )2d()(ln2xxn )(lnd21)(ln2122n

8、nxxxx xxxnxxnnd)(ln2)(ln2112122)(ln21 nnInxx)1,(* nNn)(*Nn 遞遞推推公公式式為為),1,( ,2)(ln21*12 nNnInxxInnn第十九頁，共32頁。 xxxIdln1而而 )2(dln2xx )(lnd2ln222xxxx xxxxd2ln22Cxxx 2ln222.,1nIn由遞推公式都可求得由遞推公式都可求得所以對任意確定的所以對任意確定的 第二十頁，共32頁。例例1010 求不定積分求不定積分 .d)ln1(xxxex解解 xxxexd)ln1( xxexxexxdlnd )(dlndxxexxxe xxexexxexx

9、xdlnd.lnCxex 第二十一頁，共32頁。練習(xí)：練習(xí)： 求下列不定積分求下列不定積分 .d1arctan)1(2xxxx .d)1()2(2xxxex .d1)1()3(1xexxxx第二十二頁，共32頁。二、小結(jié)二、小結(jié).單純的反三角函數(shù)、對數(shù)函數(shù)積分，單純的反三角函數(shù)、對數(shù)函數(shù)積分，可直接運(yùn)用分部積分；可直接運(yùn)用分部積分；.口訣（反、對、冪、三、指）口訣（反、對、冪、三、指）;.不定積分可通過解方程求得，但要注意不定積分可通過解方程求得，但要注意結(jié)果結(jié)果+C；.有時應(yīng)結(jié)合換元積分，先換元后再分部；有時應(yīng)結(jié)合換元積分，先換元后再分部；.被積函數(shù)中含有抽象函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，常被積函數(shù)中含有抽

10、象函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，?？紤]用分部積分；考慮用分部積分；. .利用分部積分法可得求不定積分的遞利用分部積分法可得求不定積分的遞推公式。推公式。第二十三頁，共32頁。 .d1arctan)1(2xxxx解解 xxxxd1arctan2 )1d(arctan2xx)(arctand1arctan122xxxx xxxxxd111arctan1222 .)1ln(arctan122Cxxxx xxxxd11arctan122 第二十四頁，共32頁。 .d)1()2(2xxxex解解 dxxxex2)1( )11(dxxex )d(111xxxexxxe xexxexxd1Cexxexx 1Cxex 1第二

11、十五頁，共32頁。解解 .d1)1()3(1xexxxx xexexxxxxxdd)1(11原原式式 xexexxxxxxdd)11(112 xeexxxxxd)(d11 xexexexxxxxxdd111.1Cxexx 第二十六頁，共32頁。一、填空題：一、填空題：1 1、 xdxxsin_；2 2、 xdxarcsin_；3 3、計算、計算 xdxx ln2， u可可設(shè)設(shè)_ _ , , dv_；4 4、計算、計算 xdxexcos， u可可設(shè)設(shè)_ _ _ , , dv_；5 5、計算、計算 xdxx arctan2， u可可設(shè)設(shè)_ _ , , dv_； 6 6、 計計算算 dxxex， u

12、可可設(shè)設(shè)_ _ _ _ _ _ _, , dv_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . .二二、 求求下下列列不不定定積積分分：1 1、 dxxx2cos22； 2 2、 dxxx23)(ln；練練 習(xí)習(xí) 題題第二十七頁，共32頁。3、 nxdxeaxcos； 4、 dxex3；5、 dxx)cos(ln； 6、 dxxxex232arctan)1( .三三、 已已知知xxsin是是)(xf的的原原函函數(shù)數(shù)，求求 dxxxf)(. .四四、 設(shè)設(shè) CxFdxxf)()(，)(xf可可微微，且且)(xf的的反反函函數(shù)數(shù))(1xf 存存在在，則則 CxfFxxfdxxf )()()(111.

13、 .第二十八頁，共32頁。一一、1 1、Cxxx sincos； 2 2、Cxxx 21arcsin； 3 3、dxxx2,ln； 4 4、,xe xdxcos； 5 5、dxxx2,arctan； 6 6、dxexx ,. .二、二、1、Cxxxxxx sincossin21623； 2、Cxxxx 6ln6)(ln3)(ln123； 3、Cnxnnxanaeax )sincos(22 4、Cxxex )22(33323；練習(xí)題答案練習(xí)題答案第二十九頁，共32頁。 5 5、Cxxx )sin(ln)cos(ln2； 6 6、Cexxx arctan2121； 7 7、Cexexexxxx 22. .三、三、Cxxx sin2cos. .第三十頁，共32頁。例例4 4 求不定積分求不定積分.dcos)2(2 xxxx解解 xxxxdcos)2(2 xxxxxxdsin)1(2sin)2(2 )(sind)2(2xxx )cos(d)1(2sin)2(2xxxxxdcos)cos)(1(2sin)2(2 xxxxxxxCxxxxxx sin2)1(cos2sin)2(2