高中數(shù)學極值點偏移問題

1、極值點偏移問題 沈陽市第十一中學數(shù)學組：趙擁權一：極值點偏移（俗稱峰谷偏）問題的定義對于可導函數(shù)y=f(x)在區(qū)間（a,b）上只有一個極大（小）值點x0,方程fx=0(f(x)=m)的解分別為x1,x2且a<x1<x0<x2<b.若x1+x22x0，,則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間（a,b）上極值點x0偏移；（1） x1+x22>x0,則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間（a,b）上極值點x0左偏移；（2） x1+x22<x0,則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間（a,b）上極值點x0右偏移；二：極值點偏移的判定定理對于可導函數(shù)y=f(x)在區(qū)間（a,b）上只有一個極大（?。┲迭cx0,方程fx

2、=0（fx=m)的解分別為x1,x2且a<x1<x2<b.（1） 若fx1<f(2x0-x2)則x1+x22<x0即函數(shù)f(x)在區(qū)間（a,b）上極大值點x0右偏；（即峰偏右）（2） 若fx1<f(2x0-x2)則x1+x22>x0即函數(shù)f(x)在區(qū)間上（a,b）極小值點x0左偏;（即谷偏左）（3） 若fx1>f(2x0-x2)則x1+x22>x0即函數(shù)f(x)在區(qū)間上（a,b）極大值點x0左偏;（即峰偏左）（4） 若fx1>f(2x0-x2)則x1+x22<x0即函數(shù)f(x)在區(qū)間上（a,b）極小值點x0右偏;（即谷偏右） x

3、=x1+x22 x=x1+x22y=mxy=f(x)x=x0 x=x0拓展：1） 若，則的圖象關于直線對稱；特別地，若（或f(x)=f(2a-x)），則的圖象關于直線對稱2） 若函數(shù)f(x)滿足x(0,a)有下列之一成立：f(x)在(0,a)遞增，在(a,2a)遞減,且f(a-x)<（>）f(a+x)(f(x)<(>)f(2a-x)f(x)在(0,a)遞減,在(a,2a)遞增,且f(a-x)>(<)f(x+a)(f(x)>(<)f(2a-x)則函數(shù)f(x)在(0,2a)的圖象關于直線x=a偏移(偏對稱)(俗稱峰谷偏函數(shù))其中 極大值左偏（或右偏）

4、也稱峰偏左（或右）極小值偏左（或偏右）也稱谷偏左（或右）；性質：1) 的圖象關于直線對稱若x1,x2(0,2a)x1x2則 x1+x2=2a<=>fx1=f(x2),(f'x1+f'(x2)=0,f'x1+x22=0);2)已知函數(shù)是滿足條件的極大值左偏（峰偏左）若x1,x2(0,2a)x1x2則fx1=f(x2)則x1+x2>2a,及f'x1+x22<0極值點偏移解題步驟：求函數(shù)f(x)的極值點x0；構造函數(shù)F(x)=f(x+x0)-f(x0-x) (F(x)=f(x0-x)-f(x0+x), F(x)=f(x+2x0)-f(-x) ,

5、 F(x)=f(x)-f(2x0-x)確定F(x)單調性結合F(0)=0（F(-x0)=0,F(x0)=0)判斷F(x)符號從而確定f(x+x0),f(x0-x)( f(x+2x0)與f(-x); f(x)與f(2x0-x)）的大小關系;答題模式：已知函數(shù)y=f(x)滿足fx1=f(x2),x0為函數(shù)y=f(x)的極值點,求證：x1+x2<2x0求函數(shù)f(x)的極值點x0；構造函數(shù)F(x)=f(x+x0)-f(x0-x) 確定F(x)單調性判斷F(x)符號從而確定f(x+x0),f(x0-x) 的大小關系;假設F(x)在(0,+）上單調遞增則F(x)>F(0)=0，從而得到x>

6、;0時f(x+x0)>f(x0-x)1.（2016年全國I高考）已知函數(shù)有兩個零點. 設x1，x2是的兩個零點，證明：+x2<2.2. (2010年高考天津卷理科21)（本小題滿分14分）已知函數(shù)f(x)=xe-x（xR）.() 求函數(shù)f(x)的單調區(qū)間和極值；()已知函數(shù)y=g(x)的圖象與函數(shù)y=f(x)的圖象關于直線x=1對稱，證明當x>1時，f(x)>g(x) ()如果且證明證明：由題意可知g(x)=f(2-x),得g(x)=(2-x)令F(x)=f(x)-g(x),即于是當x>1時，2x-2>0,從而(x)>0,從而函數(shù)F（x）在1,+)是增

7、函數(shù)。又F(1)=F(x)>F(1)=0,即f(x)>g(x).)證明：（1）若（2）若根據(jù)（1）（2）得由（）可知，>,則=，所以>,從而>.因為，所以，又由（）可知函數(shù)f(x)在區(qū)間（-，1）內事增函數(shù)，所以>,即>2.3. 已知函數(shù)（I）討論的單調性；（II）設，證明：當時，；（III）若函數(shù)的圖像與x軸交于A，B兩點，線段AB中點的橫坐標為x0，證明：（x0）0解：（I） （i）若單調增加. （ii）若且當所以單調增加，在單調減少. （II）設函數(shù)則當.故當， 8分（III）由（I）可得，當?shù)膱D像與x軸至多有一個交點，故，從而的最大值為不妨設由

8、（II）得從而由（I）知， 4已知函數(shù)fx=xlnx-12mx2-x (mR)若f(x)有兩個極值點x1,x2且x1<x2求證:x1x2>e25. 已知函數(shù)fx =ex-ax(aR)若f(x)有兩個不同零點x1,x2且x1<x2其極值點為x°求證:x1+x2>2x1+x2<2x°x1x2<1（已知函數(shù)fx =ex-ax+a (aR) ，其圖象與軸交于A(x1,0)B(x2,0)兩點且x1<x2，求證：f'(x1x2)<0）6. 已知函數(shù)fx =ln(x+a)-ax(a>1)若f(x)有兩個不同零點x1,x2且x1

9、<x2求證：x1+x2<07. 已知函數(shù)fx =a-1x-lnx(aR)若f(x)有兩個不同零點x1,x2且x1<x2求證：2<x1+x2<3ea-1-18. 已知函數(shù)fx =xlnx f(x1)=fx2且0<x1<x2<1求證:2e<x1+x2<11<x1+x2<2e9已知函數(shù)fx =lnx-ax(aR)若f(x)有兩個不同零點x1,x2且x1<x2求證：x1x2>e210. 已知函數(shù)fx =x-eax (a>0) f(x1)=fx2=0且x1<x2求證:x1x2<ae11. 已知函數(shù)fx

10、=lnx-ax-b(a,bR)若f(x)有兩個不同零點x1,x2且x1<x2求證：x1x2<1a212. 已知函數(shù)fx =x2-a-2x-alnx(aR)若f(x)=c有兩個不同根x1,x2求證：f'(x1+x22)>013. 已知函數(shù)fx =alnx-x2(aR)令gx=fx+ax,g(x)在(0,3)單調遞增求a范圍;當a=2時,函數(shù)h(x)=f(x)-mx的圖象與軸交于A(x1,0)B(x2,0)且0<x1<x2又h'(x)是h(x)導函數(shù),>0,>0且滿足+=1證明:h'(x1+x2)<014已知函數(shù)fx=lnx-

11、k-1x (kR)若x>1時討論f(x)的單調性，并確定其極值;若對xe,e2都有f(x)<4lnx,求k范圍;若x1x2且 f(x1)=fx2證明：x1x2<e2k;15. 已知函數(shù)fx=ax2+x-lnx, (a>0)討論fx的單調性;f(x)的極值點為x°若存在x1,x2(0,+)且x1x2求證: x1+x2>2x°16. 已知函數(shù)fx=x2-1+aln1-x, (aR);討論fx的單調性; 若f(x) 存在兩個極值點x1,x2，x1<x2證明：f(x1)x2>f(x2)x1 ;17. 已知函數(shù)fx=x+alnx與g(x)=3

12、-bx在(1,1)處有相同切線；若y=2(x+n) 與y=f(x)圖象有兩個交點,求n范圍；若Fx=3x-m2+m2gx-2fx有兩個極值點x1,x2，x1<x2證明：Fx2<x2-1；18. 已知函數(shù)gx=-ax2+(2-a)x+lnx, (aR)討論fx的單調性; 若f(x)=g(x)+(a+1) x2-2x有兩個不同零點x1,x2, 證明：f'(x1+x22)<0;19. 已知函數(shù)gx=xe2-ax , (aR);討論gx的單調性;若f(x)=lng(x)-ax2 與y=m,(mR)圖象有兩個交點A、B,線段A、B中點為x°，證明：f'(x&#

13、176;)<0;20. 已知函數(shù)fx=ax32-lnx-23圖象的一條切線為x軸；求a值；令g(x)=fx+f'(x)若存在不同x1,x2滿足 gx1=g(x2),證明: x1x2<121. 已知函數(shù)F(x)與f(x)=lnx關于直線y=x對稱；若xf(x)ax-1對x(0,+)恒成立,求a最大值；設f(x)Fx=1在(1,+)的實根為x° ，mx=xfx (1<xx°)xf(x) (x> x°) 若在區(qū)間(1,+)上存在mx1=m(x2),求證：x1+x22>x°22已知函數(shù)fx=ex-12x2-ax, (aR)；若函數(shù)f(x)的圖象在x=0處的切線方程為y=2x+b,求a,b的值若函數(shù)f(x)在R上單調遞增，求實數(shù)a的取值范圍；如果函數(shù)g(x)=f(x)-(a-12)x2恰有兩個不同的極值點x1,x2,證明: x1+x22<ln2a;23已知函數(shù)fx=x2-(a-2)x-alnx (aR)；討論fx的單調性; 設函數(shù)gx=-x3-ax2+a-a24若,(0,a】使得f-f()<a成立求實數(shù)a取值范圍;若方程f(x)=c有兩個不等的實數(shù)根,求證：f'(x1+x22)>024. 已知函數(shù)fx=mx+1+nl