高中數(shù)學(xué)2.33離散型隨機(jī)變量的期望與方差教案選修選修2-3

1、2013年高中數(shù)學(xué)2.3 3離散型隨機(jī)變量的期望與方差教案新人教A版選修選修2-3課 題§ 1.2.2 離散型隨機(jī)變量的期望與方差（二）教學(xué)目標(biāo)（一）教學(xué)知識點(diǎn)1 .離散型隨機(jī)變量的方差（DE ）的概念，標(biāo)準(zhǔn)差（bE）的概念.22 .離散型隨機(jī)變量 r=aE+b（其中七為隨機(jī)變量）的萬差RaE +b尸a DE的推導(dǎo).3 .服從二項(xiàng)分布的離散型隨機(jī)變量E （即E B（n, p）的方差DE =npq.（二）能力訓(xùn)練要求1 .會根據(jù)離散型隨機(jī)變量的分布列求出方差值、標(biāo)準(zhǔn)差 （b E ）的值.2 .會求隨機(jī)變量 刀=aE+b的方差值（口aE +b尸a2DE ）, 刀的值和服從二項(xiàng)分布的隨機(jī)

2、變量 七B（n, p）的方差值、標(biāo)準(zhǔn)差 （T七的值的計算.3 .能根據(jù)隨機(jī)變量的方差值、期望值等求出某個變量值時.的概率，也就是逆向思維的運(yùn)用.4 .會運(yùn)用期望和方差的計算公式、方法解決生產(chǎn)生活中實(shí)際問題（三）德育滲透目標(biāo)1 .通過實(shí)例和對初中知識的回顧培養(yǎng)學(xué)生的直覺思維中的類比能力，培養(yǎng)學(xué)生的辯證思 維能力.2 .培養(yǎng)學(xué)生要學(xué)會觀察問題、分析問題和解決問題的能力，學(xué)會用數(shù)學(xué)眼光分析自己周邊的事物，抽象概括為數(shù)學(xué)模型，要體現(xiàn)生活與數(shù)學(xué)的關(guān)系3 .培養(yǎng)學(xué)生的堅強(qiáng)意志、勤于思考、動手動腦等非智力因素.培養(yǎng)學(xué)生的健全的人格，讓更多的學(xué)生有更好的發(fā)展.教學(xué)重點(diǎn)離散型隨機(jī)變量的方差是隨機(jī)變量的另一個重要

3、特征數(shù)（或數(shù)字特征），也是對隨機(jī)變量的一種簡明扼要的描寫.隨機(jī)變量的方差表現(xiàn)了隨機(jī)變量所取的值相對于它的期望的集中與 離散的程度.隨機(jī)變量E的方差就是另一個與E密切相關(guān)的隨機(jī)變量（E EE ）2的均值.兩個計算方差的簡單公式：（1） UaE +b尸a2DE ;（2）如果 七B（n, p）,則DE =npq（這里q=1- p）.教學(xué)難點(diǎn)離散型隨機(jī)變量的方差de的定義引入是教學(xué)的難點(diǎn)，兩個方差的計算公式2D(aE +b尸aDE ,右EB(n,p)則DE =npq的證明是另一個難點(diǎn).第一個難點(diǎn)的原因是：由于教科書沒有引入隨機(jī)變量函數(shù)的一般定義，故只有從初中代數(shù)的回顧中提出問題，給出方差 定義.教學(xué)方

4、法建構(gòu)主義觀點(diǎn)在高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的實(shí)踐法.在學(xué)生已經(jīng)掌握離散型隨機(jī)變量分布列及數(shù)學(xué)期望的認(rèn)知水平上，利用直覺類比的方法對離散型隨機(jī)變量的期望及初中代數(shù)中的一組數(shù)據(jù)的方差概念進(jìn)行同化或順應(yīng)，然后再進(jìn)行整合，得到離散型隨機(jī)變量的方差的概念教具準(zhǔn)備投影儀或?qū)嵨锿队皟x.幺口燈片§ 1.2.2(二)A例3：有A B兩種鋼筋，從中各取等量樣品檢查它們的抗拉強(qiáng)度指標(biāo)如下:110120rSI0. 2a：100115p0. 10. 21251301350, 40. 10. 2125no1450. 40. 10. 2其中Ea、E b分別表示A、B兩種鋼筋的抗拉強(qiáng)度，在使用時要求鋼筋的抗拉 強(qiáng)度不低于1

5、20.試比較A、B兩種鋼筋哪一種質(zhì)量較好？教學(xué)過程I .課題導(dǎo)入在初中代數(shù)中我們曾經(jīng)學(xué)過這樣一個問題：設(shè)在一組數(shù)據(jù)X1, X2,，Xn中，各數(shù)據(jù)與它們一 - 9.91-9的平均數(shù)X的差的平萬分別是(X1 X),( X2- X),( Xn X)，那么«=(X1 X) +(X2 nX)2+(Xn X)2叫做這組數(shù)據(jù)的方差.(板書)請問對于離散型隨機(jī)變量E所有可能取的值對應(yīng)的概率分布是否也有方差呢？答案是：“有！ ”如何定義呢？這就是我們今天來學(xué)習(xí)的課題：離散型隨機(jī)變量的期望與方差(二)方差.(板書課題)n .講授新課1 .方差概念的導(dǎo)入師如果離散型隨機(jī)變量七 所有可能取的值是 Xl,X2

6、，Xn,，且取這些值的概率分別是pi, P2,，pn,，（板書），那么，如何定義 E的方差呢？請同學(xué)們先討論，然后再 來總結(jié).生（稍過片刻后）因?yàn)镋的期望它是反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平，這與我們初中所學(xué)過的一組數(shù)據(jù) Xi, X2,，Xn的平均值的意義是相同的，由初中所學(xué)過的一組數(shù)據(jù)的方差定義直接類比有： 把1 （XiEE ）2+（X2EE ）2+（XnEE ） 2定義為隨機(jī)變量 E的n方差.師初中我們學(xué)習(xí)的一組數(shù)據(jù)的方差的概念，這一組中的個數(shù)是有限的，而這個離散型隨機(jī)變量E的取值是有限還是無限呢？其二，一組數(shù)據(jù)中每一個出現(xiàn)的頻率都是一樣的，r , 1即為一，而離散型隨機(jī)變量 E所有可能

7、取值對應(yīng)的概率是否相同呢？請同學(xué)們再從這兩點(diǎn)出n發(fā)，結(jié)合離散型隨機(jī)變量 E的期望定義，也要看看初中學(xué)習(xí)的平均數(shù)的定義，由幾點(diǎn)出發(fā)能否得到離散型隨機(jī)變量 E的方差的定義呢？（課堂上的學(xué)術(shù)研討氣氛十分濃厚，他們按照劃分的學(xué)習(xí)小組進(jìn)行討論研究，教師也參與進(jìn)去，個別指導(dǎo)或旁聽或解疑或解答學(xué)生的問題）生（片刻后）我們可以進(jìn)行這樣的類比：一組數(shù)據(jù)：Xi,X2,，Xn%T離散型隨機(jī)變量七取值：Xi,X2,，Xn,平均值 7="+"+ 'A 一 當(dāng) t 期望 EE =XiPi+X2p2+-+XnPn+- n _2 i_一 .2 . 一. 2一.2_舉比 ._ .2_ .2萬差 S=

8、 （Xi X） +（X2- X） + +（ Xn X）一軍T 萬差：（Xi EE ） Pi+（X2 EE ） P2 n+ -+（ Xn - E ） 2Pn+- -.師剛才這位同學(xué)的類比是否合理呢？這是完全正確的.（開始板書下列內(nèi)容）：把DE =（Xi EE ）2Pi+（X2EE ）/+（XnEE ）2Pn+叫做隨機(jī)變量七 的均方差，簡稱為方差.DE的算術(shù)平方根 JDE叫做隨機(jī)變量E的標(biāo)準(zhǔn)差，記作。E . “?！弊x作'sigma"1（國 際音標(biāo)）這就是隨機(jī)變量 E的方差和標(biāo)準(zhǔn)差的定義.由此可以看出，類比固然可以引導(dǎo)我們走 向成功一面，但也會把我們領(lǐng)入歧途.我們知道初中學(xué)習(xí)的方差

9、它是說明了這組數(shù)據(jù)的波動情況，類似地離散型隨機(jī)變量E的 方差DE和標(biāo)準(zhǔn)差b E的實(shí)際意義是什么呢？生這兩個數(shù)學(xué)量都是反映了隨機(jī)變量取值的穩(wěn)定與波動、集中與離散的程度 .(板書)師在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)期望時，我們證明E(a七+b尸aEE +b,你們能猜想出 D(aE +b)的式子嗎？生D( a E +b)也是滿足線性關(guān)系，即D( a E +b)= aDE +b.師這僅僅是猜想，你能證明嗎？生可以，利用定義直接推導(dǎo).(他走上講臺，在黑板上寫道 ). E(aE+b尸aEE +b. R .=ax，+b尸P( E =x，)( i =1, 2, 3,，n,).，D(aE+b尸axi+bE(aE+b) 2pi+ (a

10、x2+b) E( a E+b) 2s+ ( axn+b) E(a E +b) 1 2pn+=(axi+baEE b) 2pi+( ax2+baEE b) 2p2+(ax3baEE b) 2p3+( axn+b aE b)2pn+=(axi aE) 2Pi+(ax2 aE ) 2P2+ -+( axn- aE )2pn+ - = a2 (xi E± )2pi+(x2 EE )2p2+ - +(xnEE )2pn+=a2DE .(注：該生剛開始時，寫xiRaE+b) 2, x2E(aE+b) 2,，展開后發(fā)現(xiàn)不對， 沒有辦法推下去，這時教師現(xiàn)場指導(dǎo)，考查的隨機(jī)變量是y =aE +b,而不

11、是E ,它所對應(yīng)的可能值是axi+b,ax2+b,，axn+b,.而不是 xi,x2,，xn,，學(xué)生進(jìn)行修改，繼續(xù)推導(dǎo)下去.然后教師走到學(xué)生中間與他們共同研究，發(fā)現(xiàn)問題個別指導(dǎo)，達(dá)到共識)師原來你的猜想是 QaE +b尸aDE +b,而證明的結(jié)果是 RaE +b尸a2DE ,你是相信哪 一個呢？生(齊聲說)相信證明的結(jié)果.師類比的思想方法在科學(xué)發(fā)現(xiàn)中有著十分重要的作用，這一點(diǎn)是不可撼動的.但我們要知道事物都是一分為二的，類比固然可以引導(dǎo)我們走向成功，但有的時候也會捉弄我們， 把我們領(lǐng)向歧途，本題就是一個事實(shí).所以，我們既要學(xué)習(xí)類比與猜想，又要學(xué)會嚴(yán)密的證明， 這樣我們思維品質(zhì)更加優(yōu)異，更具有辯

12、證性.如果離散型隨機(jī)變量 七滿足二項(xiàng)分布，即 EB(n, p),那么DE又等于什么？同學(xué)們能 否仿照EE的證明方法給出證明？(學(xué)生躍躍欲試，拿起筆在草稿上飛速書寫或相互討論)生我愿意到黑板上推導(dǎo)試試看.因?yàn)镋 B(n, p),，EE =np, DE =E( E EE )2=E E 22E EE +(EE )2 =E 2EE EE +(EE )2=EE 2(EE )2.而 EE 2=02 C0 p0qn+i2 .i i n-i -2 -22n-2 -2 _ 3 3 n- 32 _ n n 0 心Cn pq +2 Cn p q +3 - Cnpq + Tn Cn pq .(*)222_ k2k=（

13、k - k）+k, .-.k Cn =（k - k） C： +k- C： =k（k- 1） C： +n C= =n（k- 1）工如工力不-1©"；，上、r2- l ，/、00 0,1: 一 1l ,4、0 01,2: 一 2. .（*）為 EE =0+ ：: - （1 -1） C：+：C：pq + ：（：T） C：/+：C：1 pq +：（：1） C：/+：C2p3q： 3+ - + ：（：1） C：z2+：C：j pkq： k+ - + ：（：-1） C：2+c：-| ：0 / 八 2- 00 n2, - 11 n3, .八 n-2 ： -2 0-, , - 00 ：-1

14、：C： p . q=：（：T）P C：/Pq +Cn/Pq +Cn/P q+np Cnpq1 1 n 222 n 3： 1 n 1 0.,.2,、：一 2/、：一 1,)、2+ CnJLpq +Cn,pq + + Cn/P q 1 =n(n1)p(p+q)+np (p+q)=n(n-1)p+npDE =EE 2 (Ee ) 2=n( n- 1) p2+np( np)2=np np2=np(1 p)= npq(q=1 p).即 DE =npq.師這位同學(xué)已經(jīng)證明的太妙了！請同學(xué)詳細(xì)讀讀他的書寫過程.你的解法和他的是否相同，如果你沒有證出來，你的問題癥結(jié)在何處，正確找出差異，才能更好地進(jìn)步生我看太

15、繁，沒有敢往下寫，也不知道如何化簡(*)式，我沒有他的那種毅力.kk2k生對于kCn =nCn我知道運(yùn)用，但對于 k Cn,我就不知道該如何化簡了 .他在黑板寫的是拆項(xiàng)(即添項(xiàng)去項(xiàng))，構(gòu)造出kCn =:C：；,然后再來運(yùn)用(k1) . CnlXnDCn； 這是證明本題的核心所在.他的代數(shù)推理能力太棒了，我要向他學(xué)習(xí).師這兩位同學(xué)都說出真心話，他們對黑板上的同學(xué)的證明給予了充分的肯定.從這里也看出了我們在平時的學(xué)習(xí)中要有恒心，要有信心，要有堅韌不拔的毅力和堅強(qiáng)的意志，見到困難不能低頭，只有這樣才能把自己的工作和學(xué)習(xí)做的更加出色.(學(xué)生們一起鼓掌)(這種寬松和諧氣氛的營造不是老師一個人去說教的，而

16、是靠師生共同去創(chuàng)造的，教師的寬厚待人、謙虛求實(shí)、嚴(yán)而有愛、學(xué)識廣 博，往往是喚醒沉睡的課堂的關(guān)鍵，教師的精湛的 教學(xué)藝術(shù)又是活躍課堂研討氣氛的調(diào)和劑，教師的作用是組織者、策劃者，而學(xué)生才是真正 的主人)2 .課本例題例1(原課本例5)已知離散型隨機(jī)變量0和E 2的概率分布-10 -（教師簡要地把表寫在黑板上，請同學(xué)來編題，設(shè)計問題）師按黑板上的表格中的有關(guān)數(shù)據(jù)，哪位同學(xué)提出求什么問題?生可以求隨機(jī)變量1、七2的方差與標(biāo)準(zhǔn)差.師對，那我們就一起來求解吧!師我們先計算出1、E2的期望，再利用方差的定義求解解:EE i=1 X 1+2X 1+3X 1+4X 1+5X 1+6X 1+7X 1=1 X

17、(1+2+3+4+5+6+7)=4.777777774) X - +(4 4) X - +(5 4) X - +(6 777DE i=(1 4) 2X 1 +(2 4)2x 1 +(3774)2X 1+(74) 2X l=(3 2+22+12+02+12+22+3j X 1=2X14X 1=4. 7777E E 2=3.7 X1 +3.8 X1 +3.9 X1 +4X1+4.1 X7777-+4.2 X 1+4.3 X 1X (3.7+3.8+3.9777 7+4+4.1+4.2+4.3)=17 (3.7 4.3) _ 8x = _ =4.722DE 2=(3.7 4)'X 1+(3.

18、8 4)X1+(3.9 4)葭 1+(4 4)X +(4.1-4)2x1+(4.274)2X1+(4.3721222 2222111414) X -=(0.3 +0.2 +0.1 +0 +0.1 +0.2 +0.3 ) X =X2X14X =0 0477 1007 100 251=0.2- 255師此題中EE產(chǎn)EE 2,但DE產(chǎn)DE 2, W 1和W 2都是以相等的概率取各個不同的數(shù)值,Ei取較為分散的數(shù)值1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, E 2取較為集中的數(shù)值 3.7, 3.8, 3.9, 4, 4.1 ,4.2, 4.3. EE產(chǎn)EE 2=4, DE i=4, DE 2=0.04.

19、方差比較清楚地指出了E 2比E i取值更集中，由b E i=2, b E 2=0.2可以看出這兩個隨機(jī)變量取值與其期望值的偏差，這個偏差甚至可以讓學(xué)生從隨機(jī)變量的分布列通過猜想得到.例2(原課本R4例6)甲、乙兩名射手在同一條件下進(jìn)行射擊，分布列如下表：射手甲用擊中環(huán)數(shù)的期望與方差分析比較兩名射手的射擊水平(教師先在黑板上列出兩張表格，請學(xué)生命題，但又不同于上題)師請同學(xué)們根據(jù)表中提供的數(shù)據(jù)編擬一道試題生甲、乙兩名射手在同一條件下進(jìn)行射擊，各有關(guān)數(shù)據(jù)如表所示，求甲、乙兩名射手的擊中環(huán)數(shù)的期望、方差和標(biāo)準(zhǔn)差.師可以！還有哪位同學(xué)提出新的問題.生甲、乙兩名射手在同一條件下進(jìn)行射擊，根據(jù)所給的數(shù)據(jù)，

20、問哪個水平高？師這個問法比較好，也是目前生產(chǎn)、生活中常見的問題，從實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)問題，這個過程就需要建構(gòu).要想更好 地回答這個問題，必須要計算期望與方差，利用它們來分 析.生EE i=8X 0.2+9X0.6+10X0.2=9, DE 1=(8 9)2X0.2+(9 9)2X0.6+(10 9)2X0.2=0.2+0+0.2=0.4EE 2=8X 0.4+9X0.2+10X0.4=9,DE 2=(8 9)2X0.4+(9 9)2X0.2+(109)2X0.4=0.4+0+0.4=0.8.從上可知，EE產(chǎn)EE 2, DE i<DE 2.所以，在射擊之前，可以預(yù)測甲、乙兩名射手所得環(huán)數(shù)的

21、平均值很接近，均在9環(huán)左右，但射手甲所得環(huán)數(shù)比較集中，得 9環(huán)較多，而射手乙所得環(huán)數(shù)比較分散，得 8環(huán)和10環(huán)的次數(shù)要多些.師E 1和E 2所可能取的值是一致的，只是 RE =8) , R E =9) , P( E =10)的分布情況 不一樣.EE尸EE 2,這時通過 DE 1和DE 2來比較 。與E 2的集中與離散程度，即兩名射手射 擊成績的穩(wěn)定狀況.在許多問題中常常在 EE i=EE 2或EE 1與EE 2很接近時用DE 1和 DE 2來比較兩個隨機(jī)變量0和E 2,并決定取舍.下面再看一題(打出幻燈片§ 1.1.2 A)請一位同學(xué)讀題，然后談?wù)勀愕慕忸}策略是什么？ 生(讀完題后說

22、)要比較它們的質(zhì)量，首先要看他們的平均抗拉強(qiáng)度是否達(dá)標(biāo)，即它 們的數(shù)學(xué)期望是否低于120,再比較它們的方差.生解：EE a=110X 0.1 + 120X0.2+125X0.4+130X0.1 + 135X0.2=125.E 衛(wèi) b=100X 0.1 + 115X 0.2+125 X 0.4+130 X 0.1 + 145 X 0.2=125.兩種鋼筋的平均抗拉強(qiáng)度都是125.此時我們再看它們與平均強(qiáng)度的偏離程度，即它們的方差大小：DE a=0.1 X(110125)2+0.2 X(120125)2+0.4 X(125125)2+0.1 X(130125)2+0.2 X (135 125) 2=50.DE b=0.1 X