MATLAB數(shù)學(xué)手冊教程_第3章__符號運(yùn)算

1、第3章 符號運(yùn)算第3章 符號運(yùn)算3.1 算術(shù)符號操作命令 +、-、*、.*、.、/、./、.、.功能 符號矩陣的算術(shù)操作用法如下：A+B、A-B 符號陣列的加法與減法。若A與B為同型陣列時(shí)，A+B、A-B分別對對應(yīng)分量進(jìn)行加減；若A與B中至少有一個(gè)為標(biāo)量，則把標(biāo)量擴(kuò)大為與另外一個(gè)同型的陣列，再按對應(yīng)的分量進(jìn)行加減。A*B 符號矩陣乘法。A*B為線性代數(shù)中定義的矩陣乘法。按乘法定義要求必須有矩陣A的列數(shù)等于矩陣B的行數(shù)。即：若An*k*Bk*m=(aij)n*k.*(bij)k*m=Cn*m=(cij)n*m，則，i=1,2,n；j=1,2,m?；蛘咧辽儆幸粋€(gè)為標(biāo)量時(shí)，方可進(jìn)行乘法操作，否則將返

2、回一出錯(cuò)信息。A.*B 符號數(shù)組的乘法。A.*B為按參量A與B對應(yīng)的分量進(jìn)行相乘。A與B必須為同型陣列，或至少有一個(gè)為標(biāo)量。即：An*m.*Bn*m=(aij)n*m.*(bij)n*m=Cn*m=(cij)n*m，則cij= aij* bij，i=1,2,n；j=1,2,m。AB 矩陣的左除法。X=AB為符號線性方程組A*X=B的解。我們指出的是，AB近似地等于inv(A)*B。若X不存在或者不唯一，則產(chǎn)生一警告信息。矩陣A可以是矩形矩陣（即非正方形矩陣），但此時(shí)要求方程組必須是相容的。A.B 數(shù)組的左除法。A.B為按對應(yīng)的分量進(jìn)行相除。若A與B為同型陣列時(shí)，An*m.Bn*m=(aij)n

3、*m.(bij)n*m=Cn*m=(cij)n*m，則cij= aij bij，i=1,2,n；j=1,2,m。若若A與B中至少有一個(gè)為標(biāo)量，則把標(biāo)量擴(kuò)大為與另外一個(gè)同型的陣列，再按對應(yīng)的分量進(jìn)行操作。A/B 矩陣的右除法。X=B/A為符號線性方程組X*A=B的解。我們指出的是，B/A粗略地等于B*inv(A)。若X不存在或者不唯一，則產(chǎn)生一警告信息。矩陣A可以是矩形矩陣（即非正方形矩陣），但此時(shí)要求方程組必須是相容的。A./B 數(shù)組的右除法。A./B為按對應(yīng)的分量進(jìn)行相除。若A與B為同型陣列時(shí)，An*m./Bn*m=(aij)n*m./(bij)n*m=Cn*m=(cij)n*m，則cij=

4、 aij/bij，i=1,2,n；j=1,2,m。若A與B中至少有一個(gè)為標(biāo)量，則把標(biāo)量擴(kuò)大為與另外一個(gè)同型的陣列，再按對應(yīng)的分量進(jìn)行操作。AB 矩陣的方冪。計(jì)算矩陣A的整數(shù)B次方冪。若A為標(biāo)量而B為方陣，AB用方陣B的特征值與特征向量計(jì)算數(shù)值。若A與B同時(shí)為矩陣，則返回一錯(cuò)誤信息。A.B 數(shù)組的方冪。A.B為按A與B對應(yīng)的分量進(jìn)行方冪計(jì)算。若A與B為同型陣列時(shí)，An*m.Bn*m=(aij)n*m.(bij)n*m=Cn*m=(cij)n*m，則cij= aijbij，i=1,2,n；j=1,2,m。若A與B中至少有一個(gè)為標(biāo)量，則把標(biāo)量擴(kuò)大為與另外一個(gè)同型的陣列，再按對應(yīng)的分量進(jìn)行操作。A&#

5、39; 矩陣的Hermition轉(zhuǎn)置。若A為復(fù)數(shù)矩陣，則A'為復(fù)數(shù)矩陣的共軛轉(zhuǎn)置。即，若A=(aij)=(xij+i*yij)，則。A.' 數(shù)組轉(zhuǎn)置。A.'為真正的矩陣轉(zhuǎn)置，其沒有進(jìn)行共軛轉(zhuǎn)置。例3-1>>syms a b c d e f g h;>>A = a b; c d;>>B = e f; g h;>>C1 = A.*B>>C2 = A.B>>C3 = A*B/A>>C4 = A.*A-A2>>syms a11 a12 a21 a22 b1 b2;>>A

6、= a11 a12; a21 a22;>>B = b1 b2;>>X = B/A; % 求解符號線性方程組X*A=B的解>>x1 = X(1)>>x2 = X(2)計(jì)算結(jié)果為：C1 = a*e, b*f c*g, d*hC2 = ae, bf cg, dhC3 = -(a*c*f+c*b*h-a*e*d-b*d*g)/(a*d-b*c), (a*b*h-b2*g+a2*f-b*a*e)/(a*d-b*c) -(-c*e*d+c*d*h+c2*f-d2*g)/(a*d-b*c), (a*d*h+a*c*f-b*c*e-b*d*g)/(a*d-b*c

7、)C4 = -b*c, b2-a*b-b*d c2-a*c-d*c, -b*c x1 = (-a22*b1+b2*a21)/(a12*a21-a11*a22) x2 = -(-a12*b1+a11*b2)/(a12*a21-a11*a22)3.2 基本運(yùn)算命令1 合并同類項(xiàng)函數(shù) collect格式 R = collect(S) %對于多項(xiàng)式S中的每一函數(shù)，collect(S)按缺省變量x的次數(shù)合并系數(shù)。R = collect(S,v) %對指定的變量v計(jì)算，操作同上。例3-2>>syms x y;>>R1 = collect(exp(x)+x)*(x+2)>>

8、;R2 = collect(x+y)*(x2+y2+1), y)>>R3 = collect(x+1)*(y+1),x+y)計(jì)算結(jié)果為：R1 = x2+(exp(x)+2)*x+2*exp(x)R2 = y3+x*y2+(x2+1)*y+x*(x2+1)R3 = (y+1)*x+y+1, x+y命令2 列空間的基函數(shù) colspace格式 B = colspace(A) %返回矩陣B，其列向量形成由矩陣A的列向量形成的空間的坐標(biāo)基，其中A可以是符號或數(shù)值矩陣。而size(colspace(A),2)等于rank(A)。即由A生成的空間維數(shù)等于A的秩。例3-3>>syms

9、 a b c>>A = sym(1,a;2,b;3,c)>>B = colspace(A)計(jì)算結(jié)果為： A = 1, a 2, b 3, c B = 1, 0 0, 1 -(3*b-2*c)/(-b+2*a), (-c+3*a)/(-b+2*a)命令3 復(fù)合函數(shù)計(jì)算函數(shù) compose格式 compose(f,g) %返回復(fù)合函數(shù)fg(y)，其中f=f(x)，g=g(y)。其中符號x為函數(shù)f中由命令findsym(f) 確定的符號變量，符號y為函數(shù)g中由命令findsym(g) 確定的符號變量。compose(f,g,z) %返回復(fù)合函數(shù)fg(z)，其中f=f(x)，g

10、=g(y)，符號x、y為函數(shù)f、g中由命令findsym確定的符號變量。compose(f,g,x,z) %返回復(fù)合函數(shù)fg(z)，而令變量x為函數(shù)f中的自變量f=f(x)。令x=g(z)，再將x=g(z)代入函數(shù)f中。compose(f,g,x,y,z) %返回復(fù)合函數(shù)fg(z)。而令變量x為函數(shù)f中的自變量f=f(x)，而令變量y為函數(shù)g中的自變量g=g(y)。令x=g(y)，再將x=g(y)代入函數(shù)f=f(x)中，得fg(y)，最后用指定的變量z代替變量y，得fg(z)。例3-4>>syms x y z t u v;>>f = 1/(1 + x2*y); h =

11、xt; g = sin(y); p = sqrt(-y/u);>>C1 = compose(f,g) % 令x=g=sin(y)，再替換f中的變量x=findsym(f)。>>C2 = compose(f,g,t) % 令x=g=sin(t)，再替換f中的變量x=findsym(f)。>>C3 = compose(h,g,x,z) % 令x=g=sin(z)，再替換h中的變量x。>>C4 = compose(h,g,t,z) % 令t=g=sin(z)，再替換h中的變量t。>>C5 = compose(h,p,x,y,z) % 令x=

12、p(y)=sqrt(-y/u)，替換h中的變量x，再將y換成z。>>C6 = compose(h,p,t,u,z) % 令t=p(u)=sqrt(-y/u)，替換h中的變量t，再將u換成z。計(jì)算結(jié)果為： C1 = 1/(1+sin(y)2*y) C2 = 1/(1+sin(t)2*y) C3 = sin(z)t C4 = xsin(z) C5 = (-z/u)(1/2)t C6 = x(-y/z)(1/2)命令4 符號復(fù)數(shù)的共軛函數(shù) conj格式 conj(X) %返回符號復(fù)數(shù)X的共軛復(fù)數(shù)例3-5 X=real(X) + i*imag(X)，則conj(X)=real(X) - i

13、*imag(X)命令5 符號復(fù)數(shù)的實(shí)數(shù)部分函數(shù) real格式 real(Z) %返回符號復(fù)數(shù)z的實(shí)數(shù)部分命令6 符號復(fù)數(shù)的虛數(shù)部分函數(shù) imag格式 imag(Z) %返回符號復(fù)數(shù)z的虛數(shù)部分命令7 余弦函數(shù)的整函數(shù)格式 Y = cosint(X) %計(jì)算余弦函數(shù)在點(diǎn)X處的整函數(shù)值。其中X可以是數(shù)值矩陣，或符號矩陣。余弦函數(shù)的整函數(shù)定義為：，其中為Euler常數(shù)，=0.57721566490153286060651209 i=1,2,size(X)。Euler常數(shù)可以通過命令vpa('eulergamma')獲得。例3-6>>cosint(7.2) >>

14、cosint(0:0.1:1)>>syms x;>>f = cosint(x);>>diff(x)計(jì)算結(jié)果為：ans = 0.0960ans = Columns 1 through 7 Inf -1.7279 -1.0422 -0.6492 -0.3788 -0.1778 -0.0223 Columns 8 through 11 0.1005 0.1983 0.2761 0.3374ans =1命令8 設(shè)置變量的精度函數(shù) digits格式 digits(d) %設(shè)置當(dāng)前的可變算術(shù)精度的位數(shù)為整數(shù)d位 d = digits %返回當(dāng)前的可變算術(shù)精度位數(shù)給d d

15、igits %顯示當(dāng)前可變算術(shù)精度的位數(shù)說明 設(shè)置有意義的十進(jìn)制數(shù)值的、在Maple軟件中用于做可變算術(shù)精度（命令為：vpa）計(jì)算的數(shù)字位數(shù)。其缺省值為32位數(shù)字。例3-7>>z = 1.0e-16 % z為一很小的數(shù)>>x = 1.0e+2 % x為較大的數(shù)>>digits(14) >>y1 = vpa(x*z+1) % 大數(shù)1“吃掉”小數(shù)x*y>>digits(15)>>y2 = vpa(x*z+1) % 防止“去掉”小數(shù)x*y計(jì)算結(jié)果為：z = 1.0000e-016x = 100y1 = 1.00000000000

16、00y2 = 1.00000000000001命令9 將符號轉(zhuǎn)換為MATLAB的數(shù)值形式函數(shù) double格式 R = double(S) %將符號對象S轉(zhuǎn)換為數(shù)值對象R。若S為符號常數(shù)或表達(dá)式常數(shù)，double返回S的雙精度浮點(diǎn)數(shù)值表示形式；若S為每一元素是符號常數(shù)或表達(dá)式常數(shù)的符號矩陣，double返回S每一元素的雙精度浮點(diǎn)數(shù)值表示的數(shù)值矩陣R。例3-8>>gold_ratio = double(sym('(sqrt(5)-1)/2') % 計(jì)算黃金分割率。>>T = sym(hilb(4)>>R = double(T)計(jì)算結(jié)果為：gol

17、d_ratio = 0.6180T = 1, 1/2, 1/3, 1/4 1/2, 1/3, 1/4, 1/5 1/3, 1/4, 1/5, 1/6 1/4, 1/5, 1/6, 1/7R = 1.0000 0.5000 0.3333 0.2500 0.5000 0.3333 0.2500 0.2000 0.3333 0.2500 0.2000 0.1667 0.2500 0.2000 0.1667 0.1429命令10 符號表達(dá)式的展開函數(shù) expand格式 R = expand(S) %對符號表達(dá)式S中每個(gè)因式的乘積進(jìn)行展開計(jì)算。該命令通常用于計(jì)算多項(xiàng)式函數(shù)、三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)等

18、表達(dá)式的展開式。例3-9>>syms x y a b c t>>E1 = expand(x-2)*(x-4)*(y-t)>>E2 = expand(cos(x+y)>>E3 = expand(exp(a+b)3) >>E4 = expand(log(a*b/sqrt(c) >>E5 = expand(sin(2*t), cos(2*t)計(jì)算結(jié)果為：E1 = x2*y-x2*t-6*x*y+6*x*t+8*y-8*tE2 = cos(x)*cos(y)-sin(x)*sin(y)E3 = exp(a3)*exp(a2*b)3

19、*exp(a*b2)3*exp(b3)E4 = log(a*b/c(1/2)E5 = 2*sin(t)*cos(t), 2*cos(t)2-1命令11 符號因式分解函數(shù) factor格式 factor(X) %參量x可以是正整數(shù)、符號表達(dá)式陣列或符號整數(shù)陣列。若X為一正整數(shù)，則factor(X)返回X的質(zhì)數(shù)分解式。若x為多項(xiàng)式或整數(shù)矩陣，則factor(X)分解矩陣的每一元素。若整數(shù)陣列中有一元素位數(shù)超過16位，用戶必須用命令sym生成該元素。例3-10>>syms a b x y>>F1 = factor(x4-y4) >>F2 = factor(a2-b

20、2, x3+y3) >>F3 = factor(sym('12345678901234567890')計(jì)算結(jié)果為：F1 = (x-y)*(x+y)*(x2+y2)F2 = (a-b)*(a+b), (x+y)*(x2-x*y+y2)F3 = (2)*(3)2*(5)*(101)*(3803)*(3607)*(27961)*(3541)命令12 符號表達(dá)式的分子與分母函數(shù) numden格式 N,D = numden(A) 說明 將符號或數(shù)值矩陣A中的每一元素轉(zhuǎn)換成整系數(shù)多項(xiàng)式的有理式形式，其中分子與分母是相對互素的。輸出的參量N為分子的符號矩陣，輸出的參量D為分母的符

21、號矩陣。例3-11>>syms x y a b c d;>>n1,d1 = numden(sym(sin(4/5) >>n2,d2 = numden(x/y + y/x)>>A = a, 1/b;1/c d;>>n3,d3 = numden(A)計(jì)算結(jié)果為：n1 = 6461369247334093d1 = 9007199254740992n2 = x2+y2d2 = y*xn3 = a, 1 1, dd3 = 1, b c, 1命令13 搜索符號表達(dá)式的最簡形式函數(shù) simple格式 r = simple(S) %該命令試圖找出符號

22、表達(dá)式S的代數(shù)上的簡單形式，顯示任意的能使表達(dá)式S長度變短的表達(dá)式，且返回其中最短的一個(gè)。若S為一矩陣，則結(jié)果為整個(gè)矩陣的最短形式，而非是每一個(gè)元素的最簡形式。若沒有輸出參量r，則該命令將顯示所有可能使用的算法與表達(dá)式，同時(shí)返回最短的一個(gè)。r,how = simple(S) %沒有顯示中間的化簡結(jié)果，但返回能找到的最短的一個(gè)。輸出參量r為一符號，how為一字符串，用于表示算法。例3-12>>syms x>>R1 = simple(cos(x)4+sin(x)4)>>R2 = simple(2*cos(x)2-sin(x)2)>>R3 = simp

23、le(cos(x)2-sin(x)2)>>R4 = simple(cos(x)+(-sin(x)2)(1/2)>>R5 = simple(cos(x)+i*sin(x)>>R6 = simple( (x+1)*x*(x-1)>>R7 = simple(x3+3*x2+3*x+1)>> R8,how = simple(cos(3*acos(x)計(jì)算的結(jié)果為：R1 = 1/4*cos(4*x)+3/4R2 = 3*cos(x)2-1R3 = cos(2*x)R4 = cos(x)+i*sin(x)R5 = exp(i*x)R6 = x 3

24、-xR7 = (x+1)3R8 = 4*x3-3*xhow = expand命令14 符號表達(dá)式的化簡函數(shù) simplify格式 R = simplify(S) 說明 使用Maple軟件中的化簡規(guī)則，將化簡符號矩陣S中每一元素。例3-13>>syms x a b c>>R1 = simplify(sin(x)4 + cos(x)4) >>R2 = simplify(exp(c*log(sqrt(a+b)>>S = (x2+5*x+6)/(x+2),sqrt(16);>>R3 = simplify(S)計(jì)算結(jié)果為：R1 = 2*cos(

25、x)4+1-2*cos(x)2R2 = (a+b)(1/2*c)R3 = x+3, 4 命令15 符號矩陣的維數(shù)函數(shù) size格式 d = size(A) %若A為m*n階的符號矩陣，則輸出結(jié)果d=m，n。 m,n = size(A) %分別返回矩陣A的行數(shù)于m，列數(shù)于n。 d= size(A, n) %返回由標(biāo)量n指定的A的方向的維數(shù)：n=1為行方向，n=2為列方向。例3-14>>syms a b c d>>A = a b c ; a b d; d c b; c b a;>>d = size(A)>>r = size(A, 2)計(jì)算結(jié)果為：d

26、= 4 3r = 3命令16 代數(shù)方程的符號解析解函數(shù) solve格式 g = solve(eq) %輸入?yún)⒘縠q可以是符號表達(dá)式或字符串。若eq是一符號表達(dá)式x2 -2*x-1或一沒有等號的字符串x2-2*x-1，則solve(eq)對方程eq中的缺省變量(由命令findsym(eq)確定的變量)求解方程eq=0。若輸出參量g為單一變量，則對于有多重解的非線性方程，g為一行向量。g = solve(eq,var) %對符號表達(dá)式或沒有等號的字符串eq中指定的變量var求解方程eq(var)=0。g = solve(eq1,eq2,eqn) %輸入?yún)⒘縠q1,eq2,eqn可以是符號表達(dá)式或字

27、符串。該命令對方程組eq1,eq2,eqn中由命令findsym確定的n個(gè)變量如x1,x2,xn求解。若g為一單個(gè)變量，則g為一包含n個(gè)解的結(jié)構(gòu)；若g為有n個(gè)變量的向量，則分別返回結(jié)果給相應(yīng)的變量。g = solve(eq1,eq2,eqn,var1,var2,varn) %對方程組eq1,eq2,eqn中指定的n個(gè)變量如var1,var2,varn求解。注意：對于單個(gè)的方程或方程組，若不存在符號解，則返回方程（組）的數(shù)值解。例3-15>>solve('a*x2 + b*x + c') >>solve('a*x2 + b*x + c',&

28、#39;b') >>solve('x + y = 1','x - 11*y = 5') >>A = solve('a*u2 + v2', 'u - v = 1', 'a2 - 5*a +6')計(jì)算結(jié)果為：ans = 1/2/a*(-b+(b2-4*a*c)(1/2) 1/2/a*(-b-(b2-4*a*c)(1/2)ans =-(a*x2+c)/xans = x: 1x1 sym y: 1x1 symA = a: 4x1 sym u: 4x1 sym v: 4x1 sym命令17 以

29、共同的子表達(dá)式形式重寫一符號表達(dá)式函數(shù) subexpr格式 Y,SIGMA = subexpr(X,SIGMA)Y,SIGMA = subexpr(X,'SIGMA') 說明 找出符號表達(dá)式 X中相同的子表達(dá)式，再結(jié)合命令pretty(X)將X中相同的、比較復(fù)雜的子字符串用符號%1,%2,代替。而用命令pretty(Y)將X中相同的、比較復(fù)雜的子字符串用符號SIGMA代替。例3-16>>t = solve('a*x3+b*x2+c*x+d = 0'); >> r,s = subexpr(t,'s');>>pre

30、tty(t)>>pretty(r)計(jì)算結(jié)果為：（略）命令18 特征多項(xiàng)式函數(shù) poly格式 p = poly(A)或p = poly(A, v) 說明 若A為一數(shù)值陣列，則返回矩陣A的特征多項(xiàng)式的系數(shù)，且有：命令poly(sym(A)近似等于poly2sym(poly(A)。其近似程度取決于舍入誤差的大小。若A為一符號矩陣，則返回矩陣A的變量為x的特征多項(xiàng)式。若帶上參量v，則返回變量為v的特征多項(xiàng)式。例3-17>>A = hilb(4); >>p = poly(A)>>q = poly(sym(A)>>s = poly(sym(A),

31、z)計(jì)算結(jié)果為：p = 1.0000 -1.6762 0.2652 -0.0017 0.0000q = x4-176/105*x3+3341/12600*x2-41/23625*x+1/6048000s = -176/105*z3+3341/12600*z2-41/23625*z+1/6048000+z4命令19 將多項(xiàng)式系數(shù)向量轉(zhuǎn)化為帶符號變量的多項(xiàng)式函數(shù) poly2sym格式 r = poly2sym(c)和r = poly2sym(c, v) 說明 將系數(shù)在數(shù)值向量c中的多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化成相應(yīng)的帶符號變量的多項(xiàng)式（按次數(shù)的降冪排列）。缺省的符號變量為x；若帶上參量v，則符號變量用v顯示。pol

32、y2sym使用命令sym的缺省轉(zhuǎn)換模式（有理形式）將數(shù)值型系數(shù)轉(zhuǎn)換為符號常數(shù)。該模式將數(shù)值轉(zhuǎn)換成接近的整數(shù)比值的表達(dá)式，否則用2的冪指數(shù)表示。若x有一數(shù)值值，且命令sym能將c的元素精確表示，則eval(poly2sym(c)的結(jié)果與polyval(c,x)相同。例3-18>>r1 = poly2sym(1 2 3 4) >>r2 = poly2sym(.694228, sqrt(2), sin(pi/3) >>r3 = poly2sym(1 0 1 -1 2, y)計(jì)算結(jié)果為： r1 = x3+2*x2+3*x+4 r2 = 625304992422032

33、9/9007199254740992*x2+x*2(1/2)+1/2*3(1/2) r3 = y4+y2-y+2命令20 將復(fù)雜的符號表達(dá)式顯示成我們習(xí)慣的數(shù)學(xué)書寫形式函數(shù) pretty格式 pretty(S) %用缺省的線型寬度79顯示符號矩陣s中每一元素 pretty(S,n) %用指定的線型寬度n顯示例3-19>>A = sym(pascal(3);>>B = eig(A)>>pretty(B,50) % 多看幾次結(jié)果，會(huì)發(fā)現(xiàn)該命令顯示的特點(diǎn)>>syms x>>y=log(x)/sqrt(x);>>dy = diff

34、(y)>>pretty(dy) 計(jì)算結(jié)果為：B = 1 4+15(1/2) 4 -15(1/2) 1 1/24 + 15 1/24 - 15 dy = 1/x(3/2)-1/2*log(x)/x(3/2) 1 log(x)- - 1/2 - 3/2 3/2x x命令21 從一符號表達(dá)式中或矩陣中找出符號變量函數(shù) findsym格式 r = findsym(S) %以字母表的順序返回表達(dá)式S中的所有符號變量（注：符號變量為由字母（除了i與j）與數(shù)字構(gòu)成的、字母打頭的字符串）。若S中沒有任何的符號變量，則findsym返回一空字符串。r = findsym(S,n) %返回字母表中接近

35、x的n個(gè)符號變量例3-20>>syms a x y z t alpha beta>>1 = findsym(sin(pi*t*alpha+beta)>>S2 = findsym(x+i*y-j*z+eps-nan)>>S3 = findsym(a+y,pi)計(jì)算結(jié)果為； S1 = pi, alpha, beta, t S2 = NaN, x, y, z S3 = a, y命令22 函數(shù)的反函數(shù)函數(shù) finverse格式 g = finverse(f) %返回函數(shù)f 的反函數(shù)。其中f為單值的一元數(shù)學(xué)函數(shù)，如f=f(x)。若f的反函數(shù)存在，設(shè)為g，則

36、有g(shù)f(x) = x。g = finverse(f,u) %若符號函數(shù)f中有幾個(gè)符號變量時(shí)，對指定的符號自變量v計(jì)算其反函數(shù)。若其反函數(shù)存在，設(shè)為g，則有g(shù)f(v) = v。例3-21>>syms x p q u v;>>V1 = finverse(1/(x2+p)*(x2+q) >>V2 = finverse(exp(u-2*v),u)計(jì)算結(jié)果為： Warning: finverse(1/(x2+p)/(x2+q) is not unique. > In D:MATLABR12toolboxsymbolicsymfinverse.m at line

37、43 V1 = 1/2/x*2(1/2)*(x*(-x*q-x*p+(x2*q2-2*x2*q*p+x2*p2+4*x)(1/2)(1/2) V2 = 2*v+log(u)命令23 嵌套形式的多項(xiàng)式的表達(dá)式函數(shù) horner格式 R = horner(P) %若P為一符號多項(xiàng)式的矩陣，該命令將矩陣的每一元素轉(zhuǎn)換成嵌套形式的表達(dá)式R。例3-22>>syms x y>>H1 = horner(2*x4-6*x3+9*x2-6*x-4) >>H2 = horner(x2+x*y;y3-2*y)計(jì)算結(jié)果為： H1 = -4+(-6+(9+(-6+2*x)*x)*x)

38、*x H2 = x2+x*y (-2+y2)*y命令24 符號表達(dá)式求和函數(shù) symsum格式 r = symsum(s) %對符號表達(dá)式s中的符號變量k（由命令findsym(s)確定的）從0到k-1求和r = symsum(s,v) %對符號表達(dá)式s中指定的符號變量v從0到v-1求和r = symsum(s,a,b) %對符號表達(dá)式s中的符號變量k（由命令findsym(s)確定的）從a到b求和r = symsum(s,v,a,b) %對符號表達(dá)式s中指定的符號變量v從a到b求和例3-23>>syms k n x>>r1 = symsum(k3) >>r

39、2 = symsum(k2-k) >>r3 = symsum(sin(k*pi)/k,0,n) >>r4 = symsum(k2,0,10) >>r5 = symsum(xk/sym('k!'), k, 0,inf) %為使k!通過MATLAB表達(dá)式的檢驗(yàn)，必須把它作為一符號表達(dá)式。計(jì)算結(jié)果為：r1 = 1/4*k4-1/2*k3+1/4*k2r2 = 1/3*k3-k2+2/3*kr3 = -1/2*sin(k*(n+1)/k+1/2*sin(k)/k/(cos(k)-1)*cos(k*(n+1)-1/2*sin(k)/k/(cos(k)-

40、1)r4 = 385r5 = exp(x)命令25 廣義超幾何函數(shù)函數(shù) hypergeom格式 hypergeom(n, d, z) %該命令為廣義超幾何函數(shù)F(n,d,z)，即已知的Barnes擴(kuò)展超幾何函數(shù)，記做jFk，其中j=length(n)，k=length(d)。對于標(biāo)量a,b與c，hypergeom(a,b,c, z)為Gauss超幾何函數(shù)2F1(a,b;c,z)。說明 超幾何函數(shù)的定義為：， 其中例3-24>>syms a z n>>H1 = hypergeom(,z)>>H2 = hypergeom(1,z) >>H3 = hy

41、pergeom(1,2,'z') >>H4 = hypergeom(1,2,2,3,'z')>>H5 = hypergeom(a,z) >>H6 = hypergeom(,1,-z2/4)>>H7 = hypergeom(-n, n,1/2,(1-z)/2) 計(jì)算結(jié)果為：H1 = exp(z)H2 = -1/(-1+z)H3 = (exp(z)-1)/zH4 = -2*(-exp(z)+1+z)/z2H5 = (1-z)(-a)H6 = besselj(0,z)H7 = hypergeom(n, -n,1/2,1/

42、2-1/2*z)3.2.1 函數(shù)計(jì)算器函數(shù) funtool格式 funtool %該命令將生成三個(gè)圖形窗口，F(xiàn)igure No.1用于顯示函數(shù)f的圖形，F(xiàn)igure No.2用于顯示函數(shù)g的圖形，F(xiàn)igure No.3為一可視化的、可操作與顯示一元函數(shù)的計(jì)算器界面。在該界面上由許多按鈕，可以顯示兩個(gè)由用戶輸入的函數(shù)的計(jì)算結(jié)果：加、乘、微分等。funtool還有一函數(shù)存儲(chǔ)器，允許用戶將函數(shù)存入，以便后面調(diào)用。在開始時(shí)，funtool顯示兩個(gè)函數(shù)f(x) = x與g(x) = 1在區(qū)間-2*pi, 2*pi上的圖形。Funtool同時(shí)在下面顯示一控制面板，允許用戶對函數(shù)f、g進(jìn)行保存、更正、重新輸

43、入、聯(lián)合與轉(zhuǎn)換等操作。輸入命令funtool后，生成的界面如下：圖3-1 函數(shù)工具funtool界面 圖3-2 函數(shù)f的圖形 圖3-3 函數(shù)g的圖形說明 文本輸入框區(qū)域：控制面板的上面幾行，可以輸入文本；f = ：顯示代表函數(shù)f的符號表達(dá)式，可在該行輸入其他有效的表達(dá)式來定義f，再按回車鍵即可在Figure No.1中畫出圖形；g = ：顯示代表函數(shù)g的符號表達(dá)式，可在該行輸入其他有效的表達(dá)式來定義g，再按回車鍵即可在Figure No.2中畫出g圖形；x = ：顯示用于畫函數(shù)f與g的區(qū)間?？稍谠撔休斎肫渌牟煌瑓^(qū)間，再按回車鍵即可改變Figure No.1與Figure No.2中的區(qū)間；a

44、 = ：顯示一用于改變函數(shù)f的常量因子(見下面的操作按鈕)。可在該行輸入不同的常數(shù)?？刂瓢粹o區(qū)域：該區(qū)域有一些按鈕，按下它們將對函數(shù)f轉(zhuǎn)換成不同的形式與執(zhí)行不同的操作。df/dx：函數(shù)f的導(dǎo)數(shù)；int f：函數(shù)f的積分(沒有常數(shù)的一個(gè)原函數(shù))，當(dāng)函數(shù)f的原函數(shù)不能用初等函數(shù)表示時(shí)，操作可能失??；simple f：化簡函數(shù)f（若有可能）；num f：函數(shù)f 的分子；den f：函數(shù)f的分母；1/f：函數(shù)f的倒數(shù)；finv：函數(shù)f的反函數(shù)，若函數(shù)f 的反函數(shù)不存在，操作可能失敗；f+a：用f(x)+a代替函數(shù)f(x)；f-a：用f(x)-a代替函數(shù)f(x)；f*a：用f(x)+a代替函數(shù)f(x)；

45、f/a：用f(x)/a代替函數(shù)f(x)；fa：用f(x)a代替函數(shù)f(x)；f(x+a)：用f(x+a)代替函數(shù)f(x)；f(x*a)：用f(x-a)代替函數(shù)f(x)；f+g：用f(x)+g(x)代替函數(shù)f(x)；f-g：用f(x)-g(x)代替函數(shù)f(x)；f*g：用f(x)*g(x)代替函數(shù)f(x)；f/g：用f(x)/g(x)代替函數(shù)f(x)；g=f：用函數(shù)f(x)代替函數(shù)g(x)；swap：函數(shù)f(x)與g(x)互換；Insert：將函數(shù)f(x)保存到函數(shù)內(nèi)存列表中的最后；Cycle：用內(nèi)存函數(shù)列表中的第二項(xiàng)代替函數(shù)f(x)；Delete：從內(nèi)存函數(shù)列表中刪除函數(shù)f(x)；Reset：

46、重新設(shè)置計(jì)算器為初始狀態(tài)；Help：顯示在線的關(guān)于計(jì)算器的幫助；Demo：運(yùn)行該計(jì)算器的演示程序；Close：關(guān)閉計(jì)算器的三個(gè)窗口。3.2.2 微積分命令1 極限函數(shù) limit格式 limit(F,x,a) %計(jì)算符號表達(dá)式F=F(x)的極限值，當(dāng)xa時(shí)。limit(F,a) %用命令findsym(F)確定F中的自變量，設(shè)為變量x，再計(jì)算F的極限值，當(dāng)xa時(shí)。limit(F) %用命令findsym(F)確定F中的自變量，設(shè)為變量x，再計(jì)算F的極限值，當(dāng)x0時(shí)。limit(F,x,a,'right')或limit(F,x,a,'left') %計(jì)算符號函數(shù)F

47、的單側(cè)極限：左極限xa- 或右極限xa+。例3-25>>syms x a t h n; >>L1 = limit(cos(x)-1)/x)>>L2 = limit(1/x2,x,0,'right')>>L3 = limit(1/x,x,0,'left')>>L4 = limit(log(x+h)-log(x)/h,h,0)>>v = (1+a/x)x, exp(-x);>>L5 = limit(v,x,inf,'left')>>L6 = limit(1

48、+2/n)(3*n),n,inf)計(jì)算結(jié)果為：L1 = 0L2 = infL3 = -infL4 = 1/xL5 = exp(a), 0L6 = exp(6)命令2 導(dǎo)數(shù)（包括偏導(dǎo)數(shù)）函數(shù) diff格式 diff(S,'v')、diff(S,sym('v') %對表達(dá)式S中指定符號變量v計(jì)算S的1階導(dǎo)數(shù)。 diff(S) %對表達(dá)式S中的符號變量v計(jì)算S的1階導(dǎo)數(shù)，其中v=findsym(S)。 diff(S,n) %對表達(dá)式S中的符號變量v計(jì)算S的n階導(dǎo)數(shù)，其中v=findsym(S)。 diff(S,'v',n) %對表達(dá)式S中指定的符號變量

49、v計(jì)算S的n階導(dǎo)數(shù)。例3-26>>syms x y t>>D1 = diff(sin(x2)*y2,2) %計(jì)算>>D2 = diff(D1,y) %計(jì)算>>D3 = diff(t6,6)計(jì)算結(jié)果為：D1 = -4*sin(x2)*x2*y2+2*cos(x2)*y2D2 = -8*sin(x2)*x2*y+4*cos(x2)*yD3 = 720命令3 符號函數(shù)的積分函數(shù) int格式 R = int(S,v) %對符號表達(dá)式S中指定的符號變量v計(jì)算不定積分。注意的是，表達(dá)式R只是函數(shù)S的一個(gè)原函數(shù)，后面沒有帶任意常數(shù)C。R = int(S) %對

50、符號表達(dá)式S中的符號變量v計(jì)算不定積分，其中v=findsym(S)。R = int(S,v,a,b) %對表達(dá)式s中指定的符號變量v計(jì)算從a到b的定積分R = int(S,a,b) %對符號表達(dá)式s中的符號變量v計(jì)算從a到b的定積分，其中v=findsym(S)。例3-27>>syms x z t alpha>>INT1 = int(-2*x/(1+x3)2)>>INT2 = int(x/(1+z2),z)>>INT3 = int(INT2,x)>>INT4 = int(x*log(1+x),0,1) >>INT5 =

51、int(2*x, sin(t), 1) >>INT6 = int(exp(t),exp(alpha*t)計(jì)算結(jié)果為：INT1 = -2/9/(x+1)+2/9*log(x+1)-1/9*log(x2-x+1)-2/9*3(1/2)*atan(1/3*(2*x-1)* 3(1/2)-2/9*(2*x-1)/(x2-x+1)INT2 = x*atan(z)INT3 = 1/2*x2*atan(z)INT4 = 1/4INT5 = 1-sin(t)2INT6 = exp(t), 1/alpha*exp(alpha*t)命令4 常微分方程的符號解函數(shù) dsolve格式 r = dsolve

52、('eq1,eq2,','cond1,cond2,','v')說明 對給定的常微分方程（組）eq1,eq2,中指定的符號自變量v，與給定的邊界條件和初始條件cond1,cond2,.求符號解（即解析解）r；若沒有指定變量v，則缺省變量為t；在微分方程（組）的表達(dá)式eq中，大寫字母D表示對自變量(設(shè)為x)的微分算子：D=d/dx，D2=d2/dx2，。微分算子D后面的字母則表示為因變量，即待求解的未知函數(shù)。初始和邊界條件由字符串表示：y(a)=b，Dy(c)=d，D2y(e)=f，等等，分別表示，；若邊界條件少于方程（組）的階數(shù)，則返回的結(jié)果r中會(huì)

53、出現(xiàn)任意常數(shù)C1，C2，；dsolve命令最多可以接受12個(gè)輸入?yún)⒘浚òǚ匠探M與定解條件個(gè)數(shù)，當(dāng)然我們可以做到輸入的方程個(gè)數(shù)多于12個(gè)，只要將多個(gè)方程置于一字符串內(nèi)即可）。若沒有給定輸出參量，則在命令窗口顯示解列表。若該命令找不到解析解，則返回一警告信息，同時(shí)返回一空的sym對象。這時(shí)，用戶可以用命令ode23或ode45求解方程組的數(shù)值解。例3-28>>D1 = dsolve('D2y Dy =exp(x)') >>D2 = dsolve('t*D2f = Df*log(Dy)/t)') >>D3 = dsolve('(Dy)2 + y2 = 1','s') >>D4 = dsolve('Dy = a*y', 'y(0) = b') % 帶一個(gè)定解條件>>D5 = dsolve('D2y = -a2*y', 'y(0) = 1', 'Dy(pi/a) = 0') % 帶兩個(gè)定解條件>>x,y = dsolve('Dx = y', 'Dy = -x') % 求解線性微分方程組>>