[文檔]222解析幾何專題4：圓錐曲線中的最值和范圍問題(教師版)

1、第二十一講 圓錐曲線中的最值和范圍問題（一）高考在考什么【考題回放】1已知雙曲線(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)為F，若過點(diǎn)F且傾斜角為60°的直線與雙曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則此雙曲線離心率的取值范圍是(C )A.( 1,2) B. (1,2) C. D.(2,+)2 P是雙曲線的右支上一點(diǎn)，M、N分別是圓(x5)2y24和(x5)2y21上的點(diǎn)，則|PM|PN|的最大值為（ D ）A. 6 B.7 C3拋物線y=-x2上的點(diǎn)到直線4x+3y-8=0距離的最小值是( A )A B C D4已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，點(diǎn)P在雙曲線的右支上，且|PF1|=4|PF

2、2|,則此雙曲線的離心率e的最大值為：（B）(A) (B) (C) (D)5已知拋物線y2=4x,過點(diǎn)P(4,0)的直線與拋物線相交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點(diǎn)，則y12+y22的最小值是 32 .6對于拋物線y2=4x上任意一點(diǎn)Q，點(diǎn)P（a，0）都滿足|PQ|a|，則a的取值范圍是( B )（A）（，0） （B）（，2 （C）0，2 （D）（0，2）高考要考什么【熱點(diǎn)透析】與圓錐曲線有關(guān)的最值和范圍問題的討論常用以下方法解決：（1）結(jié)合定義利用圖形中幾何量之間的大小關(guān)系；（2）不等式（組）求解法：利用題意結(jié)合圖形（如點(diǎn)在曲線內(nèi)等）列出所討論的參數(shù)適合的不等式（組），通過解不等式組

3、得出參數(shù)的變化范圍；（3）函數(shù)值域求解法：把所討論的參數(shù)作為一個(gè)函數(shù)、一個(gè)適當(dāng)?shù)膮?shù)作為自變量來表示這個(gè)函數(shù)，通過討論函數(shù)的值域來求參數(shù)的變化范圍。（4）利用代數(shù)基本不等式。代數(shù)基本不等式的應(yīng)用，往往需要?jiǎng)?chuàng)造條件，并進(jìn)行巧妙的構(gòu)思；（5）結(jié)合參數(shù)方程，利用三角函數(shù)的有界性。直線、圓或橢圓的參數(shù)方程，它們的一個(gè)共同特點(diǎn)是均含有三角式。因此，它們的應(yīng)用價(jià)值在于： 通過參數(shù)簡明地表示曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)； 利用三角函數(shù)的有界性及其變形公式來幫助求解諸如最值、范圍等問題；（6）構(gòu)造一個(gè)二次方程，利用判別式D³0。突破重難點(diǎn)【例1】已知點(diǎn)M(-2，0)，N(2,0)，動點(diǎn)P滿足條件.記動點(diǎn)的軌跡為W

4、.（）求W的方程；（）若A，B是W上的不同兩點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，求的最小值.解：（）依題意，點(diǎn)P的軌跡是以M，N為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，所求方程為： （x>0）（）當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為xx0，此時(shí)A（x0，），B（x0，），2 當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為ykxb，代入雙曲線方程中，得：(1k2)x22kbxb220依題意可知方程1°有兩個(gè)不相等的正數(shù)根，設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)，則解得|k|>1，又x1x2y1y2x1x2（kx1b）（kx2b）（1k2）x1x2kb（x1x2）b2>2綜上可知的最小值為2【例2】給定

5、點(diǎn)A(-2,2)，已知B是橢圓上的動點(diǎn)，F(xiàn)是右焦點(diǎn)，當(dāng)取得最小值時(shí)，試求B點(diǎn)的坐標(biāo)。解：因?yàn)闄E圓的，所以，而為動點(diǎn)B到左準(zhǔn)線的距離。故本題可化為，在橢圓上求一點(diǎn)B，使得它到A點(diǎn)和左準(zhǔn)線的距離之和最小，過點(diǎn)B作l的垂線，垂點(diǎn)為N，過A作此準(zhǔn)線的垂線，垂點(diǎn)為M，由橢圓定義于是 為定值其中，當(dāng)且僅當(dāng)B點(diǎn)AM與橢圓的定點(diǎn)時(shí)等點(diǎn)成立，此時(shí)B為所以，當(dāng)取得最小值時(shí)，B點(diǎn)坐標(biāo)為【例3】已知P點(diǎn)在圓x2+(y-2)2=1上移動，Q點(diǎn)在橢圓上移動,試求|PQ|的最大值。解：故先讓Q點(diǎn)在橢圓上固定，顯然當(dāng)PQ通過圓心O1時(shí)|PQ|最大，因此要求|PQ|的最大值，只要求|O1QQ(x，y)，則|O1Q|2= x2+

6、(y-4)2 因Q在橢圓上,則x2=9(1-y2) 將代入得|O1Q|2= 9(1-y2)+(y-4)2 因?yàn)镼在橢圓上移動，所以-1£y£1，故當(dāng)時(shí)，此時(shí)【點(diǎn)睛】1.與圓有關(guān)的最值問題往往與圓心有關(guān)；2.函數(shù)法是我們探求解析幾何最值問題的首選方法，其中所涉及到的函數(shù)最常見的有二次函數(shù)等，值得注意的是函數(shù)自變量取值范圍的考察不能被忽視。【例4】已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為F1(0,-2)，對應(yīng)的準(zhǔn)線方程為，且離心率e滿足：成等差數(shù)列。（1）求橢圓方程；（2）是否存在直線l，使l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)M、N，且線段MN恰被直線平分，若存在，求出l的傾斜角的范圍；若不存在，請說明理由。（

7、1）解：依題意e ， a3，c2，b1， 又F1(0，2)，對應(yīng)的準(zhǔn)線方程為 橢圓中心在原點(diǎn)，所求方程為 (2)假設(shè)存在直線l，依題意l交橢圓所得弦MN被平分直線l的斜率存在。 設(shè)直線l：ykxm由消去y，整理得 (k29)x22kmxm290l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)M、N，4k2m24(k29)(m29)0 即m2k290設(shè) M(x1,y1),N(x2,y2) 把代入式中得，k或k直線l傾斜角第二十二講圓錐曲線中的最值和范圍問題（二）【例5】長度為（）的線段的兩個(gè)端點(diǎn)、分別在軸和軸上滑動，點(diǎn)在線段上，且（為常數(shù)且）（1）求點(diǎn)的軌跡方程，并說明軌跡類型；（2）當(dāng)=2時(shí)，已知直線與原點(diǎn)O的距離為，

8、且直線與軌跡有公共點(diǎn)，求直線的斜率的取值范圍答案：(1)設(shè)、，則，由此及，得，即 （*）當(dāng)時(shí)，方程（*）的軌跡是焦點(diǎn)為，長軸長為的橢圓當(dāng)時(shí)，方程（*）的軌跡是焦點(diǎn)為，長軸長為的橢圓當(dāng)時(shí)，方程（*）的軌跡是焦點(diǎn)為以O(shè)點(diǎn)為圓心，為半徑的圓（2）設(shè)直線的方程：，據(jù)題意有，即由得 因?yàn)橹本€與橢圓有公共點(diǎn)，所以 又把代入上式得 ：【例6】橢圓E的中心在原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在軸上，其離心率, 過點(diǎn)C（1,0）的直線與橢圓E相交于A、B兩點(diǎn)，且滿足點(diǎn)C分向量的比為2.（1）用直線的斜率k ( k0 ) 表示OAB的面積；（2）當(dāng)OAB的面積最大時(shí)，求橢圓E的方程。解：（1）設(shè)橢圓E的方程為( ab0 )，由e =a

9、2=3b2 故橢圓方程x2 + 3y2 = 3b2 設(shè)A(x1,y1)、B(x2,y2),由于點(diǎn)C（1，0）分向量的比為2， 即 由消去y整理并化簡得 (3k2+1)x2+6k2x+3k23b2=0由直線l與橢圓E相交于A（x1,y1）, B(x2,y2)兩點(diǎn)得： 而SOAB 由得:x2+1=，代入得：SOAB = （2）因SOAB=,當(dāng)且僅當(dāng)SOAB取得最大值此時(shí) x1 + x2 =1, 又 =1 x1=1,x2 =2將x1,x2及k2 = 代入得3b2 = 5 橢圓方程x2 + 3y2 = 5 【例7】設(shè)直線過點(diǎn)P（0，3），和橢圓順次交于A、B兩點(diǎn)，若試求l的取值范圍.解：當(dāng)直線垂直于x

10、軸時(shí)，可求得;當(dāng)與x軸不垂直時(shí)，設(shè)，直線的方程為：，代入橢圓方程，消去得解之得 因?yàn)闄E圓關(guān)于y軸對稱，點(diǎn)P在y軸上，所以只需考慮的情形.當(dāng)時(shí)，所以 .由 ， 解得 ，所以 ，yO.Mx.綜上 .【例8】我們把由半橢圓 與半橢圓 合成的曲線稱作“果圓”，其中， 如圖，設(shè)點(diǎn)，是相應(yīng)橢圓的焦點(diǎn)，和，是“果圓” 與，軸的交點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)（1） 若是邊長為1的等邊三角形，求該“果圓”的方程； （2）設(shè)是“果圓”的半橢圓上任意一點(diǎn)求證：當(dāng)取得最小值時(shí)，在點(diǎn)或處；（3）若是“果圓”上任意一點(diǎn)，求取得最小值時(shí)點(diǎn)的橫坐標(biāo)解：（1） ，于是，所求“果圓”方程為， （2）設(shè)，則， ， 的最小值只能在或處取到 即當(dāng)取