“成比例線段”定理及其應(yīng)用與拓展

1、“成比例線段”定理及其應(yīng)用與拓展襄陽市第47中學(xué) 熊沙【摘要】成比例線段問題貫穿平面幾何的相似形與圓兩大章的內(nèi)容，本文將從成比例線段的定義，性質(zhì)及如何證明四條線段成比例問題作出探討。Proportional to the line through the plane geometry of the problem "similar figures" and "circle" the two chapters, this is proportional to the segment from the definition, nature and how t

2、o prove the four segments is proportional to explore issues成比例線段問題貫穿平面幾何的相似形與圓兩大章的內(nèi)容，本文將從成比例線段的定義，性質(zhì)及如何證明四條線段成比例問題作出探討。在四條線段中，如果其中兩條線段的比等于另外兩條線段的比，那么，這四條線段叫做成比例線段。例：如果a、b、c、d四條線段滿足，則a、b、c、d是成比例線段。如果，則ad=bc;如果，則即；如果，則（a、b、c、d為線段，b+d0）。證明四條線段成比例問題，是常見的一種類型證明題，此類型題如果能清晰地理清思路，同學(xué)們將會(huì)茅塞頓開，自己的聰明才智和奇妙思想都將一齊涌

3、現(xiàn)出來，得到問題的最佳證明。一、從基本圖形得到四條線段成比例（1）、平行線分線段成比例：三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例。如基本圖1，L1/L2/L3，L4交L1、L2、L3于分別于點(diǎn)A、B、C，L5交L1、L2、L3于分別于點(diǎn)D、E、F，則AB/BC=DE/EF（基本圖1）此定理課本幾何第二冊(cè)并沒有給出嚴(yán)密證明，現(xiàn)證明如下：證明：連AE、BD、CE、BFAD/BE/CFSABE =SBED， SBCE=SBEFAB/BC=SABE/SBCE，DE/EF=SBED/SBEFAB/BC=DE/EF（2）、由平行線分線段成比例定理的推論得四條線段成例。如基本圖2、基本圖3 （基本圖2）

4、（基本圖3）AD/DB=AE/EC上兩圖，若DE/BC，則 AD/AB=AE/ACBD/AB=CE/AC二、由兩個(gè)三角形相似得四條線段成比例這種方法，應(yīng)用得非常普遍。即把要證明的四條線段放在兩個(gè)合適的三角形中，通過證明兩個(gè)三角形相似，然后應(yīng)用兩個(gè)三角形對(duì)應(yīng)邊成比例得到證明。此種方法為常規(guī)方法，大多數(shù)同學(xué)都能熟練應(yīng)用，因此不再贅述。三、引入中介值或替換的思想，得四條線段成比例例1、如圖，過ABCD的頂點(diǎn)A作一條直線與BD、BC、DC的延長(zhǎng)線分別交于E、F、G，求證：AE是EF、EG的比例中項(xiàng)。證明：AD/BF，DG/ABEF/AE=BE/DE，AE/EG=BE/DEEF/AE=AE/EG，即AE

5、是EF、EG的比例中項(xiàng)。以上解法就應(yīng)用了“引入中介值”的方法。它的原理便是利用等式的傳遞性，即A=B，B=C，則A=C。例2、如圖，在ABC中，AD平分BAC交BC于D，AD的垂直平分線交AD于E，交BC的延長(zhǎng)線于F，求證：FD2=FB·FC證明：連AFEF垂直平分ADFA=FDFAD=FDAFAC=FADDAC，B=FDABAD而FAD=FDA，DAC=BADFAC=B又AFC=BFAFACFBAFC/FA=FA/BF，即FA2=FB·FCFD2=FB·FC以上解法便利用“FA”取代“FD”，證明取代后的四條線段成比例即可。評(píng)注：本文提供的證明四條線段成比例的三大方法是有機(jī)的整體，第一大方法是理論的基石；第二大方法是第一大方法的應(yīng)用，第三大方法可化歸為一、二兩大方法。如果同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)中能靈活地使用這些方法，則可在解題中拓展思路，培養(yǎng)自己分析問題解決問題的能力，提高數(shù)學(xué)思維品質(zhì)。參考文獻(xiàn)1梅全雄. 多媒體計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)與多媒體課件